Median Automne 2007

le 21 Novembre 2007 UTBM MT26

M´edian automne 2007

Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4 recto-verso r´edig´ee `a la main

Chaque partie doit ˆ etre r´ edig´ ee sur une feuille diff´ erente

Il sera tenu compte dans la correction de la pr´esentation et de la r´edaction correcte des d´emonstrations.

PREMIERE PARTIE.

Exercice 1 (Applications directes du cours) - 5 points

1) Peut-on construire une suite de fonctions f_n : R −→ R non continues qui converge uni- form´ement vers une fonction f continue surR? Si oui, donner un exemple, sinon, le d´emontrer.

2) Quelle est la limite de la suite (un)n∈N d´efinie par un=Qn k=0e

1 2k. 3) Peut-on trouverf, g: [1,+∞[−→Rcontinues telles queR+∞

1 f(t)dtetR+∞

1 g(t)dtdivergent et R+∞

1 f(t)g(t)dt converge ? Si oui, donner un exemple, sinon, le d´emontrer.

4) L’int´egrale impropre R+∞

1 1 x.√

x−1dxconverge-t-elle ? 5) R+∞

2π sin(x)

x dxest-elle convergente ? L’est-elle absolument ? Justifier votre r´eponse.

Exercice 2 - 5 points

1) Etudier la convergence des s´eries suivantes : S₁=X

sin( 1 n√

n+ 2

n³+ 1), S₂ =X

sin((−1)ⁿ

n ), S₃=X n!

nⁿ. 2) Etudier la convergence et calculer la somme de la s´erie

X 1 n²+ 3n+ 2. 3) TrouverN ∈Ntel queS_N =PN

n=1 1

nⁿ soit une approximation `a10⁻² pr´es deS =P+∞

n=1 1 nⁿ

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DEUXIEME PARTIE : NOUVELLE FEUILLE.

Exercice 3 - 5 points

Soit la suite de fonctions (u_n)n∈N^∗ d´efinies par ∀x∈[0,1], u_n(x) =x(1−x)ⁿ (convention 0⁰ = 1).

1) Etudier la convergence simple et uniforme de la suite (un)n∈N^∗. 2) Etudier la convergence simple sur[0,1]de la s´erie S=P

un. Calculer la sommeS(x) sur le domaine de convergence. La convergence est-elle uniforme sur [0,1]?

3) Calculer R1

0 S(x)dx et limN→+∞PN n=0

R1

0 u_n(x)dx.

Exercice 4 - 5 points

1. Calculer les coefficients de Fourier a_n et b_nde la fonctionf, 2π-p´eriodique ´egale `a x² pour

−π≤x≤π. On repr´esentera graphiquement f. 2. SoitS(x) =a₀+P+∞

n=1(a_n.cos(nx) +b_n.sin(nx)).

La convergence de cette s´erie est-elle uniforme ?

3. Puisquef est C¹ par morceaux et continue, on a vu en cours que ∀x∈R, f(x) =S(x).

En d´eduire la valeur de

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ n² et

+∞

X

n=1

1 n².

RAPPEL DU COURS :

D´efinition 1

Soitf :R−→Rune fonction continue par morceaux, T p´eriodique (ω= ^2π_T la pulsation).

On d´efinit lescoefficients de Fourier r´eelsde f par : a0(f) = 1

T Z T

0

f(t)dt, et pour n∈N^∗,

a_n(f) = 2 T

Z T

0

f(t) cos(nωt)dt, bn(f) = 2

T Z T

0

f(t) sin(nωt)dt.

Dans ce cas,P+∞

n=0(ancos(nωx) +bnsin(nωx))s’appelled´eveloppement de Fourier de f.

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