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Correction devoir maison n°9
Exercice 1
1) Pour l’équation sin 2 dans – ; : on pose
2 .
On doit chercher à quel intervalle appartient : comme , on a 2 2 2 et donc 2 2 ce qui donne .
On doit donc résoudre l’équation sin dans l’intervalle ;.
Cette équation a quatre solutions d’après le cercle trigonométrique : ;; ; . A chacune de ces valeurs de correspond une valeur de que l’on trouve en résolvant l’équation
2 .
2 2 !
"
2 2
2 2
"
2 2
On a donc " ; ; "; (il est recommandé de tracer sur la calculatrice la courbe de la fonction # sin 2 sur $; % et de vérifier que les solutions trouvées…)
Pour l’inéquation sin 2 & : on raisonne de la même manière que précédemment et on trouve que ' ; ( ; ( ;. On doit donc résoudre trois inéquations :
2 ) 2 2 ) !
* &"
) 2 ) ) 2 )
& & "
) 2
) 2 2 & * Finalement ; ( "; ( " ;
2)
a. + est de la forme ,- . avec , cos et - . 2 donc + est définie et dérivable sur 1 et donc à fortiori sur $; %. De plus +2 - 3 ,2- . 1, ce qui donne donc :
+2 2 3 sin 2 1 2 sin 2 1
b. L’inéquation +2 & 0 a été résolu à la question précédente. On peut donc établir le tableau de variations de + :
11
12
4
12 3
4
Signe de +2 0 0 0 0
Variations de +
√
√ 1 2 1
2 √3
2
4 √3
2 3 4 c. Et voici la courbe :
Exercice 2
1) cos cos2 9 2 2 3 : 2 2 3 :; avec : ' <.
En effet, deux nombres ont le même cosinus s’ils représentent le même point sur le cercle trigonométrique ou s’ils représentent des points symétriques par rapport à l’axe des abscisses (et donc les nombres sont opposés à un certain nombre de tours près).
Pour la première équation : 2 3 : avec : ' <. Cette équation nous fournit donc deux solutions dans
$0; 2% : pour : 0, 0 et pour : 1, 2.
Pour la seconde équation : 3 : avec : ' <. Cette équation nous fournit donc trois solutions dans $0; 2% : pour : 0, 0 ; pour : 1, et pour : 2, ".
Finalement il y a quatre solutions à cette équation : 0; ;" ; 2
2) + est de la forme ,- . => ? où , 2 cos , - . ; = sin et > ? 2 . Donc +2 - 3 ,2- . > 3 =2> ? 2 sin 2cos 2 .
En utilisant la formule sin cos , on est ramené à +2 2cos2 cos .
3) Pour étudier le signe de +2 sur $0; 2%, on cherche le signe de cos2 cos . On sait déjà les points où cela s’annule grâce à la question 1 et il reste à trouver le signe entre chacune des ces valeurs. On peut par exemple, calculer des images par +@ de certains nombres. On peut ainsi calculer +2 2 & 0.
Dans tous les cas, on trouve le tableau de signes et de variations suivants :
π/3 π/2 2π/3 5π/6 π -π/6
-π/3 -π/2 -2π/3 -5π/6 -π
2 3
-1
-2
-3
0 π/6 1
x y
0 2
3 4
3 2
Signe de +2 0 0 0 0
Variations de + √
0
0 √3
2
Exercice 3
1) C’est une équation du second degré, on calcule donc le discriminant :
Δ 2B√2 1C 4 3 4 3 B√2C 4B2 2√2 1C 16√2 4B2 2√2 1C 4B√2 1C& 0 Donc l’équation a deux solutions :
2B√2 1C 2√2 1
8 √2
2 et 2B√2 1C 2B√2 1C
8 1
2 Finalement √ ; .
2) On pose sin 3 . Alors 4 2B√2 1C √2 0. On est ramené à l’équation de la question précédente. Il y a donc deux valeurs possibles pour : √ et
.
Pour sin 3 √ : on pose H 3 et comme ' $0; %, on a 3 ' $0; 3% et H ' ;I . D’après le cercle trigonométrique, il y a trois solutions à l’équation sinH √ :
" ," et
" . On calcule les valeurs de correspondantes :
3 "
3
3 "
3
3 "
3 Pour sin 3 : on fait de même et on doit résoudre sinH dans ;I . On trouve trois solutions grâce au cercle trigonométrique :
, et . On calcule les valeurs de correspondantes :
3 3
3 3
K
3 3
Finalement l’équation a six solutions : ; ; ;;K ;
