rencontre du non-lin´eaire 2015 1
Instabilit´ es primaire et secondaire de fluides visco´ elastiques saturant une couche poreuse horizontale chauff´ ee par un flux constant.
Gueye12Ouarzazi1 Hirata1 Mompean1 & Beye2
1 Laboratoire de M´ecanique de Lille, Universit´e Lille 1 - Sciences et Technologies, 59655 Villeneuve d’Ascq, France.
2 Laboratoire M´ecanique des Fluides et Applications, Universit´e Cheikh Anta Diop de Dakar, S´en´egal Abdoulaye.Gueye@Polytech-Lille.fr
Ce travail porte sur une ´etude analytique et num´erique de la convection naturelle de fluides visco´elastiques saturant une couche poreuse horizontale chauff´ee par un flux constant. La formulation math´ematique des ´equations de ce probl`eme repose sur la loi ph´enom´enologique de Darcy g´en´eralis´ee `a un fluide visco´elastique v´erifiant l’approximation de Boussinesq. Cette formulation introduit deux param`etres suppl´ementaires li´es `a la visco´elasticit´e, `a savoir le temps de relaxation λ1 et le rapport Γ entre la viscosit´e du solvent et la viscosit´e totale de la solution polym´erique.
Lorsque les parois horizontales sont consid´er´ees comme parfaitement conductrices de la chaleur, l’´etude de stabilit´e lin´eaire et faiblement non lin´eaire a ´et´e r´ealis´ee par Zhang et al. [1]. Lorsque les parois sont maintenues `a un flux constant, l’analyse de stabilit´e lin´eaire conduite dans ce travail montre que l’´etat de conduction perd sa stabilit´e au profit de structures convectives dont la nature d´epend du degr´es de l’´elasticit´e du fluide visco´elastique. En r´egime faiblement visco´elastique, ces structures convectives ont un caract`ere stationnaire o`u le mode le plus amplifi´e est caract´eris´e par une grande longueur d’ondes, et se comporte comme pour un fluide Newtonien. Cependant, on montre qu’en r´egime fortement visco´elastique, la convection est oscillatoire avec un nombre d’onde non nul et se pr´esente sous la forme d’ondes progres- sives.
En r´egime faiblement visco´elastique, et vue que la premi`ere instabilit´e pr´edite par l’analyse lin´eaire admet un nombre d’onde nul, l’utilisation de l’approximation d’´ecoulement parall`ele permet de d´eterminer l’amplitude de la convection monocellulaire dans le domaine non lin´eaire. Il convient donc d’´etudier la stabilit´e secondaire de ces structures convectives pleinement d´evelopp´ees. Les r´esultats montrent que pour un fluide Newtonien, la convection monocellulaire perd sa stabilit´e au profit de rouleaux longitudinaux (dont l’axe est parall`ele `a l’´ecoulement de base). Le nombre de Rayleigh critique `a partir duquel se produit cette d´estabilisation est d´etermin´e et est en excellent accord avec la valeur trouv´ee dans [2]. Dans le cas des fluides visco´elastique, le seuil d’apparition des rouleaux longitudinaux est ind´ependant des param`etres visco´elastiques λ1 etΓ et est alors identique au cas d’un fluide Newtonien. Cependant, on trouve que l’´elasticit´e du fluide induit la s´election des rouleaux transversaux (dont l’axe est perpendiculaire au sens de l’´ecoulement principal) propagatifs. L’influence des param`etres visco´elastiques sur le seuil d’apparition de ces rouleaux trasversaux propagatifs comme une instabilit´e secondaire est d´etermin´ee.
R´ ef´ erences
[1] Zhiyong Zhang, Ceji Fu et Wenchang Tan. Linear and nonlinear stability analyses of thermal convection for Oldroyd-B fluids in porous media heated from below. Physics of Fluids 20.8 (2008), p.
084103.
[2] S. Kimura, M. Vynnycky and F. Alavyoon. Unicellular natural circulation in a shallow hori- zontal porous layer heated from below by a constant flux. J. Fluid Mech. 294 (1995), p. 231-257.
c Non Lin´eaire Publications, Avenue de l’Universit´e, BP 12, 76801 Saint- ´Etienne du Rouvray cedex
