OFPPT
ROYAUME DU MAROC
DOMAINE : MECANIQUE ET RDM P ARTIE I : C OURS
S ECTEUR : BTP
S PÉCIALITÉ : G ROS Œ UVRE
N IVEAU : T ECHNICIEN S PÉCIALISÉ .
20 M
AI2004
Office de la Formation Professionnelle et de la Promotion du Travail D
IRECTIONR
ECHERCHEETI
NGÉNIERIEDE
F
ORMATIONSUPPORTS PEDAGOGIQUES
Modules concernés : 8; 9
REMERCIEMENT
La DRIF remercie les personnes qui ont contribué à l’élaboration du présent document.
Pour la conception :
M. Alain BONHOMME Expert SFERE France
Pour la validation :
M. Khalid BAROUTI Chef projet BTP Mme Najat IGGOUT Directeur du CDC BTP
M. Saïd MOURTAJI Formateur
M. Alain BONHOMME Expert SFERE France
SOMMAIRE
1.NOTION DE FORCE ... 7
1.1.Notion de force et de vecteur-force ... 7
1.2.Composantes d’une force ... 8
1.3.Coordonnées cartésiennes d’un force (Repésentation algébrique) ... 8
1.4.Exercices ... 9
2.NOTION DE MOMENT ... 11
2.1.Notion de moment ... 11
2.2.Moment d’une force par rapport à un point ... 11
2.3.Notion de couple ... 13
2.4.Moment résultant de plusieurs forces ... 14
2.5.Exercices ... 15
3.NOTIONS GÉNÉRALESSURLAMÉCANIQUE ... 16
3.1.Définitions ... 16
3.2.Les actions mécaniques ou charges. ... 16
3.3.Exercices sur les actions mécaniques ... 18
3.4.Exercice sur les unités : ... 19
4. SYSTEMES EQUIVALENTS / REDUCTION DE SYSTEME (DEFORCES) ... 21
4.1.Systèmes de forces équivalents ... 21
4.2.Réduction d’un système de forces (en 1 point) ... 25
4.3.Notion de torseur ... 26
4.4.Exercices : Notion de résultante ... 27
4.5.Exercices : Notions de forces/moments/résultantes ... 28
5. ETUDE DES LIAISONS ... 30
5.1.PRESENTATION ... 30
5.2.EFFORT TRANSMISSIBLE PAR UNE LIAISON ... 30
5.3.Nombre d’inconnues induites par les liaisons ... 31
5.4.Exemples de differents types d’appuis de poutre ... 32
6. CONDITIONS GENERALES DE L’EQUILIBRE ... 34
6.1.Hypothèses ... 34
6.2.But : ... 34
6.3.Notion d’action mécanique de liaison extérieure et intérieure à un système donné : ... 34
6.4.Enoncé du principe Fondamental de la statique (P.F.S): ... 35
6.5.Cas particuliers : ... 35
6.6.Résolution d'un problème de statique : ... 36
6.7.METHODE DE RESOLUTION DES PROBLEMES DE STATIQUE ... 39
6.8.Le Degré Hyperstatique ... 40
6.9.Exercices : Degré Hyperstatique ... 41
6.11.Diaporama ... 42
7.CENTRE DE GRAVITE ... 43
7.1.Cours élève ... 43
7.2.Exercices d’Applications : élève ... 47
7.3.Cours prof ... 50
7.4.Exercices d’Applications : prof ... 54
8. EQUILIBRE D’UN SYSTEME RETICULE ... 57
8.1.Définition ... 57
8.2.Méthode des nœuds ... 59
8.3.Méthode de RITTER ... 60
8.4.Applications ... 62
9.RDM : GÉNÉRALITÉS ... 65
9.1.But de la RDM. ... 65
9.2.Hypothèses de la RDM. ... 65
9.3.Notion de contrainte. ... 65
9.4.Répartition uniforme des contraintes (sur une section) ... 68
10.TRACTIONSIMPLEETCOMPRESSIONSIMPLE ... 70
10.1.Définitions. ... 70
10.2.Essai de traction ... 70
10.3.Applications : traction simple ... 75
10.4.Coefficient de Poisson : υ ... 79
11.CISAILLEMENTSIMPLE ... 80
11.1.Définitions. ... 80
11.2.Contrainte de cisaillement ( En cisaillement simple). ... 80
11.3.Equation de déformation ... 82
11.4.Calcul pratique ... 82
11.5.Exercice d’application ... 83
11.6.Exercice Formatif ... 83
12.N, V, M ... 84
12.1.Généralités ... 84
12.2.Diagramme de N(x), V(x), M(x) Méthode de détermination. ... 89
12.3.Exercices ... 92
12.4.Diaporama ... 93
13.CARACTÉRISTIQUESDESSESSIONS ... 94
13.1.MOMENT STATIQUE ... 94
13.2.Moment quadratique ... 96
13.3.Changement de coordonnees ( th d’huygens) ... 97
13.4.Exercices ... 98
13.5.Moment quadratique polaire ... 98
14.CONTRAINTESDESPOUTRESFLÉCHIES ... 100
14.1.Hypothèses. ... 100
14.2.Contraintes normales σ (dues à M(x). ... 100
14.3.Déformations. ... 102
14.4.Contraintes de cisaillement longitudinal τ (dues à V(x)) ... 104
14.5.Applications ... 108
15.FLEXIONCOMPOSÉE ... 115
15.1.Définition ... 115
15.2.Exemples ... 115
15.3.Contraintes normales σ ... 115
15.4.Contraintes Tangentielles ... 116
15.5.Excentricité de charge ... 117
15.6.Remarque ... 117
15.7.Exercices ... 118
16.LESFLÈCHES ... 119
16.1.Définition ... 119
16.2.Formulaire ... 119
16.3.Utilisation ... 119
17.POUTRECONTINUEEN BETON ARME ... 125
17.1.Généralité ... 125
17.2.Méthode forfaitaire. Artb.6.2,21 page 149 ... 125
17.3.Méthode CAQUOT ... 129
17.4.Méthode CAQUOT minorée. ... 136
17.5.Contrôle de beton ... 136
17.6.Diaporama ... 136
1 - COURS ET APPLICATIONS
1. NOTION DE FORCE
1.1. NOTIONDEFORCEETDEVECTEUR-FORCE
En mécanique, les forces sont utilisées pour modéliser ou schématiser des charges concentrées et des résultantes d’actions mécaniques très diverses ( poids, attraction magnétique, etc..).
Un vecteur force est défini par une intensité ou un module ( en Newton N ou unité dérivée daN, kN, etc..), une direction, un sens et un point d’application.
Exemple 1 :
L’action de contact exercée par le câble(2) sur le support (1) est schématisée par le vecteur force A2/1, de point d’application A de direction celle du câble, d’intensité 1000 daN, de sens A vers I ( le câble tire sur le support).
Exemple 2 :
Au moment du tir, l’action de contact exercée par le pied du footballeur (2) sur le ballon (1) est schématisée par le vecteur force T2/1, point d’application T incliné de 40° par rapport à la verticale (y), d’intensité 15 N, de sens T vers K ( vers l’intérieur du ballon ).
Le poids du ballon est schématisé par le vecteur-poids P1, vertical (axe y), intensité 5N, sens du haut vers le bas et de point d’application G, le centre de gravité du ballon.
1.2. COMPOSANTESD’UNEFORCE
Une force F agissant en un point A peut toujours être remplacée par deux autres forces ou composantes ( U et V ) agissant au même point et vérifiant la condition F = U + V
Les composantes sont les valeurs algébriques des projections de F sur un
1.3. COORDONNÉESCARTÉSIENNESD’UNFORCE (REPÉSENTATIONALGÉBRIQUE) On peut considérer les coordonnées cartésiennes Fx et Fy comme étant des composantes
orthogonales particulières de la force F dans les directions x et y.⇒ (F(x) ) horizontale et (F(y)) verticale Elles sont positives si elles sont orientées dans la même direction que ox et oy (négative dans le cas contraire.
FA
Exemple : coordonnées cartésiennes de la force A 2/1. Ax = A2/1cos30° = 1000 x 0.866 = 866daN
Ay = -A2/1sin30° = -1000 x 0.5 = -500daN
║A2/1║ = √ 866² + 500² = 1000
F
y
o
x FA(x)
FA(y)
A FA(y)
FA(x)
1.4. EXERCICES
1. L’échelle utilisée pour représenter les forces est 1 mm pour 20 N.
Déterminer les modules des forces F1, F2, F3. Ecrire ces modules en N, daN et kN.
2.
a) Déterminer les coordonnées T1x et T1y de la tension T1 de la barre (1).
b) Déterminer T3 et T3x si T3y = 100 daN.
c) Déterminer T2 si (T1x+T2x+T3x=0).
3. L’action exercée par la route 0 sur la motrice 1 est schématisée par la force F0/1.
Si l’effort normal N0/1 suivant n a pour valeur 400 daN, déterminer F0/1 et T0/1 (suivant t) sachant que F0/1 = N0/1 + T0/1
4. Sachant que la composante Tx de la tension T du câble en A est de 90 daN, déterminer Ty et T.
5.
a) Déterminer les coordonnées cartésiennes de F par rapport aux axes ( x, y ) et (x’,y’).
6.Ecrire les coordonnées cartésiennes Fx et Fy des forces F indiquées en fonction du module F et des angles α et β . F = 1000 N dans les quatre cas.
2. NOTION DE MOMENT
2.1. NOTIONDEMOMENT
Les effets d’une force sur un solide dépendent de la position de la force par rapport à ce corps.
Exemple de la navette spatiale :
Si la Force F passe par le centre de gravité G de la navette, le vaisseau est animé d’un mouvement de translation de même direction que F.
Si la force ne passe pas par G, le vaisseau est à la fois animé d’un mouvement de translation et d’un mouvement de rotation ( orientation des moteurs).
Pour traduire avec précision les effets d’une force, compte tenu de sa position, il est nécessaire de faire intervenir la notion de moments.
2.2. MOMENTD’UNEFORCEPARRAPPORTÀUNPOINT
2.2.1. Définition
Le moment de la force F par rapport au pont A, noté MA(F), est égal au produit de F par le bras de levier d :
MA(F)= F.d (d : distance entre A et F)
Bras de levier : longueur du segment de droite issu du point de calcul et joignant orthogonalement la droite d’action de F
Convention de signe
Si F fait tourner le solide autour de A dans le sens trigonométrique, le moment est dit positif.
+ sens trigo
-
Exemple 1 :
Déterminons F2 de façon que MA(F1) +MA(F2)=0 MA(F1) = F1 .d1= 240 x 0.1 = 24N.m
MA(F2) = -F2.d2 = -0.12F2
MA(F1)+ MA(F2)= -0.12F2+24 =0 Soit F2=200N
Exemple2 :
Déterminons le couple de serrage exercé par une clé plate sur un écrou en fonction de l’inclinaison de l’effort B3/2.
Le couple de serrage est égal au moment en A de l’action B3/2 : MA(B3/2)= B3/2 . AB . sin α
Si AB est perpendiculaire à B3/2 (α=90°) : MA= B3/2 . AB . sin 90= 100x0.2x1=20 N.m Si α= 60° :
MA1= B3/2 . AB . sin 60° = 17.3 N.m Si α= 45° :
MA2= B3/2 . AB . sin 45° =14.1 N.m
2.2.2. Théorème de Varignon
Le moment de la force F au point A est égal à la somme des moments de ses composantes U et V par rapport au même point.
MA(F)= MA(U) + MA(V)
Pour notre cas: MA(F) = F.d = -U.dU + V.dV
Exemple :
Déterminons MA(F) de la Force F.
Fx = F cos60° = 1000 X 0.5 = 500 N Fy = F sin60° = 1000 x 0.866 = 866 N MA(F) = MA(Fx)+ MA(Fy)
= -500 x 0.1 + 866 x 0.16
= 88.6 N.m = F.d
Rq: Le calcul à partir des composantes est ici plus simple que l’application directe à partir de F.d (détermination de d plus difficile).
2.3. NOTIONDECOUPLE
2.3.1. Définition
Le moment engendré par deux forces égales et opposées ayant des lignes d’action différentes constitue un couple (M).
L’intensité F.d du couple est indépendante du point O choisi ou de la valeur de a. Elle ne dépend que de la distance d entre les deux forces et de l’intensité F.
M= MO(F) + MO(-F) = F(a+b) – F.a = F.d
Exemple:
Une clé à bougie se compose d’un corps et d’une tige de manœuvre coulissante et réglable.
F et –F schématisent les actions exercées par les mains de l’opérateur.
Si F = 100 N, déterminons le couple de desserrage (M) exercé par la clé sur l’écrou en E, pour les positions indiquées.
Pour les quatre positions, on a : M = ME(F) + ME(-F)= MO(F) + MO(-F)
= F x OB + F x OA = F.AB = 0,4 F= 40 N.m
Pour la position 1: M = 0.2F + 0.2F = 0.4F Pour la position 1: M = 0.15F + 0.25F = 0.4F Pour la position 2: M = 0.3F + 0.1F = 0.4F Pour la position 1: M = 0 + 0.4F = 0.4F
2.4. MOMENTRÉSULTANTDEPLUSIEURSFORCES
Le moment résultant MA en un point A de n forces F1,F2,F3,…..,Fn est égal à la somme des moments en A de chacune des forces.
MA = MA(F1) + MA(F2) +MA(F3) +...+MA(Fn) Exemple: la balance romaine
Une balance romaine se compose d’un balancier 2 articulé en O sur un crochet 1 lié à un support fixe et d’une masse d’équilibrage mobile 3 ( a variable) de poids q = 5daN.
La masse à peser, poids P, est suspendue en B par l’intermédiaire d’un crochet 4. si a = 70 cm, déterminons la valeur de P.
Lorsqu’il y a équilibrage des deux masses, le moment résultant en O des poids P et q est nul.
MO = MO(P) + MO(q) = P x 0.1 – q x 0.7 = 0 D’où P = 7q = 7 x 5 = 35 daN
2.5. EXERCICES
2.5.1. EXERCICE N°1
La force F schématise l’action de serrage exercée par l’opérateur.
Calculer le moment en B (couple de serrage sur l’écrou) de la force F.
2.5.2. EXERCICE N°2
Déterminer le moment en O de la force F agissant sur le point B de la potence.
2.5.3. EXERCICE N°3
Calculer le moment en O de la force F agissant au point B.
2.5.4. EXERCICE N°4
a) Déterminer le moment résultant en (Mo) exercé par le couple de Force F et –F b) Calculer le moment en A, B, C.
c) Quelle doit être la valeur de T pour que le couple T et (-T ) puisse équilibrer le couple précédent ?
3. NOTIONS GÉNÉRALES SUR LA MÉCANIQUE
3.1. DÉFINITIONS
3.1.1. Buts de la Mécanique:
- Etudier l'équilibre des solides (statique) ou le mouvement (dynamique)
- Déterminer un état de contrainte et un état de déformation en tout point de la matière (R.d.M) 3.1.2. Définition du solide en statique.
En statique, un solide est un corps :
• Homogène : la masse est répartie de façon homogène sur tout le volume.
• Géométriquement parfait : les défauts de forme ne sont pas pris en compte dans la schématisation du solide.
• Indéformable : on ne tient pas compte des déformations du solide soumis à un effort.
• Isotrope : le solide a les mêmes caractéristiques mécaniques dans toutes les directions.
3.1.3. Principe des actions mutuelles Pour deux solides 0 et 1 en contact, l’action exercée par le solide 0 sur le solide 1 est égale et opposée à l’action exercée par le solide 1 sur le solide 0.
3.2. LESACTIONSMÉCANIQUESOUCHARGES.
Les actions mécaniques représentent les efforts exercés sur des solides ou entre solides. Ces actions mécaniques sont schématisées ou modélisées par des forces et des moments.
Il existe deux types d’actions mécaniques : les actions à distance les actions de contact
3.2.1. Les actions mécaniques à distance On se limitera au poids d’un solide (effet de la gravité).
Le poids est représenté par un vecteur P :
Point d’application : centre de gravité G Direction : verticale
Sens : vers le bas Intensité : P = Mg (N) M : masse en Kg
g = 9,81 m/s² : accélération de la pesanteur ou attraction terrestre
P
Dans le domaine du Génie Civil, on prendra :
o pour un solide en surface (plancher) : le poids surfacique (relatif à une surface) N/m² o pour un solide en longueur (poutre) : le poids linéaire (relatif à une longueur) N/m Exemple :
Déterminer le poids surfacique d’un plancher de 18 cm d’épaisseur.
Déterminer le poids linéaire d’une poutre de section 50x20 cm.
Données : Poids volumique du béton armé 25 kN/m3
3.2.2. Les actions mécaniques de contact
A Actions de contact ponctuelles (charges concentrées)
Si deux solides sont en contact en un point ou sur une très petite surface, l’action de contact est représentée par un vecteur force dont le point d’application est le point de contact.
Exemple : Appui d ’ une poutre sur une poutre.
Unité : N B Actions de contact linéiques (charges réparties)
Si deux solides sont en contact suivant une ligne, l’action est schématisée par un vecteur force q appliqué sur toute la ligne de contact.
Exemple : Cloison sur plancher.
Unité : N/ml q 1
2
F2/1
C Actions de contact ou charges réparties sur une surface Exemple : Vent sur mur.
Vent
Unité : N/m² 3.3. EXERCICESSURLESACTIONSMÉCANIQUES
Exercice n°1 :
Poutre AB :
• Caractéristiques géométriques : Portée : 3.5 m
Appui de gauche A : articulation Appui de droite B: appui simple Repère (A ; x ; y )
• Actions mécaniques
Deux charges ponctuelles verticales vers le bas d’intensité F=3KN appliquées à x =1.00m et x
=2.50m.
Une charge linéaire uniformément répartie verticale vers le bas d’intensité q=1.5 KN/ml sur toute la poutre.
Effectuer le schéma mécanique de la poutre AB.
Calculer le moment en A engendrée par les forces F . Calculer le moment en A engendrée par la charge linéaire q.
En déduire le moment total en A.
schématiquement
Poutre CD :
• Caractéristiques géométriques : Portée : 5.60m
Appui de gauche C : encastrement Appui de droite D: libre
Repère ( C ; x ;y )
• Actions mécaniques
Une charge ponctuelle verticale F vers le bas d’intensité 10KN appliquées à x =2.50m
Une charge linéaire uniformément répartie verticale vers le bas d’intensité q=1 KN/ml sur toute la poutre.
Effectuer le schéma mécanique de la poutre CD.
Calculer le moment en C engendrée par les forces F . Calculer le moment en C engendrée par la charge linéaire q.
En déduire le moment engendrée par F + q 3.4. EXERCICESURLESUNITÉS :
10000cm² = m² 0.800MN/m = KN/m
10 000 000cm3= m3 10KN/mm² = KN/m² 25KN/mm = KN/m 1MN/cm² = KN/m²
300N/m = KN/m
3.4.1. Exercice N°2
Soit une poutre AB en béton armé de section 50 x 20cm et de portée 6.00m.
Appui A : articulation Appui B : appui simple
Poids volumique du béton armé : 25 KN/m3
1. Déterminer le poids P en KN de la poutre considérée.
2. En déduire le poids linéaire p en KN/m de la poutre.
3. Effectuer le schéma mécanique de la poutre AB.
4. Calculer le moment en A engendré par le poids de la poutre.
3.4.2. Exercice N°3
Soit un plancher en béton armé d’épaisseur 18 cm et de surface 200m².
1. Déterminer le poids surfacique Ps du plancher (KN/m²) . 2. Déterminer le poids P du plancher (KN).
3.4.3. Exercice N°4
Soit une poutre AB en béton armé supportant une partie d’un plancher béton armé.
Largeur de dalle reprise par la poutre : 5 m Epaisseur du plancher : 16 cm
Section de la poutre : 30 x 60 cm Portée de la poutre : 5.00 m
Poids volumique du béton armé : 25KN/m3 Appui A : appui simple
Appui B : articulation.
1. Déterminer le poids P1 du plancher en KN.
2. Déterminer le poids P2de la poutre en KN.
3. En déduire le poids total P : plancher + poutre.
4. Effectuer le schéma mécanique de la poutre AB.
5. Calculer le moment en A engendré par P.
Poutre BA Plancher BA
4. SYSTEMES EQUIVALENTS / REDUCTION DE SYSTEME (DE FORCES)
4.1. SYSTÈMESDEFORCESÉQUIVALENTS
4.1.1. Définitions
.
Un système de forces est un ensemble de forces agissant simultanément sur un système matériel (= solide ou ensemble de solide)
Des systèmes de forces différents sont dits équivalents si appliqués séparément à un solide ils provoque les mêmes effets :
On dit également qu’ils ont les mêmes éléments de réductions.
C'est à dire :
Ils ont la même résultante et le même moment résultant en un point donné.
⇒ ∑ Forces = identique
∑ Moment = identique
Remarque : Il est toujours possible de remplacer un système de forces par un autre s'il est équivalent au précédent.
4.1.2. Exemples
A Composantes d’une force
(= projections orthogonales de F sur ox ⇒F(x) et sur oy ⇒F(y), ayant la même origine que F).
Exercice
Montrez le système 1 est équivalent au système 2 (prendre F = 20 kN et α = 40°) Conséquence :
Le Mt F/o = F x OA est égal aussi à Mt Fx/o + Mt Fy/o
=
-F(x) x A + F(y) x B y
o
x F
F(x) F(y)
2 1
1
α
y
o
x F(x)
F(y)
2
1
2
En
pratique :
Il sera plus simple de faire le moment d’une force en utilisant les valeurs de ses composantes, placées à l’origine de F.
B Résultante d’un système de forces.
• Si la somme des forces est non nulle, on peut dire que le système admet une résultante.
• En effet il sera possible de trouver un système de force à une force équivalent.
- Σ Forces identique ⇒ R = Σ Forces - Σ Mt /même point ⇒ Position de R
Système à forces concourantes
On veut que le système 2 soit équivalent au système 1
⇒ Σ Force identique ⇒ R = F1 + F2
Σ Moments identique⇒ or Σ Mt A (F1,F2) = 0 ⇒ R passe par A Conclusion :
Soit un système de n forces F1,F2,…,Fn concourantes en un même point I.
La résultante R des n forces passe aussi par I et est égale à la somme vectorielle des n forces : R=
F1+F2+....+Fn Exemple :
pour la vis proposée, déterminons la résultante ou l’effet combiné des quatre tensions de câbles T1,T2,T3 et T4
1. Méthode graphique
1 2
y F1 y
F2
R
o o
x x
2. Par le calcul :
R = T1+T2+T3+T4 donne en projection sur les axes x et y Rx=
Ry=
║R║=
tanθ =
Système à forces parallèles
Soit le système 1 à deux forces : déterminer R dans le système 2 ( position et intensité) Avec F1 = 10 KN et F2 = 40 KN
A
B A
B
1.00 1.50 1.00 1.50
Exercice
Déterminer la résultante du système 1 (intensité, position)
Exemple
Pour l’exemple ci-contre :
Déterminons par le calcul la résultante de F1, F2 et F3
(intensité, position)
Résultante d’un système de forces planes quelconques
Si les forces connues ne sont pas toutes concourantes au même point, il est nécessaire de déterminer graphiquement la ligne d’action de la résultante par approches successives, en combinant les forces deux à deux.
Exemple :
Déterminons la résultante des actions F1,F2 et F3 exercées par trois remorqueurs pour manœuvrer un pétrolier.
Le pétrolier se comporte comme si un seul remorqueur poussait dans la direction DJ avec une poussée de 600 KN
4.2. RÉDUCTIOND’UNSYSTÈMEDEFORCES (EN 1 POINT)
Il s’agit de modifier un premier système de force pour que seul apparaisse un système de forces appliqué en un point donné = Réduction de système en un point .
Le deuxième système ainsi obtenu devant être équivalent au premier . -On obtient ainsi les éléments de réduction en un point .
E
xemple:
Question :
Déterminer littéralement les éléments de réduction en C de FA et FB a/ Algébriquement.
b/ Vectoriellement.
C
d1 d2
FA A FB
B
C
4.3. NOTIONDETORSEUR
4.3.1. Définition :
C’est une grandeur mathématique qui représente la réduction d’un système de force en un point.
⇒Un torseur d’action mécanique en un point est un ensemble constitué de deux grandeurs : - une force S (somme des forces concernées), indépendante du point choisi ;
- un couple MA (ou moment résultant), fonction du point A choisi.
⇒ TORSEUR en A = TA = ensemble
S
et MA sont les éléments de réduction du torseur.
Exemple de notation T1/2 = ensemble: est le torseur de actions de ½ en A
4.3.2. Ecriture Algébrique :
4.3.3. Somme de torseur :
La somme de plusieurs torseurs ne peut se faire que s'ils sont tous écrits au même point; c’est impératif ! (une somme de moment ne pouvant se faire que s'ils sont calculés / même point).
4.3.4. Torseurs particuliers Couple
Glisseur
Torseur nul
A
S M A
A
S1/2
M1/2 A
4.4. EXERCICES : NOTIONDERÉSULTANTE
4.4.1. Exercice N°1 : Déterminer le résultante R de T1 et T2
agissant sur le palier en A.
4.4.2. Exercice N°2 :
Le palier à roulement est soumis aux actions A et B.
Calculer les composantes horizontale (x) et (y) des forces A et B.
En déduire la résultante des deux forces.
4.4.3. Exercice N°3 :
Pour les trois cas proposés, déterminer la résultante des trois forces F,T et S.
4.4.4. Exercice N°4 :
F1,F2,F3 et F4 schématisent les actions exercées par les câbles sur la tête de la vis.
Déterminer la résultante des quatre forces.
4.4.5. Exercice N°5 :
P1 (150 kN) schématise le poids de la partie camion, P2(90kN) le poids du corps de la grue et P3(70kN) le poids de la flèche télescopique.
Déterminer la résultante des trois forces.
4.5. EXERCICES : NOTIONSDEFORCES/MOMENTS/RÉSULTANTES
4.5.1. Exercice1
La force R schématise la résultante des forces de pression dues au vent.
Calculer le moment en A de R, A étant la zone fragile du panneau indicateur.
4.5.2. Exercice2
Calculer le moment en C de la force T et le moment en C de la force S.
Déduire le moment résultant en C des deux forces.
4.5.3. Exercice3
Les forces F et T, appliquées en I et J, schématisent les actions exercées par les roues dentées.
Calculer le moment en O de la force F
A partir de quelle valeur la force T équilibre-t-elle le couple moteur engendré par F.
4.5.4. Exercice 4
La tension du câble AB est T1 = 18.5 kN, celle du câble AC est T2=13kN avec α=45°
Déterminer la résultante R de T1 et T2 en kN, daN et N.
4.5.5. Exercice 5
F1,F2 et F3 schématisent les forces exercées sur la structure en treillis.
Déterminer la résultante des trois forces.
5. ETUDE DES LIAISONS
5.1. PRESENTATION
Dans le bâtiment, les liaisons entre solides se ramènent à trois familles principales : Appui simple, articulation ou pivot et encastrement.
Chaque famille peut supporter ou transmettre des efforts différents.
5.2. EFFORT TRANSMISSIBLE PAR UNE LIAISON
L’action exercée par les surfaces de liaison des solides (0 et 1) en contact est schématisée par une résultante S (coordonnées Sx et Sy ) et un moment éventuel M.
Type de liaison
Schématisation usuelle
Actions de contact entre
0 et 1
Exemples
Appui simple (1 inconnue)
Articulation ou Pivot (2 inconnues)
Encastrement (3 inconnues)
Plus généralement
Suivant la nature de la liaison entre deux solides, les six coordonnées Sx, Sy, ...Mz, du torseur peuvent être nulles ou non. (Mouvements possibles ou non).
⇒ L’ensemble des coordonnées non nulles caractérisent l’effort transmissible par la liaison. (Par conséquent une coordonnée nulle signifie que le mouvement correspondant et libre entre les deux solides)
⇒ Le nombre de degré de liberté correspond au nombre des composantes nulles du torseur associé.
Remarques :
- La somme des efforts transmissibles et des degrés de liberté est égale à 6 dans l’espace et à 3 dans le plan (nombre de coordonnées du torseur).
- Si le nombre d’efforts transmissibles↑, le nombre des degrés de liberté↓.
- Les efforts transmissibles par une liaison correspondent généralement aux actions cherchées en statique = nombre d’inconnues de statique.
Liaisons Schéma Mvt. relatifs
de liberté
Torseur des interactions
Exemples dans le bâtiment
Encastrement
0 Translation 0 Rotation
⇒ 0 °d de liberté
Sx Mx Sy My Sz Mz
Articulation (pivot)
0 Translation 1 Rotation
⇒ 1 °d de liberté
Sx 0 Sy My Sz Mz Appui simple
(ponctuel) (suivant z)
2 Translations 3 Rotations
⇒ 5 °d de liberté
0 0 0 0 Sz 0
Appui plan
2 Translations 1 Rotation
⇒ 3 °d de liberté
0 Mx 0 My Sz 0
5.3. NOMBRED’INCONNUESINDUITESPARLESLIAISONS
A Dans l’espace : Appui simple → 1 inconnue : Sz.
Intensité de Sz inconnue
direction connue ⊥ au plan de contact.
Articulation → 5 inconnues Encastrement → 6 inconnues
B Dans le plan :
Appui simple → 1 inconnue : Sz.
Intensité de Sz inconnue
direction connue ⊥ au plan de contact.
Articulation → 2 inconnues : direction et intensité de S (= Sx, Sy) (Mz = 0)
Encastrement → 3 inconnues : direction et intensité de S (= Sx, Sy) et intensité de Mz
5.4. EXEMPLESDEDIFFERENTSTYPESD’APPUISDEPOUTRE
A B C
D E
3
2
1
F
6. CONDITIONS GENERALES DE L’EQUILIBRE
6.1. HYPOTHÈSES
Tous les corps étudiés sont indéformables.
Les coordonnées d'un point quelconque sont constantes.
Les supports des forces sont invariables.
6.2. BUT :
On veut déterminer les actions extérieures agissant sur un système, dans le but ultérieur d’appliquer la R.d.M.
Un système étant composé d’un solide unique ou d’un ensemble de solides.
6.3. NOTIOND’ACTIONMÉCANIQUEDELIAISONEXTÉRIEUREETINTÉRIEURE ÀUNSYSTÈMEDONNÉ :
Généralités :
- A chaque liaison s’exercent des actions mécaniques (Forces et moments) dites de liaison,
correspondant à l’action d’une barre sur une autre (plus généralement d’un système sur un autre au niveau de cette liaison).
- Ces actions mécaniques sont dites :
Extérieures au système lorsqu’elles remplacent l’action d’une liaison que l’on vient de couper pour isoler ce système.
Intérieures au système quand la liaison n’a pas été coupée.
Exemple :
Soit le système (potence) modélisé ci-dessous composé de plusieurs solides (CE=3 ; CA=1 ; BD=2) Cette potence est scellée (Encastrée) dans le sol.
Donnez :
a/ Au moins 2 actions extérieures au système Potence (1+2+3) b/ Au moins 2 actions intérieures au système Potence (1+2+3) c/ Au moins 3 actions extérieures au système 1
b/ Au moins 2 actions intérieures au système 1+3
6.4. ENONCÉDUPRINCIPE FONDAMENTALDELASTATIQUE (P.F.S):
Pour qu'un solide soit en équilibre (statique) il faut qu'il ne subisse aucun déplacement : Pas de translation (dans n'importe quelle direction).
Pas de rotation
Donc un solide indéformable en équilibre sous l’action de n forces extérieures (F1,F2,….,Fn) reste en équilibre si :
• la somme vectorielle S de toutes les forces extérieures est nulle (pas de translation)
∑Fext = F1 +F2+ …..+Fn =0
En projection sur x et y : 2équations
∑Fx = F1x+F2x+…….+Fnx=0 (1)
∑Fy = F1y+F2y+……..+Fny=0 (2)
• Le moment résultant MI en n’importe quel point I de toutes les forces extérieures est nul (Pas de rotation).
∑MI(Fext) = MI(F1)+ MI(F2)+...+ MI(Fn) =0 (3) Dans le plan :
1/ ∑ F(x) = 0 2/ ∑ F(y) = 0 3/ ∑ M(z) = 0
3 équations de la statique ⇒ 3 inconnues.
Dans l'espace :
1/ ∑ F(x) = 0 4/ ∑ M(x) = 0
2/ ∑ F(y) = 0 5/ ∑ M(y) = 0
3/ ∑ F(z) = 0 6/ ∑ M(z) = 0 6 équations de la statique ⇒ 6 inconnues.
6.5. CASPARTICULIERS :
Solide soumis à l'action de 2 forces
Un solide soumis à 2 forces est en équilibre si les 2 forces sont directement opposées :
F
-F
Solide soumis à l'action de 3 forces (dans le plan:)
Un solide soumis à 3 forces est en équilibre si : Les 3 forces sont concourantes.
La dynamique des forces est fermée.
6.6. RÉSOLUTIOND'UNPROBLÈMEDESTATIQUE : Pour résoudre un problème de statique : 3 étapes sont nécessaires
6.6.1. Etablir le schéma mécanique
Un schéma mécanique est un schéma modélisé (simplifié) de la structure sur lequel seules apparaissent les forces extérieures agissant directement sur le système.
Méthodologie :
A Modéliser le système :
Consiste à simplifier le dessin du système (gain de temps) tout en gardant statiquement équivalent : - Garder la forme générale du solide (ou les solides) et le représenter par sa fibre moyenne.
- Schématiser les différentes liaisons (voir chap.II) B Isoler le système matériel à étudier :
- "couper "au niveau des liaisons du système à étudier avec l’extérieur - remplacer les liaisons coupées par les actions mécaniques associées.
C Ajouter les actions extérieures :
- représenter les actions extérieures (charges d'exploitation, charges permanentes) par des vecteurs forces (charges ponctuelles, charges réparties) ou des vecteurs moments.
- indiquer toutes les cotes nécessaires.
F1
O F2
F3
F1 F2
F3
dynamique fermé
6.6.2. Faire le bilan - Faire le bilan des inconnues (I)
- Faire le bilan des équations possibles (E) dans notre exemple : si I ≤ E résoluble.
I > E non résoluble.
6.6.3. Appliquer le principe fondamental de statique : Dans le plan :
3 équations pour 3 inconnues (en général : actions de contact). Le système est dit isostatique.
Résoudre le système d'équations
Rappels et Remarques :
a/ Actions extérieures(à un système) : Actions directement appliquées sur le système (dont poids) et actions des liaisons coupées
b/ Les coupures devront être choisies de façon à faire apparaître les actions recherchées (⇒ choix de l’élément à isoler).
c/ Intérêt des systèmes soumis à 2 forces.
Le seul intérêt (non négligeable) d’un élément soumis à deux forces est de donner la direction des forces (puisque opposées) qui se traduit par une équation supplémentaire dans la résolution de la statique de la forme : Tanα =F xF y( )( ) .
Exemple :
Dans notre exemple.
g charge permanente : poids propre.
q charge d'exploitation : poids des personnes.
F charge d'exploitation horizontale.
Balcon à étudier
q = 2.5 KN/ml
g = 6 KN/ml
F = 1 KN/ml
2,00 m
1,00 m
encastrement
q = 2.5 KN/ml
g = 6 KN/ml
F = 1 KN/ml
2,00 m
1,00 m
A B
C
A B
C
R
Aµ
Aschéma mécanique
Μοδλισατιο ν
⇒
6.7. METHODE DE RESOLUTION DES PROBLEMES DE STATIQUE
OBJECTIF DU PROBLEME: Déterminer complètement les actions mécaniques exercées sur un
solide appartenant à un ensemble de solides donnés.
Modaliser le système, en le schématisant et en modalisant les différentes liaisons entre les éléments
Extraire le solide de l'ensemble, en coupant au niveau des liaisons avec les autres éléments. Dessiner le
solide seul dans la même position graphique.
Remplacer toutes les liaisons coupées par le système de forces associées.
Ajouter les actions à distance (poids, charges sur l’élément).
Faire le BILAN de toutes les actions inconnues agissant sur le solide.
et le BILAN des équations possibles
RESULTATS : Le problème est terminé lorsque toutes les actions agissant sur le solide sont
entièrement connues.
Déterminer d'autres éléments ( en isolant
d’autres solides ) et en faisant intervenir le
PRINCIPE des actions mutuelles.
Exemple : éléments biarticulés
Résoudre graphiquement ou
analytiquement.
(Choisir la méthode la plus performante)
en appliquant le P.F.S.
a partir des Isoler un solide
et établir son schéma mécanique C’est réaliser ces deux étapes
La
Résolution est-elle possible à partir du bilan précédent
TEST
NON OUI
6.8. LE DEGRÉ HYPERSTATIQUE
Un solide, ou un ensemble de solides, qui possède des appuis ou des liaisons surabondantes par rapport à ce qui est strictement nécessaire au maintien de l’équilibre, est dit statiquement
indéterminable ou hyperstatique.
Pour ce cas, les actions exercées ne peuvent pas être déterminées à partir des seules équations de la statique.
Rappel :
Le PFS nous permet d’obtenir 3 équations :
∑Fext =0
En projection sur x et y 2 équations
∑M(Fext)=0 1 équation
notation : Ne : nombre d’équations fournies par le PFS Ni : Nombre d’inconnues
Degré Hyperstatique DH : Ni -Ne Exemple :
La poutre (ABC) est en appui sur trois articulations fixes A, B et C qui donnent au total six inconnues statiques : Ax, Ay ,Bx ,By, Cx, Cy .On ne dispose que de trois équations pour la résolution, le système est dit hyperstatique d’ordre 3 (6-3 = 3).
Remarque :
Le calcul du degré hyperstatique est indépendant du chargement 3 cas sont envisagés :
• si Ne=Ni : la structure est isostatique. La résolution du problème est possible par les équations de la statique.
• si Ne>Ni : la structure est hypostatique. Elle n’est pas en équilibre et donc instable.
• si Ne<Ni : La structure est hyperstatique. Elle possède des appuis ou des liaisons surabondantes par rapport à ce qui est strictement nécessaire au maintien de l’équilibre. Les équations de la statique ne suffisent pas pour la résolution du problème.
3 équations
6.9. EXERCICES : DEGRÉ HYPERSTATIQUE Déterminer le degré hyperstatique des structures proposées.
6.10. EXERCICESD’APPLICATIONSDU PFS Calculer les actions de liaisons des structures proposées :
6.11. DIAPORAMA
Voir dans la partie « ANNEXES » de ce document.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
7. CENTRE DE GRAVITE
7.1. COURSÉLÈVE
7.1.1. Définitions
• Points matériels : points qui ont une masse donc un poids (P = m.g)
• Poids : force d’attraction terrestre qui est constante et toujours orientée vers le bas suivant une verticale
• Centre de gravité : point particulier où l’on peut concentrer la masse (ou poids) de tous les points matériels constituant le système de façon que le système reste équivalent statiquement parlant.
• ⇒ Détermination de la position de la résultante
7.1.2. Centre de gravité de 2 points matériels
Système équivalent ⇔ Σ F ⇔ Σ M/O ⇔
2 P 1
Px1 P2.x2 .
1 XG=P ++
2 P 1
Py1 P2.y2 .
1 YG=P ++
Remarque : si P1 = P2
XG = ⇒ XG=
=
YG ⇒ YG= x2
R
× A x1
y1 A
x1 y2
P2 B x2
y2 B
y1 YG
×
G×
XG
⇔
P1
7.1.3. Formule du BARYCENTRE (c.d.g de plusieurs points) Exemple :
3 points
Système équivalent ⇔ Σ F ⇔ R = P1 + P2 +P3
Σ M/O ⇔ xG R = x1 P1+ x2 P2 + x3 P3
yG R = y1 P1 + y2 P2 + y3 P3
2 P 1
Px1 P2.x2 .
1 XG P
++
=
2 P 1
Py1 P2.y2 .
1 YG=P ++
⇒ Formules du Barycentre:
Pi xi . XG
nPi
1 i n 1 i
∑
∑
→
=
→Pi yi . YG
nPi
1 i n 1 i
∑
∑
→
=
→× A x1
y1 A
x1 y2
P2 B x2
y2 B
y1
x3
×
⇔
P3 C x3
y3 C × P1
x2
R YG
G×
XG y3
⇔
Remarque :
Pour les pièces ayant une épaisseur constante, le poids est proportionnel à la surface P = k S.
⇒ Centre de gravité de section
Si xi . XG
nSi
1 i n 1 i
∑
∑
→
=
→Si yi . YG
nSi
1 i n 1 i
∑
∑
→
=
→7.1.4. Centre de gravité de formes simples FORMULAIRE
CENTRE DE GRAVITE
G est au milieu (intersection des
diagonales)
G est au centre du cercle
G est à l’intersection des médianes
7.1.5. Méthode pour déterminer un centre de gravité d’une section complexe
• Décomposer la section complexe en surface simple dont on connaît la surface et la position du centre de gravité (carré, rectangle, triangle, cercle, demi-cercle)
• Mettre les axes Ox, Oy (attention aux signes x,y)
• Appliquer la formule du barycentre sur chaque surface pour obtenir le centre de gravité de la section totale.
• Présenter les résultats dans un tableau
Surface
élémentaire x
Giy
GiS
ix
GiS
iy
GiS
iTotaux Σ S
i= Σ x
GiS
i= Σ y
GiS
i=
⇒ Formule du barycentre
Remarque :
Lors de la décomposition il peut être plus rapide de prendre une surface plus grande à laquelle on déduit une autre surface pour avoir la surface réelle de l’élément.
⇒ Dans ce cas S à déduire sera comptée négativement.
7.2. EXERCICESD’APPLICATIONS : ÉLÈVE
7.2.1. Exercice 1
Déterminer la position du centre de gravité des sections ci-dessous.
2. Poutrelle en I
3. poutrelle en U
5. profilé creux
6.
7.2.2. Exercice 2
7.2.3. Exercice 3 : centre de gravité d’une section.
Pour les sections suivantes déterminer la position du centre de gravité
7.2.4. Exercice 2: vérification des caractéristiques d’un upn 300 A = 58.80 cm²
XG = 2.95 cm YG = 15.00 cm
7.2.5. Exercice 3 : étude d’un acrotère a) déterminer le centre de gravité de l’acrotère ainsi défini.
b) cet acrotère est-il autostable( est-il en équilibre ainsi posé) ? c) si non quelle longueur doit on modifier et quelle doit être sa valeur ?
7.3. COURSPROF
7.3.1. Définitions
• Points matériels : points qui ont une masse donc un poids (P = m.g)
• Poids : force d’attraction terrestre qui est constante et toujours orientée vers le bas suivant une verticale
• Centre de gravité : point particulier où l’on peut concentrer la masse (ou poids) de tous les points matériels constituant le système de façon que le système reste équivalent statiquement parlant.
• ⇒ Détermination de la position de la résultante
7.3.2. Centre de gravité de 2 points matériels
Système équivalent ⇔ Σ F ⇔ R = P1 + P2 Σ M/O ⇔ xG.R = x1P1+ x2 P2
yG.R = y1 P1 +y2 P2
2 P 1
Px1 P2.x2 .
1 XG P
++
=
2 P 1 P
2 y . 2 P 1 y . 1 YG=P ++
Remarque : si P1 = P2
1 P 2
) 2 x . 1 x .(
1
XG=P + ⇒ XG=(x1+2.x2)
1 P 2
) 2 y . 1 y .(
1
YG=P + ⇒ YG=y1+2.y2 G au milieu de A et B x2
R
× A x1
y1 A
x1 y2
P2 B x2
y2 B
y1 YG
×
G×
XG
⇔
P1
7.3.3. Formule du BARYCENTRE (c.d.g de plusieurs points) Exemple :
3 points
Système équivalent ⇔ Σ F ⇔ R = P1 + P2 +P3
Σ M/O ⇔ xG R = x1 P1+ x2 P2 + x3 P3
yG R = y1 P1 + y2 P2 + y3 P3
2 P 1
Px1 P2.x2 .
1 XG P
++
=
2 P 1
Py1 P2.y2 .
1 YG=P ++
⇒ Formules du Barycentre:
Pi xi . XG
nPi
1 i n
1 i
∑
∑
→
=
→Pi yi . YG
nPi
n 1 i
∑
∑
→=
× A x1
y1 A
x1 y2
P2 B x2
y2 B
y1
x3
×
⇔
P3 C x3
y3 C × P1
x2
R YG
G×
XG y3
⇔
Remarque :
Pour les pièces ayant une épaisseur constante, le poids est proportionnel à la surface P = k S.
⇒ Centre de gravité de section
Si xi Si
XG n
i n
i
∑
∑
→
= →
1 1
.
Si yi . YG
nSi
1 i n 1 i
∑
∑
→
=
→7.3.4. Centre de gravité de formes simples FORMULAIRE
CENTRE DE GRAVITE
G est au milieu (intersection des
diagonales)
G est au centre du cercle
G est à l’intersection des médianes
7.3.5. Méthode pour déterminer un centre de gravité d’une section complexe
Décomposer la section complexe en surface simple dont on connaît la surface et la position du centre de gravité (carré, rectangle, triangle, cercle, demi-cercle)
Mettre les axes Ox, Oy (attention aux signes x,y)
Appliquer la formule du barycentre sur chaque surface pour obtenir le centre de gravité de la section totale.
Présenter les résultats dans un tableau
Surface
élémentaire x
Giy
GiS
ix
GiS
iy
GiS
iTotaux Σ S
i= Σ x
GiS
i= Σ y
GiS
i=
⇒ Formule du barycentre
Remarque :
Lors de la décomposition il peut être plus rapide de prendre une surface plus grande à laquelle on déduit une autre surface pour avoir la surface réelle de l’élément.
⇒ Dans ce cas S à déduire sera comptée négativement.
7.4. EXERCICESD’APPLICATIONS : PROF
7.4.1. Exercice 1
Déterminer la position du centre de gravité des sections ci-dessous.
1.
cornière
2. Poutrelle en I
3. poutrelle en U
4. tube
5. profilé creux
6.
7.4.2. Exercice 2
7.4.3. Exercice 3 : centre de gravité d’une section.
Pour les sections suivantes déterminer la position du centre de gravité
7.4.4. Exercice 2: Vérification Des Caractéristiques D’un Upn 300 A = 58.80 cm²
XG = 2.95 cm YG = 15.00 cm
7.4.5. Exercice 3 : étude d’un acrotère a) déterminer le centre de gravité de l’acrotère
ainsi défini.
b) cet acrotère est-il autostable( est-il en équilibre ainsi posé) ?
c) si non quelle longueur doit on modifier et quelle doit être sa valeur ?
8. EQUILIBRE D’UN SYSTEME RETICULE
8.1. DÉFINITION
On appelle système réticulé ou treillis, une structure formée d’un assemblage de barres rectilignes reliées entre elles par des articulations. Ces liaisons sont appelées des nœuds.
Exemples de systèmes réticulés
Détail d’un nœud :
8.1.1. Objectifs.
Déterminer les efforts exercés dans les barres, en vue de leur dimensionnement, au moyen d’hypothèses simplificatrices.
8.1.2. Hypothèses simplificatrices : o On considère les barres rectilignes et indéformables,
o Les efforts exercés sur la structure sont appliqués uniquement sur les nœuds,( pas de charges sur les barres).
o On néglige le poids des barres, Remarque :
Une barre articulée à ses deux extrémités est appelée biellette et n’est soumise qu’à de l’effort normal.
Les barres sont par conséquent soumises à de la traction ou de la compression.
Barre en compression :
Barre en traction :
8.1.3. Détermination du degré hyperstatique.
Relation entre le nombre de barres b et le nombre de nœuds n :
b = 2n-3
• Si b < 2n-3 : la structure n’est pas rigide, elle est hypostatique.
• Si b = 2n-3 : la structure est en équilibre, elle est isostatique et la résolution est possible avec le principe fondamental de la statique.
• Si b > 2n-3 : la structure est hyperstatique, il y a des contraintes internes (des barres surabondantes).
Exemples :
Déterminer le degré hyperstatique des structures suivantes :
8.2. MÉTHODEDESNŒUDS
Principe de la méthode :
Déterminer les actions de liaisons dans les barres d’une structure réticulée en étudiant l’équilibre de chaque nœud.
Remarque :
Chaque nœud étudié ne doit pas avoir plus de 2 « barres inconnues ».
Exemple
8.2.1. Détermination du degré hyperstatique de la structure Vérifier que la structure est isostatique par la formule :
b = 2n-3 avec b : nombre de barres n : nombre de nœuds
8.2.2. Détermination des actions de liaisons avec l’extérieur Application du PFS
Théorème de la résultante
∑Fext/x=0
∑Fext/y=0
Théorème du Moment
∑MA (Fext)=0
Schéma de la structure avec les actions de liaisons.
8.2.3. Equilibre des différents nœuds
Rappel : un solide soumis à deux forces est en équilibre si et seulement si ces 2 forces sont égales et opposées.
- équilibre du nœud A
∑F/x=0 soit
∑F/Y=0 soit - équilibre du nœud B
∑F/x=0 soit
∑F/Y=0 soit - équilibre du nœud C
∑F/x=0 soit
∑F/Y=0 soit - équilibre du nœud D
∑F/x=0 soit
∑F/Y=0 soit
8.2.4. Tableau récapitulatif :
Barres Effort Type d’effort
AD AC CB CD DB
Remarque :
Si la barre pousse le nœud, elle est en compression Si la barre tire le nœud, elle est en traction
8.3. MÉTHODEDE RITTER
Principe de la méthode :
1/Après avoir déterminer les actions de liaison entre le treillis et son support (réactions d’appuis) 2/ Pour déterminer les forces dans une ou plusieurs barres il suffit de la couper (pour faire apparaître la force cherchée) .
3/ Continuer la coupure de façon à couper le treillis en deux
4/ Etudier l’équilibre d’un morceau pour déterminer les efforts dans les barres Remarque :
Lors de la coupure du treillis il ne doit pas avoir plus de 3 « barres inconnues » coupées.
Exemple :
On
veut déterminer la force dans la barre DB
• 1/ couper CB
• 2/ Continuer la coupure pour couper le treillis en 2 FCB
FCB
FCB FCB FDB FDB
• 3/ Etudier l’équilibre d’un morceau.
ou
⇒ P.F.S
8.4. APPLICATIONS
8.4.1. Exercice 1: systeme reticule Soit la structure ci-dessous :
Vérifier que la résolution du problème est possible.
Calculer les actions de liaisons avec l’extérieur Equilibre des différents nœuds
Conclusion : tableau récapitulatif
Barres Effort Type d’effort
AB AC BD BC CD
FCB FCB FDB FDB F FC
FD B B
FD
B
8.4.2. Exercice 2 :
Un pont est réalisé à partir d’une plate-forme soutenue par deux structures identiques en treillis.
AE = EB = DC = 5m ; AD=DE = EC = CB;
F (8000daN) appliquée en E schématise l’action exercée par la plate-forme chargée.
Déterminer le degré hyperstatique de la structure.
Déterminer les actions exercées sur les appuis en A et B.
Déterminer les actions dans toutes les barres de la structure.
Présenter les résultats dans un tableau récapitulatif.
8.4.3. Exercice 3 :
1. Déterminer le degré hyperstatique de la structure.
2. Déterminer les actions exercées sur les appuis en A et B.
3. Déterminer les actions dans toutes les barres de la structure.
4. Présenter les résultats dans un tableau récapitulatif.
