Chapitre I
L’ETAT SOLIDE CRISTALLIN
La matière peut exister sous trois états: L’état gazeux, l’état liquide et l’état solide. La forme sous la quelle se trouve la matière est déterminée par les interactions entre ses particules constitutives (atomes, molécules ou ions).
Les liquides et les gaz sont des fluides, déformables sous l’action de forces très faibles, ils prennent la forme du récipient qui les contient.
Les solides ont une forme propre, leur déformation exige des forces importantes. Les solides peuvent exister sous deux états différents :
- l’état désordonné caractérisé par une structure non ordonnée c’est le cas des systèmes amorphes, par exemple les verres.
- l’état ordonné caractérisé par une structure ordonnée correspond aux solides cristallins.
Un cristal est constitué d’un assemblage périodique de particules. Il peut être décrit par translation suivant les trois directions de référence d’une entité de base qu’on appelle la maille. La description du cristal nécessite la connaissance du réseau et celle du motif.
I-1-Classification des solides cristallins
Il existe deux types de solides cristallisés: les cristaux moléculaires et les cristaux macromoléculaires
Les cristaux moléculaires sont formés par des empilements réguliers de molécules; c’est le cas par exemple du diode I2, du dioxyde de carbone CO2, de l’eau H2O…..
Dans les cristaux macromoléculaires, la notion de molécule en tant qu’entité chimique indépendante est remplacée par le cristal qui constitue ainsi une molécule.
On classe parmi les cristaux macromoléculaires:
- les cristaux métalliques (Na, Fe, Cu …).
- les cristaux ioniques (NaCl, CsCl, CaF2 …).
- les cristaux covalents (carbone à l’état graphite et diamant, Si, Ge …).
I-2-Propriétés physiques
Les propriétés physiques sont différentes suivant la nature des cristaux.
a- Température de fusion
Les cristaux moléculaires ont des températures de fusion basses, en général inférieures à 0°C. Les cristaux métalliques présentent une gamme assez étendue de températures de fusion. Par contre les cristaux ioniques et les cristaux covalents ont des températures de fusion très élevées.
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Tableau I-1-Températures de fusion de quelques solides cristallins (en °C) Solides
moléculaires
Solides métalliques
Solides ioniques
Solides covalents
He -272.2 Na 97.8 NaCl 801 C (diamant) < 3550 Cl2 -101 Zn 419.6 CaO 2580 C (graphite) 3670 (sublimation)
CO 2 -56.6 Cu 1083 CuCl2 620 Si 1410
H2O 0 Fe 1535 ZnS 1020 SiO2(quartz) 1610
b- conductibilité électrique
Les cristaux métalliques sont de bons conducteurs de l’électricité.
Les cristaux ioniques et moléculaires sont des isolants, bien qu’à l’état fondu les composés ioniques sont des conducteurs.
Les cristaux covalents peuvent être des isolants (diamant), des semi- conducteurs (Si, Ge) ou des conducteurs unidirectionnels (graphite).
c- Propriétés optiques
Les métaux ont un pouvoir réflecteur élevé. Les autres composés sont, en général, transparents.
I-3- Nature des cristaux et classification périodique
Parmi les non-métaux C, Si, Ge, P, As, Sb, Se, Te conduisent à des cristaux covalents. Les autres corps simples (H2, dihalogènes, gaz rares…) cristallisent sous forme de cristaux moléculaires.
Pour les corps composés, si la différence d’électronégativité entre les éléments est importante, il y aura formation de cristaux ioniques. Par contre si la différence d’électronégativité est faible, les cristaux seront covalents ou moléculaires.
Tableau I-2- Type des cristaux des non métaux
H He
m B
M
C M
N m
O m
F m
Ne m Si
M
P m, M
S m, M
Cl m
A m Ge
M
As m, M
Se m, M
Br m
Kr m Sb
m, M
Te M
I m
Xe m Tableau I-3- Types cristallins de quelques composés
NaCl ionique AlCl3 (M) SiCl4 (m) CCl4 (m)
H2O (m) Li2O ionique CO2 (m) SO2 (m) SiO2 (M) m: cristaux moléculaires
M: cristaux macromoléculaires
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I-4- Notions de cristallographie
Un solide cristallin est constitué par un grand nombre de particules (ions, atomes, molécules) situés en des points précis de l’espace.
a- Définitions
* Le réseau cristallin
Un réseau périodique est constitué par un ensemble de motifs identiques disposés de façon périodique dans une direction (réseau monodimensionnel) un plan (réseau bidimensionnel) ou un espace (tridimensionnel).
Un réseau cristallin est constitué par un arrangement triplement périodique de particules dans trois directions de l’espace.
Exemples de réseaux a
* * * * * * * *
Réseau monodimensionnel
♦ ♣ ♦ ♣ ♦ ♣
♣ ♦ ♣ ♦ ♣ ♦
♦ ♣ ♦ ♣ ♦ ♣ ♣ ♦ ♣ ♦ ♣ ♦ ♦ ♣ ♦ ♣ ♦ ♣
Réseau bidimensionnel
* Les nœuds d’un réseau
Les points du réseau où se trouvent les particules sont appelés nœuds du réseau. Ils se déduisent les uns des autres par une translation de vecteur: u a + v b + w c, avec u, v, w des entiers et a, b, c, des vecteurs non coplanaires choisis de façon à avoir le plus petit module.
a b
Réseau tridimensionnel cristal de NaCl
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* La maille cristalline
On appelle maille la structure géométrique la plus simple qui par translation dans les trois directions de l’espace, permet de générer le réseau cristallin dans son ensemble.
La maille est généralement un parallélépipède, définie par les trois longueurs a, b, c et par les trois angles α, β, γ. a, b et c constituent les paramètres de la maille.
Figure I-1 : Schéma d’une maille cristalline
Une maille est dite simple si elle contient un seul nœud.
Une maille est dite multiple si elle contient plusieurs nœuds.
La plus petite maille cristalline permettant de décrire tout le cristal est appelée maille élémentaire.
* Le motif ou groupement formulaire
Le motif est l’entité chimique de base constituant le cristal: c’est l’atome, la molécule ou les groupements ioniques occupant les nœuds du réseau cristallin.
* La coordinence
La coordinence ou nombre de coordination d’une particule donnée représente le nombre de particules les plus proches environnant cette particule.
* Les sites cristallographiques
Les sites cristallographiques correspondent à des vides interstitiels entre les atomes. Les plus fréquents sont les sites tétraédriques délimités par 4 atomes et les sites octaédriques délimités par 6 atomes.
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* La multiplicité
La multiplicité m, n ou z d’une maille cristalline représente le nombre de motifs (ou groupements formulaires) appartenant à cette maille.
* La compacité
La compacité représente le rapport du volume occupé par les n particules appartenant à la maille au volume total de la maille. Si on assimile les particules à des sphères de même rayon r la compacité C peut être calculée par la relation:
C = z 4/3 π r
3avec v
maille= a ( b
^c ) v
mailleOn utilise aussi le taux de compacité défini par: τ = 100C
* La Masse volumique ρ et la densité d d’un solide ρ = masse du solide (en g/cm3)
son volume
Si on se réfère à une maille: ρ = masse de la maille volume de la maille
masse de la maille = z x masse du motif = z x Masse molaire du motif /N D’où ρ = z Mmotif
N vmaille
z = nombre de motifs par maille
M motif = masse molaire du motif
N = nombre d’Avogadro
vmaille = volume de la maille
d = masse d’un certain volume du solide (sans unités) masse du même volume d’eau
Pour les solides: ρ (en g/cm3) = d (sans unités)
La densité d est une donnée important dans l’étude des structures cristallines. d est calculée à partir des résultats de l’analyse par diffraction RX.
d peut également être mesurée expérimentalement. La comparaison des 2 valeurs permet de confirmer la structure cridtalline.
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* L’allotropie
Un solide cristallin peut se présenter sous une, deux ou plusieurs formes correspondant à des arrangements différents des atomes molécules ou ions dans la maille. Ces différentes formes cristallines sont dites variétés allotropiques.
C’est le cas par exemple pour le diamant et le graphite qui sont deux formes ou variétés allotropiques du carbone. Le phénomène d’allotropie correspond à un changement de structure cristalline sous l’effet de la température.
* Les systèmes cristallins
La description d’un cristal se fait en utilisant un système de trois axes de coordonnées caractérisé par les longueurs a, b, c des vecteurs directeurs des axes et par les angles α, β, γ que font ces axes entre eux. Ces axes décrivent les arêtes de la maille. L’origine des axes est prise sur un nœud du réseau.
Selon la symétrie de la maille cristalline, il existe sept systèmes cristallins de base définis par:
Tableau IV- Les 7 systèmes cristallins Système Longueurs des vecteurs
directeurs des axes Angles entre les axes
Cubique a=b=c α=β=γ=90°
Quadratique ou
tétragonal a=b≠c α=β=γ=90°
Orthorhombique a≠b≠c α=β=γ=90°
Monoclinique a≠b≠c α=γ=90° β≠90°
Triclinique a≠b≠c α≠β≠γ≠90°
Hexagonal a=b≠c α=β= 90° γ=120°
Rhomboédrique a=b=c α=β=γ≠90°
Plusieurs types de mailles élémentaires peuvent correspondre à un même système cristallin. Le système cubique par exemple, donne naissance à trois réseaux: cubique simple, cubique centré et cubique à faces centrées.
Selon le mode de réseau, les 7 systèmes cristallins précédents donnent naissance à 14 réseaux de Bravais.
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Figure I-2 : Les 14 réseaux de Bravais
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* Les coordonnées réduites
Soient a, b et c les vecteurs de base de la maille élémentaire décrivant un réseau cristallin.
Soient (XYZ) les coordonnées géométriques des nœuds du réseau.
Le réseau cristallin étant périodique dans les trois directions de référence, les positions de tous les atomes de la maille de coordonnées géométriques (XYZ) sont représentées par les coordonnées réduites (x y z) tels que: 0≤x 1;
0≤y 1 et 0≤z 1.
Les positions correspondant à x=1; y=1 et/ou z=1 se déduisent des premières par les translations du réseau.
Exemple: cas d’une maile simple
Figure I-3: Nœuds équivalents d’une maille simple
Les coordonnées géométriques des atomes occupant les 8 sommets d’une maille simple sont: (X Y Z) = (000) (100) (010) (001) (110) (101) (011) (111)
Les 8 sommets sont équivalents car ils se déduisent les uns des autres par des translations de a selon x, b selon y et/ou c selon z: les positions correspondantes sont représentées par les coordonnées (000) du noeud origine des axes de référence.
* Rangée
Dans un réseau bidimensionnel, une rangée [u v] est une droite qui passe par l’origine et le nœud de coordonnées (u v). Les indices u, v sont premiers entre eux.
Exemple:
La rangée [1 2] est la droite qui passe par l’origine et le nœud (1 2).
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* * * * * * * y
* * * * * * *
* * * * * * *
* * * * * * * [1 2]
x
Rangée [1 2]
Par chaque nœud du réseau passe une droite parallèle à la rangée [1 2].
L’ensemble de toutes ces droites parallèles et équidistantes constitue la famille de rangées [1 2].
* * * * * * * y
* * * * * * *
* * * * * * *
* * * * * * * [1 2]
x
Famille de rangées [1 2]
Le réseau peut donc être décomposé en un faixeau de rangées parallèles et régulièrement disposées.
* * * * * * * * * * *
* * * * * * * * * * *
* * * * * * * * * * *
* * * * * * * * * * *
Famille [1 1] Famille [0 1]
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De la même façon, dans un réseau tridimensionnel, en particulier un réseau cristallin, on appelle rangée [u v w] toute droite passant par l’origine et le nœud de coordonnées (u v w). Les indices u, v, w sont premiers entre eux.
Par chaque nœud du réseau cristallin passe une droite parallèle à la rangée définie. Le réseau cristallin peut donc être décomposé en un faixeau de rangées parallèles et régulièrement disposées.
Il y a un très grand nombre de façons de regrouper les nœuds du réseau cristallin en rangées.
* Plans réticulaires
Les nœuds d’un réseau peuvent être repartis sur des plans appelés plans réticulaires.
Par suite de la périodicité du réseau, il existe une infinité de plans identiques parallèles et équidistants. Ces plans constituent une famille de plans réticulaires.
Un plan réticulaire est désigné par les indices de Miller (h k l). h, k et l sont des entiers positifs, négatifs ou nuls.
Les indices de Miller (h k l) sont tels que le plan correspondant coupe les arêtes: a en a/h, b en b/k et c en c/l.
Le nième plan de la famille de plans réticulaires (h k l) coupe les axes ox, oy et oz dirigés par les vecteurs a, b et c respectivement comme suit: ox en na/h, oy en nb/k et oz en nc/l.
La distance qui sépare deux plans successifs d’une même famille de plans réticulaires (h k l) est appelée distance interréticulaire et notée dhkl.
Il y a un très grand nombre de façons de regrouper les nœuds du réseau cristallin en plans réticulaires.
Exemple
Représenter les trois premiers plans de la famille de plans réticulaires (1 3 2) dans un réseau caractérisé par une maille élémentaire orthorombique (abc et α=β=γ=90°).
Pour représenter un plan nous avons besoin de 3 points:
Le plan réticulaire (1 3 2) d’ordre 1 coupe: l’axe ox en a/1, l’axe oy en b/3, l’axe oz en c/2.
Le plan réticulaire (1 3 2) d’ordre 2 coupe: l’axe ox en 2a/1, l’axe oy en 2b/3 et l’axe oz en 2c/2.
Le plan réticulaire (1 3 2) d’ordre 3 coupe: l’axe ox en 3a/1, l’axe oy en 3b/3, l’axe oz en 3c/2.
Ainsi:
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x
y b
Maille orthorhombique
a
Figure I-5: Les trois premiers plans de la famille (1 3 2)
*Détermination des structures cristallines par diffraction RX La structure des cristaux est déterminée en utilisant la technique de
diffraction des rayons X par les particules qui constituent le réseau cristallin.
Lorsqu’un faixeau de rayons X monochromatique (0.5Ǻ ≤ λ ≤ 2.5Ǻ) est dirigé sur un cristal, on observe dans certaines directions un phénomène de diffraction.
Soit une famille de plans réticulaires (hkl):
dhkl
dhkl
Lorsqu’un faixeau de rayons X, tombe sur les deux plans parallèles d’atomes P1 et P2, séparés par une distance dhkl, la différence de marche δ entre les rayons diffusés par deux atomes successifs est:
δ = CB + BD = dhkl sinθ + dhkl sinθ = 2 dhkl sinθ
* Condition de diffraction
Il se produit des interférences constructives (maximum d’intensité diffractée) lorsque les deux rayons sont en phase cad δ = n λ. Ce qui conduit à la relation de Bragg: 2dhkl sinθ = n λ
θ est l’angle d’incidence et donc de diffraction.
n est un entier positif qui représente l’ordre de la diffraction. Dans la pratique les
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La mesure de l’intensité diffractée en fonction de l’angle d’incidence θ apporte de précieux renseignement sur la structure cristalline de la matière. En effet le diagramme de diffraction RX présente un pic de diffraction chaque fois que la relation de Bragg et vérifiée. Ce qui permet de déterminer les distances dhkl pour tous les plans réticulaires (hkl) du cristal.
Des calculs d’affinement de structure utilisant les distances réticulaires et les intensités des raies de diffraction déduites du diagramme de diffraction RX permettent de déterminer la structure cristalline cad la symétrie, les paramètres de la maille et la position des atomes dans le cristal.
Pour la symétrie cubique le paramètre de la maille est calculé par la relation:
1 = h2 + k2 + l2 (dhk) 2 a2
Figure I-6: Diagramme de diffraction RX de NaCl
(111) (200) (220) (222) (400) (420) (422)
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Chapitre II
Les cristaux métalliques
II-1- La liaison métallique
Les métaux à l’état solide sont constitués de cristaux dans lesquels la cohésion est assurée par une liaison d’un type particulier appelée liaison métallique.
Dans un cristal métallique les électrons de valence des atomes sont délocalisés dans tout le cristal. Le métal peut être considéré comme un réseau régulier d’ions positifs assimilés à des sphères tangentes, baignant dans le nuage de leurs électrons de valence. L’ensemble reste constamment neutre.
Figure II-1- Section plane d’un réseau cristallin d’un métal
Ce modèle de liaison n’est pas dirigé; il permet d’interpréter un certain nombre de propriétés caractéristiques des métaux.
II-2- Propriétés physiques des métaux a- Propriétés mécaniques
La liaison métallique est moins rigide que la liaison covalente; les métaux peuvent être déformés sous l’action de forces extérieures. En effet, la liaison métallique n’est pas orientée puisque les électrons qui l’assurent ne sont pas localisés; les forces de cohésion qui s’exercent dans toutes les directions permettent donc le glissement des différentes couches d’atomes les unes sur les autres (ductilité, malléabilité….).
Les propriétés mécaniques d’un métal (malléabilité et ductilité) s’interprètent par la facilité de déplacement du cristal métallique le long d’un plan du réseau.
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Figure II-2- Déformation d’un cristal métallique le long d’un plan, il n’en résulte pas de puissantes forces répulsives
Figure II-3- Déformation d’un cristal ionique le long d’un plan, produisant de puissantes forces répulsives et une distorsion du réseau.
b- Propriétés thermiques
La grande conductibilité thermique des métaux est due au nuage électronique. Si le métal est chauffé en un point, l’agitation thermique des électrons se propage dans tout le métal provoquant ainsi une élévation de température des parties non chauffées.
c- Propriétés optiques
Les métaux sont de bons réflecteurs de la lumière. Les électrons libres sont excités par le champ électromagnétique du rayon lumineux incident; par désexcitation ils réémettent les radiations lumineuses sans perte d’énergie (Argent, mercure….). Parfois ils absorbent certaines radiations lumineuses visibles: le cuivre et l’or absorbent le bleu, ils apparaissent alors jaunes.
d- Propriétés électriques
Les métaux sont d’excellents conducteurs de l’électricité. Une faible différence de potentiel provoque un courant d’électrons relativement important, ce qui entraîne un échauffement du métal.
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II-3- Structures métalliques
La plupart des métaux présentent une structure cristalline qui permet de les assimiler à un assemblage compact ou semi-compact de sphères identiques.
Il en résulte trois structures principales:
- cubique à faces centrées (assemblage compact) - hexagonale compact (assemblage compact) - cubique centrée (assemblage semi-compact) II-3-1-Assemblages compacts
Les deux structures: cubique à faces centrées et hexagonale compacte correspondent à deux façons d’assembler dans l’espace des sphères de même rayon r de façon à occuper le minimum de place: le rapport du volume occupé par la matière au volume total ou compacité est alors maximal. On parle d’assemblages compacts.
Figure II-4- Assemblage compact de sphères identiques dans un même plan
L’association la plus simple de sphères en contact dans un même plan montre que chaque sphère est en contact avec 6 voisines (figure II-4) et s’inscrit au centre d’un hexagone régulier de côté 2r.
A l’intérieur d’une même couche A, les centres des sphères occupent les nœuds d’un réseau de triangles équilatéraux. Ces plans se superposent les uns aux autres de façon à occuper le plus faible volume.
Si l’on superpose à la première couche A une deuxième couche B de sphères identiques, chaque sphère du plan supérieur B repose sur 3 sphères du plan inférieur A, de façon à obtenir le système le plus compact possible (figure II-5).
Modèle compact Modèle éclaté
Figure II-5- Empilement compact de 2 plans successifs A et B A
2r
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Ces 4 sphères forment les sommets d’un tétraèdre régulier de côté 2r et délimitent une lacune appelée site tétraédrique noté [4]. Réciproquement chaque sphère du plan inférieur est en contact avec 3 sphères du plan supérieur.
Si nous considérons 3 plans d’atomes (1) (2) et (3) successifs (figure II-6), chaque atome du plan médian (2) est en contact avec 3 atomes du plan supérieur (1) et 3 atomes du plan inférieur (3). Les atomes du plan (1) et (2) forment un site tétraédrique. Ceux des plans (2) et (3) forment un autre site tétraédrique. A chaque atome correspondent donc 2 sites tétraédriques. Si N est le nombre d’atomes appartenant au cristal, il y aura 2N sites tétraédriques.
A
B
Figure II-6- 2 Sites tétraédriques Figure II-7- Site octaédrique
Ce mode d’assemblage entraîne aussi l’existence de sites octaédriques réguliers de côté 2r notés [6] et délimités par 6 atomes appartenant à 2 plans successifs: 3 atomes du plan inférieur dont les centres constituent les sommets d’un triangle équilatéral et 3 atomes du plan supérieur dont les centres forment les sommets d’un triangle équilatéral opposé au premier (figure II-7). A chaque atome correspond 1 site octaédrique. Il y a N sites octaédriques pour N atomes.
II-3-2- Structures cubique à faces centrées et hexagonale compacte
L’assemblage compact donne deux types de structures: cubique à faces centrées ou hexagonale compacte. Ces deux empilements ne diffèrent que par le mode de superposition des plans successifs. Nous avons vu la superposition de deux plans successifs A et B. A ces deux plans on peut ajouter une troisième couche C de deux façons différentes:
a- Structure cubique à faces centrées (CFC)
La 3ème couche C est telle que les sphères qui la constituent se placent dans les creux de la couche B et se projettent verticalement sur les creux de la couche A (figure II-8). Les couches se succèdent selon la séquence ABC, ABC…
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Axe d’empilement Axe d’empilement
Figure II-8- Empilement CFC: Séquence ABCA …
Coordinence
Dans ce type d’empilement chaque sphère est en contact avec 12 sphères voisines, 6 dans le même plan, 3 dans le plan inférieur et 3 dans le plan supérieur. La coordinence est donc égale à 12.
Cette coordinence est la plus élevée possible pour des sphères de même rayon, elle est caractéristique des empilements compacts.
Maille cubique à faces centrées
Axe d’empilement
Maille CFC en perspective Projection sur le plan xoy Figure II-9- Succession des plans A B C dans la maille CFC et projection sur le plan xoy
La maille qui permet de décrire la structure résultant de ce type d’empilement est un cube à faces centrées défini par son arête a (figure II-9).
La direction d’empilement est confondue avec la diagonale de la maille:
les couches A, B, C,…se succèdent perpendiculairement à la diagonale du cube.
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Multiplicité de la maille:
Dans une maille CFC, les atomes occupent les 8 sommets et les 6 centres de faces. Donc sa multiplicité est:
m = 8x1/8 + 6x1/2 = 1 + 3 = 4 Positions des atomes et coordonnées réduites
* positions des atomes
Soit une maille élémentaire décrivant le réseau cubique à faces centrées construite sur trois vecteurs de base a, b et c (a=b=c et α=β=γ=90°). Cette maille contient des atomes aux huit sommets du cube et aux centres des 6 faces. Les coordonnées géométriques (XYZ) correspondant à ces positions sont:
- (000) (100) (010) (001) (110) (101) (011) (111) - (1/2 1/2 0) (1/2 0 1/2) (0 1/2 1/2)
- (1/2 /2 1) (1/2 1 1/2) (1 1/2 1/2)
* coordonnées réduites (voir chapitre I)
Les 8 sommets du cube étant équivalents par les translations périodiques du réseau, leurs positions sont identifiées par les seules coordonnées réduites:
(000).
Les centres de deux faces parallèles du cube sont équivalents par les translations du réseau. Par conséquent les coordonnées qui permettent d’identifier les positions des atomes situés sur les 6 centres de faces se réduisent à: (1/2 1/2 0) (1/2 0 1/2) (0 1/2 1/2).
Les coordonnées réduites (xyz) nécessaires à identifier l’ensemble des positions des atomes d’un réseau CFC sont donc:
- (000)
- (1/2 1/2 0) (1/2 0 1/2) (0 1/2 1/2) Compacité
C = n 4/3 π r3 vmaille
Selon la diagonale d’une face de la maille on a:
4r=a√2 a=2r√2
d’où la compacité C = 4x4/3 π r3 = π = 0.74 a3 3 √2
ou le taux de compacité = 100 x C = 74%
Face d’une maille CFC
n : multiplicité de la maille r : rayon de l’atome
vmaille: volume de la maille = a(b^c) = a3
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b- Structure hexagonale compacte (HC)
Les sphères de la 3ème couche C occupent des positions qui se projettent sur les sphères de la couche A. Le plan C a la même composition que le plan A ce qui correspond à l’alternance des plans AB, AB... (Figure II-10).
Axe d’empilement
Axe d’empilement
Empilement HC Maille triple en perspective Projection sur le plan xoy a=bc; α=β=90° et γ=120° Hexagone régulier Figure II-10- Empilement HC, maille triple et projection sur le plan xoy
Coordinence
2c
c
2 mailles triples adjacentes
Mailles hexagonales compactes
La structure hexagonale compacte peut être décrite par la maille triple qui est un prisme droit à base hexagonale (figure II-10). La maille triple représente 3 fois de la maille élémentaire.
La maille élémentaire est un prisme droit à base losange définie par a=b≠c; α=β=90°et γ=120° (Figure 11).
Les paramètres a et c sont tels que c/a =1.633, la maille est dite idéale.
A
B
A
x (0,1) y Z=1/2
a a
(0,1)
Si l’on considère 2 mailles triples adjacentes selon oz, on voit que chaque atome est en contact avec 12 atomes voisins:
- 6 dans un même plan, - 3 dans le plan supérieur, - 3 dans le plan inférieur.
La coordinence ou indice de coordination est donc égale à 12.
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γ=120 c
a a
c/2
Figure II-11- Mailles élémentaires en perspective et leurs projections sur le plan xoy:
Positions des atomes et coordonnées réduites
* positions atomiques
Soit une maille élémentaire décrivant le réseau hexagonal compact construite sur trois vecteurs de base a, b et c (a=b≠c; α=β=90°et γ=120°). Cette maille contient des atomes aux huit sommets et un atome à l’intérieur. Les coordonnées géométriques (XYZ) de ces atomes sont:
- (000) (100) (010) (001) (110) (101) (011) (111) - (2/3 1/3 1/2) ou (1/3 2/3 1/2)
* coordonnées réduites (voir chapitre I)
Les huit positions atomiques correspondant aux huit sommets de la maille élémentaire sont équivalentes par les translations périodiques du réseau. Seules les coordonnées du sommet pris comme origine: (000) sont utilisées pour représenter ces huit positions.
Les coordonnées réduites (xyz) des atomes dans une structure hexagonale compacte sont donc: (000) (2/3 1/3 1/2) [ou (1/3 2/3 1/2)]
Multiplicité des deux mailles
Si l’on considère 6 mailles triples adjacentes, on voit que les atomes sur les sommets sont partagés entre les 6 mailles: 3 mailles du même plan et 3 mailles du plan supérieur. Ces atomes comptent donc pour 1/6 dans une maille triple.
On voit aussi que chaque atome au centre d’une face est partagé entre 2 mailles adjacentes. Il compte donc pour 1/2 dans une maille triple.
La multiplicité de la maille triple est donc : z =3 x 1 + 12 x 1/6 + 2 x 1/2=6
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2c
60°
60° 120°
60° 120°
60°
(0, 1)
1/2 120°
60° 120°
60°
Plans (0,1) de Une maille élémentaire Projection sur le plan xoy 6 mailles triples djacentes 8 mailles élémentaires adjacentes
Si l’on considère 8 mailles élémentaires adjacentes, on voit que les atomes sur les sommets sont partagés entre 8 mailles adjacentes avec un rapport qui dépend de l’angle au sommet: dans une même maille les 4 atomes sur 4 angles au sommet de 120° comptent pour 1/6 alors que les 4 atomes sur les 4 angles de 60° ne comptent que pour 1/12.
La multiplicité de la maille triple est donc : z = 4 x 1/12 + 4 x 1/6 +1 = 2 Compacité
C = n 4/3 π r3
vmaille
vmaille = a (b^c) = a2 c sin120° C = 2 x 4/3 π r3
a2c sin120°
a = 2r et c = √8 C = π = 0.74 ou = 100 C = 74%
a √3 3√2
c- Exemples de métaux cristallisant dans les structures CFC et /ou HC - Al, Cu, Ag, Au, Pb, Pt, Feγ… présentent une structure CFC.
- Be, Hg, Ca, Zn, Cd, La… cristallisent avec une structure HC.
- Co, Ni…présentent deux variétés allotropiques l’une hexagonal compact et l’autre cubique à faces centres.
Les deux structures CFC et HC sont très proches. La différence des énergies correspondant à ces deux structures est très faible d’où parfois le phénomène d’allotropie. C’est la structure CFC qui correspond à l’énergie la plus grande.
n : multiplicité de la maille r : rayon de l’atome
vmaille: volume de la maille
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II-3-3 Assemblage semi compact: la structure cubique centrée (CC)
Dans cette structure, les sphères d’un même plan sont disposées de sorte que leurs centres constituent les sommets d’un carré de côté a (figure II-12).
Un second plan est obtenu en plaçant une sphère dans chaque espace libre laissé entre les sphères de la première couche. Le troisième plan est identique au premier, ce qui donne la succession semi compacte des plans AB, AB,…
Maille cubique centrée (CC)
a
a
B
A B A
Axe d’empilement
Plan A Plan B
Plan A
a
Fig. II-12- Assemblage semi-compact: Maille cubique centrée
La maille représentant cette empilement est cubique centrée (figure II-12).
Les sphères sont tangentes le long d’une diagonale du cube (a√3 = 4r).
Coordinence
Dans cet empilement chaque particule est en contact avec 8 autres voisines situées à la même distance a√3/2. La coordinence est donc égale à 8.
Multiplicité de la maille:
m = 8x1/8 + 1 = 2 Coordonnées réduites
Les coordonnées réduites (xyz) nécessaires à identifier l’ensemble des positions atomiques d’un réseau CC sont: (000) (1/2 1/2 1/2)
Compacité:
C = n 4/3 π r3 = 2x4/3 π r3 = π√3 = 0.68 (avec a = 4r/√3) vmaille a3 8
* La compacité de cette structure est inférieure à celle des systèmes précédents.
Exemples de métaux cristallisant dans ce type structural: Li, Na, Rb, Cs, Ba, Feα, Mo, Zn, W…
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II-4- Insertion dans les réseaux
L’existence d’interstices vides dans les cristaux métalliques permet d’envisager l’insertion d’atomes plus petits: on obtient ainsi des composés d’insertion comme les alliages métalliques. Un exemple très important est l’alliage fer-carbone (fontes et aciers): l’insertion du carbone permet de modifier les propriétés mécaniques du fer.
Cette insertion est possible dans tous les types de réseaux, nous allons étudier les conditions d’insertion sans déformation de réseau dans les deux types de structures compacts: hexagonal compact et cubique à faces centrées.
II-4-1- Conditions géométriques d’insertion dans une structure CFC Coordonnées réduites des sites tétraédriques et octaédriques
* Une maille cubique à faces centrées comporte 8 sites tétraédriques correspondant aux centres des huit petits cubes d’arêtes a/2 (Figure II-13). Les coordonnées réduites des sites [4] sont:
(1/4 1/4 1/4) (3/4 1/4 1/4) (1/4 3/4 1/4) (3/4 3/4 1/4) (1/4 1/4 3/4) (3/4 1/4 3/4) (1/4 3/4 3/4) (3/4 3/4 3/4)
Figure II-13- Positions des sites [4] dans une maille CFC ( )
* La maille CFC comporte 4 sites octaédriques: un au centre du cube et trois aux milieux des 12 arêtes (Figure II-14). Les coordonnées réduites des sites [6] sont:
(1/2 1/2 1/2)
(1/2 0 0) (0 1/2 0) (0 0 1/2)
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Figure II-14- Positions des sites [6] dans une maille CFC ( )
Conditions d’insertion
* Soit rT le rayon maximal d’un atome T que l’on peut insérer dans un site tétraédrique d’une structure CFC sans déformer le réseau.
Soient h la hauteur du tétraèdre et h’ la hauteur du triangle équilatéral constituant les 4 faces du tétraèdre.
rT + r = 3h (1) h2 + x2 = a√2 2 = a2 (2) x = 2h’ (3) 4 2 2 3 h’2 + 1 a√2 2 = a√2 2 (4) h’ = a√3 (5)
2 2 2 2√2 (3) + (5) x = 2 a√3 = a (6)
3 2√2 √6
(2) + (6) h2 + x2 = h2 + a2 = a2 h = a√3 (7) 6 2 3
h correspond donc à un 1/3 de la diagonale du cube d’arête a.
(1) + (7) + (a√2 = 4r) rT = 0.225r ou rT / r = 0.225 a/2
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* Si rO est le rayon maximal d’un atome O que l’on peut insérer dans un site octaédrique d’une structure CFC sans déformer la structure. Le site [6] étant au centre du carré, de côté a√2/2, formé par 4 des 6 atomes formant l’octaèdre:
II-4-2- Conditions géométriques d’insertion dans une structure HC Coordonnées réduites des sites tétraédriques et octaédriques
* La maille élémentaire HC contient 4 sites [4] (Fig.II-15a) dont les coordonnées réduites sont: (2/3 1/3 1/8) (2/3 1/3 7/8) (0 0 3/8) (0 0 5/8)
a: Sites [4] b: Sites [6]
Figure II-15- Positions des sites dans une maille HC sites [6]
* La maille élémentaire HC contient 2 sites [6] (Fig. II-15b) dont les coordonnées réduites sont: (1/3 2/3 1/4) (1/3 2/3 3/4).
rO+ r = a/2
les atomes étant tangents selon la diagonale d’une face:
a√2 = 4r
rO= 0.414r ou rO / r = 0.414
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Conditions d’insertion
* Soit un atome T susceptible d’être inséré dans un site tétraédrique sans déformer la structure, il occuperait le centre de gravité du site et serait tangent aux 4 atomes de rayon r situés aux sommets du tétraèdre de hauteur h = c/2.
h=c/2
a
* De même si un atome O peut s’insérer dans un site octaédrique sans déformer la structure, il occuperait le centre de gravité du site cad le centre du carré de côté a délimité par 4 des 6 atomes formant l’octaèdre.
a
a
En conclusion: les conditions géométriques d’insertion pour les deux types d’empilement compact CFC et HC sans déformation de réseau sont:
* rT / r ≤ 0.225 pour les sites [4],
* rO / r ≤ 0.414 pour les sites [6].
Le rayon maximal rT de cet atome serait donc tel que:
rT + r = 3h et h = c 4 2
rT + r = 3c avec a = 2r et c = √8 8 a √3
rT = 0.225r ou rT / r = 0.225
Le rayon maximal rO de l’atome à insérer doit être au maximum tel que:
rO + r = a√2 /2 avec a = 2r
rO = 0.414r ou rO / r = 0414
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Chapitre III
LES CRISTAUX IONIQUES
Les cristaux ioniques se présentent sous forme de deux réseaux décalés l’un par rapport à l’autre : le réseau des cations et le réseau des anions. La stabilité du cristal ionique est assurée par des interactions électrostatiques et conditionnée par des facteurs stériques et énergétiques:
Facteurs énergétiques
La stabilité du cristal ionique exige que l’édifice solide possède l’énergie la plus faible possible, ce qui se traduit par la mise en contact du plus grand nombre possible d’ions de signe opposé, l’ensemble restant électriquement neutre.
- L’énergie réticulaire (ou énergie de réseau) de la structure ionique peut être calculée en tenant compte des différentes interactions électrostatiques entre les ions constituant le cristal.
- L'énergie réticulaire peut aussi être déduite de données thermodynamiques expérimentales, moyennant la réalisation d'un cycle de Born Haber.
Facteurs stériques
Les ions, assimilés à des sphères rigides, peuvent, au mieux, être tangents entre eux. Des limites de stabilité géométriques sont ainsi déduites en écrivant que les ions de charges opposées se touchent suivant certaines directions. Dans le cas des composés ioniques de type MX les limites de stabilité stérique pour les différents types de coordinence sont résumées au tableau suivant:
Type structural Condition d’existence Coordinence
CsCl NaCl ZnS
0.732 ≤ r+/r- < 1 0.414 ≤ r+/r- ≤ 0.732 0.225 ≤ r+/r- ≤ 0.414
8-8 6-6 4-4
r+/r- est le rapport des rayons ioniques du cation (Mz+) et de l’anion Xz-.
Nous allons considérer quelques édifices ioniques comportant des ions simples et nous étudierons la stéréochimie des structures cubiques les plus importantes correspondant à des composés de formule MX ou MX2, M étant un élément métallique qui donne le cation et X un élément non métallique qui donne l’anion.
Les solides étudiés seront supposés parfaits, c'est-à-dire que les ions seront supposés parfaitement sphériques. Ce qui revient à négliger la déformation des ions sous l’effet des autres ions du réseau.
Le caractère covalent partiel qui peut apparaître sera également négligé. Cela revient à prendre pour longueur de la liaison ionique la somme des rayons ioniques
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III-1- La liaison ionique
Dans une liaison covalente pure (molécule symétrique) la probabilité de présence du doublet de liaison est la même autour de chaque atome (le nuage électronique est symétrique).
Lorsque les atomes liés sont différents, la probabilité de présence du doublet est plus élevée au voisinage de l’atome le plus électronégatif (le nuage électronique est dissymétrique).
Lorsque l’un des deux atomes liés est fortement électronégatif (ex: le chlore) et l’autre fortement électropositif (ex: le sodium) le doublet reste essentiellement localisé au voisinage de l’atome le plus électronégatif (le chlore): la liaison peut alors être représentée à l’aide d’un atome de sodium ayant perdu un électron (ion Na+) et d’un atome de chlore ayant capté un électron (Cl-). C’est le modèle de la liaison ionique
Ce modèle a été confirmé expérimentalement par la technique de diffraction des rayons X pour certains cristaux: les cartes de densité électronique autour des noyaux des deux atomes liés ont été établies (Figure III-1). Sur la base de ces cartes des calculs ont permis de déterminer le nombre total d’électrons autour de chaque atome. Pour NaCl les résultats obtenus dans la limite des erreurs d’expérience sont:
10électrons autour de Na et 18 autour de Cl. Ce qui correspond bien au transfert:
Na → Na
++ 1e- et Cl + 1e- → Cl
-Figure III-1: Densité de la distribution électronique ρ(e-/Ǻ3) Liaison covalente pure Liaison covalente polarisée Liaison ionique
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L’interaction entre les deux ions formés est due essentiellement à l’attraction électrostatique entre deux charges opposées. Les ions formés ont souvent la configuration du gaz rare le plus proche dans la classification périodique; ils ont 8 électrons sur la couche externe (ns2 np6).
Ce modèle, construit pour l’étude de la liaison ionique, n’est qu’approché; le plus souvent le pourcentage de liaison covalente n’est pas nul. Il permet cependant d’étudier, avec une bonne approximation l’énergie des liaisons présentes en utilisant les lois simples de l’électrostatique.
III-2- Stéréochimie de quelques structures cubiques de type MX
Les anions étant plus volumineux que les cations, ce sont eux qui imposent le type d’empilement, les cations se logent dans les interstices du réseau anionique.
III-2-1- Structure type chlorure de césium CsCl
* Description de la structure
Modèle compacte Modèle éclaté
Figure III-2: Maille élémentaire de CsCl
Dans cette structure (Figure III-2), les anions Cl- forment un réseau cubique simple (CS ou CP): ils occupent les sommets d’un cube d’arête a. Les cations Cs+ occupent le centre du cube. Cette structure correspond à deux réseaux cubiques simples se déduisant l’un de l’autre par une translation de type (1/2 1/2 1/2).
Coordonnées réduites
Origine sur l’anion : Origine sur le cation : Cl-: (000) Tr (1/2 1/2 1/2) Cl-: (1/2 1/2 1/2) Cs+: (1/2 1/2 1/2) Cs+: (000)
y x
z
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Nombre de motifs
La maille élémentaire comporte 8 anions Cl- comptant chacun pour 1/8 et un ion Cs+: le nombre de motifs ou groupements formulaires CsCl par maille est donc: z=1.
Coordinence
Chaque cation Cs+ est entouré par 8 anions Cl- situés à la même distance a√3/2. De même chaque anion Cl- est entouré par 8 cations Cs+ à la même distance a√3/2.
L’indice de coordination est donc égal à 8 pour Cs+ et pour Cl-. On dit aussi que c’est une coordination 8-8.
Compacité
La compacité se calcule de la même façon que pour les cristaux métalliques avec le volume du motif égal à la somme des volumes des ions Cs+ et Cl- qui le constituent.
C
= Z Vmotif = 4π r+3+ r-3
Vmaille 3
a
3z: nombre de motifs par maille.
r+ et r-: rayons des ions Cs+ et Cl-. Vmotif: volume du motif CsCl.
Vmaille: volume de la maille cubique de paramètre a.
Masse volumique
ρ = mmaille
Vmaille
ρ = z Mmotif = MCsCl
N Vmaille N a3
mmaille: masse d’une maille
Mmotif , MCsCl : masse molaire du motif CsCl
N: nombre d’Avogadro
Projection de la maille CsCl sur le plan xy
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III-2-2- Structure type chlorure de sodium NaCl
* Description de la structure
Modèle compacte Modèle éclaté
Dans cette structure, les ions Cl- constituent un réseau cubique à faces centrées (CFC): ils occupent les sommets et les centres des faces d’un cube d’arête a. Les ions Na+ occupent les sites octaédriques du réseau cad le centre du cube et les milieux des arêtes du cube.
Origine sur l’anion
Origine sur le cation Figure III-3: Maille élémentaire de NaCl
Cette structure correspond à deux réseau CFC d’arête a: l’un anionique et l’autre cationique, se déduisant l’un de l’autre par une translation de: (1/2 00)(0 1/2 0) ou (0 01/2) cad de a/2 selon une arête du cube.
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Coordonnées réduites Origine sur l’anion:
Cl-: (000) (1/2 1/2 0) (1/2 0 1/2) (0 1/2 1/2) Na+: (1/2 1/2 1/2) (1/2 0 0) (0 1/2 0) (0 0 1/2) Origine sur le cation:
Cl-: (1/2 1/2 1/2) (0 0 1/2) (1/2 0 0) (0 1/2 0) Na+: (000) (1/2 1/2 0) (1/2 0 1/2) (0 1/2 1/2) Nombre de groupements formulaires
La maille type NaCl comprend :
- 8 anions Cl- aux sommets du cube, chacun comptant pour 1/8 et 6 Cl- aux centres des faces, chacun comptant pour 1/2, soit 4 anions Cl-.
- 12 cations Na+ aux milieux des arêtes, chacun comptant pour 1/4 et un ion Na+ au centre du cube, soit 4 cations Na+.
Dans cette maille il y a donc 4 motifs ou groupements formulaires NaCl.
Coordinence
Chaque cation Na+ est entouré de 6 anions Cl- situés à la même distance a/2.
De même chaque anion Cl- est entouré par 6 cations Na+ à la même distance a/2.
L’indice de coordination est donc 6 pour les cations Na+ et 6 pour les anions Cl-: coordination 6-6.
Compacité
C = z Vmotif = 4 4π r+3 + r-3 Vmaille
3 a
3z: nombre de motifs par maille.
r+ et r-: les rayons des ions Na+ et Cl-.
Masse volumique
ρ =
z Mmotif = 4 MNaCl
N Vmaille N a3
MNaCl: masse molaire du motif NaCl N: nombre d’Avogadro
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Projection de la maille NaCl sur le plan xy
Maille origine sur l’anion
Exemples
Cette structure se rencontre dans de nombreux composés:
- tous les halogénures alcalins (sauf CsCl, CsBr, CsI) ; - AgF, AgCl;
-les oxydes , sulfures, séléniures, tellurures d’alcalino-terreux ; - MnO, MnS, MnSe;
- FeO, CoO, NiO, CdO;
- PbS, SnS…
III-2-3- Structure type ZnS blende
* Description de la structure
S2-
Origine sur l’anion Origine sur le cation
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La blende est la variété cubique du sulfure de zinc ZnS. Dans cette structure (Figure III-4) les ions S2-forment un réseau cubique à faces centrées (CFC). Dans ce réseau les ions Zn2+ occupent un site tétraédrique sur deux cad les centres de la moitié des 8 petits cubes d’arête a/2 délimités par 4 anions S2- les plus proches, en quinconce.
Coordonnées réduites Origine sur l’anion:
S2-: (0 0 0) (1/2 1/2 0) (1/2 0 1/2) (0 1/2 1/2)
Zn2+: (3/4 1/4 1/4) (1/4 3/4 1/4) (1/4 1/4 3/4) (3/4 3/4 3/4)
Si on fait une translation de type (1/4 1/4 1/4) on obtient les nouvelles coordonnées : Origine sur le cation:
S2-: (1/4 1/4 1/4) (3/4 3/4 1/4) (3/4 1/4 3/4) (1/4 3/4 3/4) Zn2+: (0 1/2 1/2) (1/2 0 1/2) (1/2 1/2 0) (0 0 0)
L’examen de ces nouvelles coordonnées montre que les ions Zn2+ forment aussi un réseau CFC. La structure ZnS blende peut donc être décrite par deux réseaux CFC, l’un constitué par les anions S2-, l’autre par les cations Zn2+, décalés l’un de l’autre de 1/4selon la diagonale du cube cad par une translation de type (1/4 1/4 1/4).
Nombre de motifs
La maille élémentaire ZnS blende comprend:
- 8 anions S2- aux sommets du cube, chacun comptant pour 1/8 et 6 S2- aux centres des faces, chacun comptant pour 1/2, soit 4 anions S2-.
- 4 cations Zn2+chacun comptant pour 1.
Le nombre de motifs ou groupements formulaires ZnS par maille est donc z = 4.
Coordinence
Chaque cation Zn2+ est entouré par 4 anions S2- situés à la même distance a√3/4. De même chaque anion S2- est entouré par 4 cations Zn2+ à la même distance a√3/4.
L’indice de coordination est donc 4 pour Zn2+ et 4 pour S2-: coordination 4-4.
Compacité
C = zVmotif = 4 4π
r+3 + r-3 z: le nombre de motifs ZnS par maille.
r+ et r-: les rayons des ions Zn2+ et S2-.
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Masse volumique
ρ = z Mmotif = 4 MZnS
N Vmaille N a3
MZnS: masse molaire du motif ZnS N: nombre d’Avogadro
Projection de la maille ZnS sur le plan xy
Maille origine sur l’anion
Exemples
Les composés qui cristallisent avec le même type structural que ZnS blende sont nombreux, comme exemples: ZnO, ZnS, ZnSe, CdS, CuCl, CuBr, SiC, SnSi, GaP, InSb…
III-2-4- Structure type nickeline NiAs
* Description de la structure
La différence d’électronégativité entre Ni et As étant = 0.2, le degré d’ionicité de la liaison Ni-As est inférieur à 2%: la liaison est quasiment covalente pure.
NiAs cristallise avec une maille hexagonale. Les atomes d’arsenic forment un réseau HC dont tous les sites octaédriques sont occupés par les atomes de nickel. Une translation de type (2/3 1/3 1/4) conduit à la représentation de la maille origine sur Ni suivante :
S2-
Zn2+
Zn2+
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Origine sur As
Z = 3/4
Z = 1/2
Z =1/4
Origine sur Ni Figure III-5: Maille élémentaire de NiAs
Coordonnées réduites
Origine sur l’arsenic: As: (0 0 0) (2/3 1/3 1/2) Ni: (1/3 2/3 1/4) (1/3 2/3 3/4) Origine sur le nickel: As: (2/3 1/3 1/4) (1/3 2/3 3/4) Ni: (0 0 1/2) (0 0 0)
Nombre de motifs
La maille élémentaire de NiAs comprend deux atomes de nickel et deux atomes de As, le nombre de groupements formulaires NiAs par maille est donc: z=2.
Coordinence
Chaque atome de nickel est entouré de 6 atomes As formant les sommets d’un octaèdre. Chaque atome d’arsenic est entouré de 6 atomes Ni formant les sommets d’un prisme à base triangulaire. L’indice de coordination est donc 6 pour les deux atomes Ni et As.
Compacité
C = z Vmotif = 2 4π r+3 + r-3 Vmaille 3 a2c sin120°
z: le nombre de motifs par maille.
r+ et r-: les rayons des ions Ni2+ et As2-. Masse volumique
ρ = z Mmotif = 2 MNiAs N Vmaille N a2c sin120°
Mmotif=MNiAs: la masse molaire de NiAs N: le nombre d’Avogadro
Exemples
De nombreux sulfures, séléniures, tellures, arséniures et antimoniures des
As Ni
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III-2-5- Structure type ZnS wurtzite
* Description de la structure
Sites [4]:
(2/3 1/3 7/8) occupé
(0 0 5/8) vide (0 0 3/8) occupé (2/3 1/3 1/8) vide
Figure III-6: Maille élémentaire de ZnS wurtzite origine sur As
La wurtzite est la variété hexagonale de ZnS. Le rapport r+/r- est identique à celui de la blende donc en accord avec la coordinence 4-4. Les ions S2- forment un réseau HC et les ions Zn2+ occupent la moitié des sites tétraédriques.
Les cations Zn2+ forment un réseau HC analogue à celui des anions S2- mais décalé par une translation de type (0 0 5/8).
Coordonnées réduites Origine sur l’anion:
S2-: (0 0 0) (2/3 1/3 1/2) Zn2+: (0 0 3/8) (2/3 1/3 7/8) Origine sur l’anion:
S2-: (0 0 5/8) (2/3 1/3 1/8) Zn2+: (0 0 0) (2/3 1/3 1/2) Nombre de motifs
La maille élémentaire de ZnS wurtzite comprend 2 cations Zn2+ et 2 anions S2-, le nombre groupements formulaires ZnS par maille est donc: z=2.
Coordinence
La coordinence des deux ions est la même. L’indice de coordination est 4 pour Zn2+ et 4 pour S2-: coordination 4-4.
Compacité
C = z Vmotif = 2 4π r+3 + r-3 V 3 a2c sin120°
z: le nombre de motifs par maille.
r+ et r-: les rayons des ions Zn2+ et S2-.
S2-
Zn2+
