CHAPITRE 1
NOMBRES COMPLEXES
1.1 Dénitions et propriétés
Dénition 1
L'ensemble des nombres complexes notéC est l'ensemble des élémentsz de la forme :
C={z=a+ib, (a, b)∈R2, i2=−1}
1. z=a+ibs'appelle l'écriture algébrique dez.
2. as'appelle la partie réelle de z on la noteRe(z).
3. b s'appelle la partie imaginaire de z on la noteIm(z).
Remarque 1
1. L'ensembleC contient tous les nombres réels
2. Un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle.
z∈R⇐⇒Im(z) = 0
3. Un nombre complexe est dit imaginaire pur si sa partie réelle est nulle.
On note iR: l'ensemble des nombres complexes imaginaires purs.
z∈iR⇐⇒Re(z) = 0
1.1.1 Opérations sur les nombres complexes
L'ensemble C est muni d'une addition et d'une multiplication vériant les mêmes propriétés que les opérations de Rà savoir : pourz=a+ib∈Cetz0=a0+ib0∈C, on a :
i) Addition :z+z0 = (a+a0) +i(b+b0)
ii) Multiplication :z×z0= (aa0−bb0) +i(ab0+a0b) =z0×z iii) Egalité :
z=z0⇐⇒a=a0 et b=b0
⇐⇒Re(z) =Re(z0) et Im(z) =Im(z0)
En particulierz= 0⇐⇒a= 0 et b= 0.
1.1.2 Calcul sur les nombres complexes
Pour tout nombre complexez, on a z+ 0 = 0 +z=z etz1 = 1z=z.
L'opposé dez=a+ibest : −z= (−a) +i(−b) =−a−ib.
La multiplication par un scalaireλ∈R:λ×z= (λa) +i(λb).
L'inverse : Tout nombre complexe non nulz=a+ibadmet un inverse noté
1
z = a
a2+b2 −i b a2+b2.
La division : z
z0 est le nombre complexez× 1 z0.
Puissances :z2=z×z, zn=z×z× · · · ×z (nfois, n∈N).
i2=−1; i3=−i; i4= 1; i5=i; · · ·. Par convention
z0= 1 et z−n= 1 zn
Proposition 1
On a les propriétés suivantes :
1. Les deux opérations dénies surC sont associatives et commutatives.
2. L'opération ×est distributive par rapport à l'opération+:
∀z, z0, z00∈C : z(z0+z00) =zz0+zz00.
Les formules suivantes sont d'une importance majeure dans la suite. Soitz1, z2∈Cet soitn∈N.
1. Formule du binôme :
(z1+z2)n=
n
X
k=0
Cnkz1kz2n−k (Cnk= n!
k!(n−k)!).
2. Formule de factorisation :
z1n−z2n= (z1−z2)
n−1
X
k=0
z1n−1−kz2k
! .
3. Siz6= 1 alors
n
X
k=0
zk= 1−zn+1 1−z .
1.2 Conjugué d'un nombre complexe
Dénition 2
Soitz=a+ibun nombre complexe.
On appelle conjugué de z, noté z, le nombre complexe déni par z=a−ib.
Proposition 2
Soitz, z0 deux nombres complexes. On a les propriétés suivantes : 1. Re(z) = z+z2 etIm(z) =z−z2i ,
2. z=z si, et seulement si,z∈R.
3. z=−z si, et seulement si,z∈iR.
4. z+z0=z+z0 etzz0 =zz0 . 5. Si z06= 0 on a
z z0
= z z0.
Exemple 1
1. Soit z=a+ibun nombre complexe non nul. Donner la forme algébrique de 1z. 2. Donner les formes algébriques des nombres complexes suivants :
z1= 3 + 4i
1 + 3i, z2=1 +i 1−i.
Solution :
1. On azz=a2+b2. Donc
1
z = z
a2+b2 = a
a2+b2 −i b a2+b2.
2. On a : (a)
z1= 3 + 4i
1 + 3i = (3 + 4i)(1−3i)
(1 + 3i)(1−3i) =15−5i 10 = 3
2−1 2i.
(b)
z2= 1 +i
1−i = (1 +i)2
(1−i)(1 +i)= 2i 2 =i.
1.3 Module d'un nombre complexe
Dénition 3
Soit z =a+ibun nombre complexe. On appelle module de z, que l'on note |z|, le nombre réel positif, déni par :
|z|=p a2+b2.
Remarque 2
Soit z = a+ib un nombre complexe. Si M est le point du plan R2 de coordonnées (a, b) dans un repère orthonormé de centreO alors le module de z correspond à la distance entreO etM.
Proposition 3
Soitz=a+ibun nombre complexe. Alors on a : 1. |z|= 0⇐⇒z= 0 et|z|= 1⇐⇒zz= 1. 2. |z|=|z|.
3. |Re(z)| ≤ |z|et|Im(z)| ≤ |z|.
Preuve 1.
|z|= 0⇐⇒a2+b2= 0⇐⇒a=b= 0⇐⇒z= 0.
|z|= 1⇐⇒a2+b2= 1⇐⇒zz= 1.
2. On a|z|=√
a2+b2=|z|.
3. Ces inégalités découlent du fait que |a| ≤√
a2+b2 et |b| ≤√
a2+b2.
Proposition 4
Soitz, z0 des nombres complexes. Alors on a : 1. |zz0|=|z||z0|.
2. Si z06= 0 alors |zz0|= |z|z|0|.
Preuve
On montre le premier point et le deuxième en découle aisément. Soit z = a+ib et z0 = a0 +ib0. On a zz0= (aa0−bb0) +i(ab0+a0b)donc
|zz0|=p
(aa0−bb0)2+ (ab0+a0b)2
=p
a2a02−2aa0bb0+b2b02+a2b02+ 2aa0bb0+a02b2
=p
a2a02+b2b02+a2b02+a02b2
=p
(a2+b2)(a02+b02)
=p
a2+b2p
a02+b02
=|z||z0|.
Proposition 5
Soit deux nombres complexes z etz0. Alors on a :
|z+z0| ≤ |z|+|z0|
appelée l'inégalité triangulaire.
Remarque 3
1. |z+z0|=|z|+|z0| ⇐⇒z= 0ouz=λz0 avec λ∈R+.
2. Il n'a pas d'ordre naturel sur C, il ne faut jamais écrire z≥0 ouz≤z0
