Calculs algébriques (partie 2)

Chapitre 3

Calculs algébriques (partie 2)

I. Développement et factorisation

Propriété 1

Développer un produit de facteurs, c’est l’écrire sous la forme d’une somme.

Pour tous nombres réels a, b, c, d et k , on a :

• k(a+b)=ka+kb

• k(a−b)=ka−kb

• (a+b) (c−d)=ac−ad+bc−bd Exemples

• Développement de A(x)=(x−3)(4x+2). On applique la double distributivité.

A(x)=x×4x+x×2−3×4x−3×2=4x²+2x−12x−6

On regroupe tous les termes « semblables » et on ordonne les puissances dans l'ordre décroissant.

A(_x)_=4x²_−10x−6 En version condensée :

A(x)=(x−3)(4x+2)=x×4x+x×2−3×4x−3×2=4x²+2x−12x−6=4x²−10x−6

• Factorisation de B(x)=(x+1)(3x+4)−(x+1) (2x−5).

On identifie le facteur commun et on factorise l'ensemble de l'expression par ce dernier.

B(x)=(x+1)[(3x+4)−(2x−5)]

On développe ce qu'il reste dans les crochets.

B(x)=(x+1)(3x+4−2x+5)=(x+1) (x+9) En version condensée :

B(x)=(x+1) (3x+4)−(x+1)(2x+5) =(x+1)(3x+4−(2x−5)) =(x+1) (3x+4−2x+5) =(x+1) (x+9)

II. Identités remarquables

Propriété 2

Pour tous nombres réels a et b, on a :

• (a+b)²=a²+2ab+b²

• (a−b)²=a²−2ab+b²

• (a+b) (a−b)=a²−b² Démonstration

Illustration géométrique (exigible)

Soit un carré de côté a+b définit comme ci-contre.

On note A l'aire de ce carré.

L'aire A correspond au côté mis au carré, c'est à dire A=(a+b)².

De plus, cette même aire correspond aussi à la somme des aires des deux petits carrés et des deux petits rectangles.

On a alors A=a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b². Ainsi (a+b)²=a²+2ab+b².

Exemples

• (x+2)²=x²+2×x×2+2²=x²+4x+4

• (5−2x)²=5²−2×5×2x+(2x)²=25−20x+4x²=4x²−20x+25

• (7x+4)(7x−4)=(7x)²−4²=49x²−16 Remarque

Le calcul de gauche à droite est un développement et le calcul de droite à gauche est une factorisation.

Exemples

• 9x²+30x+25=(3x)²+2×3x×5+5²=(3x+5)²

• x²−14x+49=x²−2×x×7+7²=(x−7)²

• 16x²−81=(4x)²−9²=(4x+9) (4x−9)

III. Équations, inégalités et inéquations

Définition 3

• Une équation (respectivement une inéquation) est une égalité (respectivement une inégalité) dans laquelle est présente une inconnue (ou des inconnues).

• Un nombre est solution d'une équation (respectivement d'une inéquation) si, en substituant ce nombre à l'inconnue, on obtient une égalité (respectivement une inégalité) vraie.

Exemples

• 3 n'est pas solution de l'équation 4x−5=2 car 4×3−5=12−5=7≠2 .

• 3 est une solution de l'inéquation 4x−5⩾2 car 4×3−5=7⩾2 . Remarque

Une inéquation de la forme ax+b<cx+d (où x est l'inconnue et a , b, c et d sont des réels tels que (a;b)≠(0 ;0)) est appelée inéquation du 1^er degré.

Propriété 4

• Résoudre une équation (respectivement une inéquation), c'est déterminer toutes les solutions de l'équation (respectivement de l'inéquation).

• Deux équations (respectivement deux inéquations) sont équivalentes si elles ont les mêmes solutions.

Exemples

• Les équations 4x−2=8−x, 4x+x=8+2 et 5x=10 sont équivalentes. Leur solution est 2 .

• Les inéquations 2x+6⩽1 ,5−x, 2x+x⩽1 ,5−6 et 3x⩽−4 , 5 sont équivalentes. Leurs solutions sont tous les nombres x tels que x⩽−1 ,5 .

Remarque

On se sert du symbole « ⇔ » pour signifier « est équivalent à » ou « si et seulement si ».

Ainsi, dans le premier exemple, on a 4x−2=8−x⇔ 4x+x=8+2⇔5x=10 ⇔ x=2 . Propriété 5

• La multiplication et la division des deux membres d'une inégalité par un même nombre strictement négatif change l'ordre de comparaison.

• Les autres opérations ne modifient pas l'ordre.

Exemples

• −3x>90 ⇔ −3x

−3 < 90

−3 ⇔ x<−30

• 2x⩽5⇔ 2x 2 ⩽5

2 ⇔ x⩽5 2 Propriété 6

Modéliser un problème par une inéquation, c'est écrire une inéquation en lien avec les contraintes exposées par le problème.

Exemple

Leïla s'est inscrite auprès d'un club nautique pour louer du matériel pendant un an. L'inscription a coûté 22€ et la location d'un kayak revient à 2 , 80 € par heure. Leïla dispose d'un budget total de 120€. Quelle inéquation écrire pour connaître le nombre d'heures que Leïla peut prévoir ?

On pose x le nombre d'heures que peut prévoir Leïla. x est positif car c'est un nombre d'heures.

D'après l'énoncé, le prix payé par Leïla pour x heures est 2 , 8x+22 .

On peut donc modéliser ce problème par l'inéquation 2 , 8x+22⩽120 et la résoudre.

Méthodes : résolution d'équation et d'inéquation

• 1^er exemple : x+3=−x+7

On regroupe tous les x à gauche de l'inégalité. On doit donc ajouter x de chaque côté.

x+3+x=−x+7+x On obtient alors : 2x+3=7 .

On regroupe tous les autres nombres (sans x ) à droite. On doit donc soustraire 3 de chaque côté.

2x+3−3=7−3 On obtient alors : 2x=4 .

On isole l'inconnue x. On doit donc diviser par 2 . 2x

2 =4 2

On obtient alors : x=2 . L'ensemble solution est alors S={2}.

En version condensée : x+3=−x+7⇔ x+3+x−3=−x+7+x−3 ⇔2x=4 ⇔ x=2 .

• 2^e exemple : x

3+2=3

On regroupe tous les autres nombres (sans x ) à droite. On doit donc soustraire 2 de chaque côté.

x

3+2−2=3−2 On obtient alors : x

3=1 .

On isole l'inconnue x. On doit donc multiplier par 3.

x

3×3=1×3

On obtient alors : x=3 . L'ensemble solution est alors S={3}. En version condensée : x

3+2=3⇔ x

3+2−2=3−2⇔ x

3=1⇔ x

3×3=1×3⇔ x=3 .

• 3^e exemple : 4x+2⩽7x+6

On regroupe tous les x à gauche de l'inégalité. On doit donc soustraire 7x de chaque côté.

4x+2−7x⩽7x+6−7x On obtient alors : −3x+2⩽6 .

On regroupe tous les autres nombres (sans x ) à droite. On doit donc soustraire 2 de chaque côté.

−3x+2−2⩽6−2 On obtient alors : −3x⩽4 .

On isole l'inconnue x. On doit donc diviser par −3 . Comme −3 est négatif, on change l'ordre de comparaison.

−3x

−3⩾ 4

−3 On obtient alors x⩾−4

3 . L'ensemble des solutions est alors S=

[

[

En version condensée : 4x+2⩽7x+6⇔ 4x+2−7x−2⩽7x+6−7x−2 ⇔ −3x⩽4⇔ x⩾−4 3 .

IV. Quelques résolutions d'équations

Propriété 7 équation produit nul

Un produit est nul si et seulement si au moins l'un de ses facteurs est nul : A×B=0 ⇔A=0 ou B=0

Exemple

(2x+6)(3x−7)=0⇔ 2x+6=0 ou 3x−7=0⇔ 2x=−6 ou 3x=7 ⇔ x=−3 ou 7 3 . Ainsi S=

{

}

Propriété 8 équation quotient nul

Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul : A

B=0⇔ A=0 et B≠0 Exemple

Pour résoudre l'équation 3x−2

x+7 =0 , on cherche les éventuelles valeurs interdites.

Ce quotient existe à condition que son dénominateur est non nul. Or x+7=0 ⇔ x=−7 .

Donc −7 est une valeur interdite, ceci signifiant que le dénominateur ne s'annule pas si x≠−7 . Ensuite, on cherche quant le numérateur s'annule.

On a 3x−2=0 ⇔3x=2 ⇔ x=2

3 . Comme 2

3 n'est pas une valeur interdite, c'est la solution de l'équation. Ainsi S=

{

}

Propriété 9 équation carrée

Soit a un nombre réel. On considère l'équation x²=a dans ℝ. Alors :

• Si a<0 , l'équation n'admet aucune solution.

• Si a=0 , l'équation admet x=0 comme unique solution.

• Si a>0 , l'équation admet deux solutions x=

√

√

Exemples

• x²=49⇔ x=

√

√

• L'équation x²=−5 n'admet aucune solution car −5 est négatif.

• (3x+5)²=16⇔ 3x+5=

√

√

⇔3x+5=4 ou 3x+5=−4

⇔3x=−1 ou 3x=−9 1

Propriété 10 équation racine carrée

Soit a un nombre réel. On considère l'équation

√

• Si a<0 , l'équation n'admet aucune solution.

• Si a⩾0 , l'équation admet une unique solution x=a². Exemples

•

√

•

√

Soit a un nombre réel. On considère l'équation 1

x=a dans ℝ. Alors :

• Si a=0 , l'équation n'admet aucune solution.

• Si a≠0 , l'équation admet une unique solution x=1 a . Exemples

• 1

x=8⇔ x=1 8

• 1

x=π ⇔ x=1 π