Des fleurs et des arbres dans la lumière ré$actée
Olga Paris-Romaskevich
Amphithéâtre Maryam Mirzakhani
15 octobre 2019
Université de Rennes 1
In a way, she said, mathematics research feels like writing a novel.
“There are different characters, and you are getting to know them
better,” she said. “Things evolve, and then you look back at a character, and it’s completely different from your first impression.”
Erica Klarreich, A Tenacious Explorer of Abstract Surfaces, suivant un interview avec Maryam Mirzakhani, Quanta Magazine (2014)
Il y a [en mathématiques] des personnages différents, et on apprend à mieux les connaître. Des choses évoluent, et puis en regardant un
personnage plus tard, on s’aperçoit qu’il est complètement différent de
la première impression.
Une %ajec&ire de bi'ard dans un pavage %iangulaire périodique
Loi de re$ac(on de Sne'-Descar)s
k=1/1.333 = 0.75 k=-1
Est-ce que ça a du sens physique, k=-1 ?… Oui !
© S. Guenneau, S. Anantha
Ramakrishna, Amar C. Vutha, J.B.
Pendry Negative refraction in 2-D checkerboards related by mirror anti-symmetry and 3-D corner lenses (2007)
© S. Anantha Ramakrishna, S.
Guenneau, S. Enoch, G.
Tayeb, B. Gralak Confining light with negative refraction in checkerboard
metamaterials and
photonic crystals (2007)
© J. Pendry Negative refraction (2009)
Henri Matisse The Snail (1953)
© Succession Henri Matisse/DACS 2018, avec une trajectoire du billard en plus
Prenez un pavage et étudiez un bi'ard dedans…
Picture: Pat Hooper
Que peu d’exemples des pavages ont été étudiés jusqu’ici.
1. D. Davis, K. DiPietro, J. Rustad, A. St Laurent Negative refraction and tiling billiards (2016) 2. P. Glendinning Geometry of refractions and reflections through a biperiodic medium (2016) 3. D. Davis, P. Hopper Periodicity and ergodicity in the trihexagonal tiling (2016)
4. P. Baird-Smith, D. Davis, E. Fromm, S. Iyer Tiling billiards on triangle tilings, and interval exchange transformations (2017+)
5. P. Hubert, O. Paris-Romaskevich Triangle tiling billiards draw fractals only if aimed at the circumcenter (2019)
6. O. Paris-Romaskevich Trees and flowers on a billiard table (2019+)
trajectoire dans un pavage trihexagonal © trajectoire fermée dans un pavage de Penrose Diana Davis, Pat Hooper
Deux exemples simples : carré et %iangle équilatéral
© Mascarenhas, B. Fluegel Antisymmetry and the breakdown of Bloch’s theorem for light (2015)
Deux exemples simples : carré et %iangle équilatéral
© images faites avec un programme de Pat Hooper & Alex StLaurent, accessible en ligne
Trajectoires périodiques Trajectoires qui échappent à l’infini linéairement
drift périodique drift linéaire non-périodique
Pavage par un %iangle quelconque : exemples des %ajec&ires
Pour un billard dans un pavage triangulaire périodique,
toute trajectoire est soit periodique, soit échappante (linéairement ou pas).
En plus, les propriétés de rigidité ont lieu :
— toute trajectoire passe par chaque tuile au plus une fois
— trajectoires bornées sont périodiques et stables
Compor)ment qualita(f: résultat de P. Baird-Smi,, D. Davis,
E. Fromm et S. Iyer
Idée pour la preuve : plier le pavage !
© animation par Ofir David
Bi'ards dans des pavages %iangulaires = fami'e d’échanges de 3
in)rva'es avec re&urnements sur un cercle
Prenons un gâteau au kiwi avec du glaçage et en découpons un morceau de taille α, et puis replaçons-le sur sa place mais en faisant
un retournement. Puis on continue la procedure en prenant un morceau de taille α juste à côté, etc…
Question: pour quelles valeurs d’angle α, après un nombre fini d’iterations, tout le glaçage revient en haut du gâteau ?
Une pe() paren,èse… Problème d’un gâ)au.
(
Pour tout α !!!
Réponse.
Keane : Presque tout échange d’intervalles irréductible est minimal (ces orbites sont denses).
Nogueira : Presque tout échange d’intervalles avec au moins un retournement a une intervalle périodique. (ce qui explique l’existence des trajectoires
périodiques sur presque tout pavage)
© un court-métrage Je voudrais vous parler de mathématiques
(co-crée avec C. Gourdon)
)
Bi'ard dans un pavage %iangulaire, sous la prisme de la Conjecture d’arbre
But : comprendre mieux des trajectoires typiques
(périodiques et celle qui échappent linéairement) ainsi que des trajectoires exceptionnelles (en liaison avec les échanges d’intervalles d’Arnoux-Rauzy et leurs orbites arithmétiques) Motivation personnelle : prouver la Conjecture d'arbre
Hubert, P.-R. : Pour presque tout pavage triangulaire, toute trajectoire du billard dans ce pavage est soit périodique soit de drift linéaire.
Il existe un ensemble de mesure nulle de pavages pour lesquelles les
trajectoires qui échappent de façon non-linéaire (trajectoires exceptionnelles) ne peuvent que passer par les centres des cercles circonscrits.
À par(r de là…
P.-R. : Toute trajectoire périodique ne contourne pas de triangle.
Cela répond à une conjecture de P. Baird-Smith, D. Davis, E. Fromm et S. Iyer.
Toute trajectoire peut être inclue dans un feuilletage orientable du plan, feuilletage parallèle.
Ici: trois différentes trajectoires du même feuilletage parallèle en temps réel.
© Ofir David
Feui'etages.
Un feuilletage parallèle se construit en saucissonnant le cercle en chordes parallèles.
On peut construire de façon analogue, un feuilletage rayonnant, en saucissonnant le cercle par des chordes partant du même point. Ces feuilletages sont orientables.
J’ai pris du )mps à comprendre que ces feui'etages exis)nt…
Une fleur est l’union de toutes les trajectoires singulières passant par un sommet v, appartenant au même feuilletage parallèle. Une fleur est bornée si toutes ses trajectoires singulières (des pétales) sont bornées (et donc, périodiques).
Proposition. Chaque fleur en v en restriction à 6 tuiles autour de v, a une de ses cinq formes (modulo orientation):
Défini(on d’une fleur
Preuve. Feuilletage rayonnant !
Conjecture des fleurs.
Toute pétale de toute fleur passe par deux tuiles voisines et contourne une arête entre ses deux tuiles.
comportements exclus par la conjecture des fleurs
Conjecture des fleurs
Conjecture des fleurs (bornées).
Toute pétale de toute fleur bornée passe par deux tuiles voisines et
contourne une arête entre ses deux tuiles.
Conjecture des fleurs bornées implique la Conjecture d’arbre.
2.1
2.2
4.1a
4.1b
4.1c
4.2
6.1
6.2
6.3
1. dresser une liste des obstructions
Le schéma de la preuve de la Conjecture des fleurs (bornées)
2. les exclure une par une
Outils : — symétrie du feuilletage radial
— la compréhension de la dynamique symbolique (preuve: renormalization)
P.-R. : Toute trajectoire périodique a un
comportement symbolique dans l’alphabet des arêtes {a,b,c} qui est un carré d’un mot de longueur impaire.
Cela répond à une Conjecture 4n+2 par D., B.-D., F., I.
+ +
+
-
+- --
Un pavage %iangulaire
Des trajectoires commençant dans les centres des cercles circonscrits passent par toutes
les tuiles et toutes les autres trajectoires sont périodiques
Toute trajectoire est périodique Comportement générique -
certaines trajectoires sont périodiques, certaines s’échappent linéairement
ensemble dénombrable de
triangles baderne de Rauzy de
triangles
Un pavage %iangulaire
Des trajectoires commençant dans les centres des cercles circonscrits s’échappent à l'infini et toutes les
autres trajectoires sont périodiques
Toute trajectoire est périodique Comportement générique -
certaines trajectoires sont périodiques, certaines s’échappent linéairement
baderne de Rauzy de
triangles ensemble
dénombrable de triangles
Bi'ard de Tribonacci
© Arnaud Chéritat
P.-R. : Presque toutes trajectoires du billard de Tribonacci qui passent par le centre du cercle circonscrit d’une tuile, passent par toutes tuiles. Dans ce cas elles convergent, après
reparametrization, à la fractale de Rauzy et sont inclues dans des feuilletages parallèles dont toute autre trajectoire est périodique.
