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Exp complexe

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

UPMC Mathématiques Approfondies pour les Sciences 1M025 printemps 2017

Feuille d’exercices supplémentaire : exponentielle complexe.

Exercice 1(Exponentielle complexe). On « rappelle » que pour toutzPC, la suitepSnpzqqnPN définie par

Snpzq “

n

ÿ

k“0

zk

k! “1`z`z2

2 ` ¨ ¨ ¨ `zn n!

converge ; sa limite est notéeexppzq. Noter queexpp0q “1. On admet les trois résultats suivants : (a) Pour tout zPC, on aexppzq “exppzq.

(b) Pour tousz1, z2 PC, on aexppz1`z2q “exppz1qexppz2q.

(c) La fonction f :RÑC,tÞÑexppitq est dérivable, de dérivée f1ptq “ifptq.

Pour tout réelt, on note cosptqetsinptqles parties réelle et imaginaire de exppitq. D’après ce qui précède, on a :

cosptq “1´t2 2 `t4

4!` ÿ

ně3

p´1qn t2n

p2nq! (:)

sinptq “t´t3 6 ` ÿ

ně2

p´1qn t2n`1

p2n`1q! (;)

etcosetsinsont dérivables sur R, de dérivéescos1ptq “ ´sinptqet sin1ptq “cosptq.

1. Déduire de (a) et (b) que pour tout tPR, on a|exppitq| “1.

2. Montrer que pour toutnPN˚ ettP s0,2son a tn

n! ą tn`2 pn`2q!. 3. En utilisant p:qetp;q, montrer que pour touttP s0,2son a

sinptq ět´t3

6 ą0 et cosptq ď1´t2 2 `t4

4!.

Par conséquent, la fonctioncosdécroît strictement surr0,2s. Donc pour touttP r0,2sla fonction cosest une bijection décroissante der0, tssurrcosptq,1s, et donc l’image par tÞÑexppitqder0, ts est l’arc de cercle situé dans le demi-plan y ě0 au-dessus du segment rcosptq,1s, cf. la figure ci-dessous :

p0,0q cosptq sinptq

i

1

(2)

Le but de l’exercice est de montrer qu’il existe un unique α P r0,2s tel que e “ i, puis que tÞÑexppitq est périodique de période 4α.

4. En utilisant ce qui précède, montrer que cosp2q ă ´1

3 ă 0. En déduire qu’il existe un uniqueα P r0,2stel que cospαq “0, et qu’alors on a :

(a) sinpαq “1 et donc exppiαq “i.

(b) L’image partÞÑexppitqder0, αsest le quart de cercleCjoignant les nombres complexes 1 eti.

5. Montrer quee4iα “1, puis que exppipt`4αqq “exppitq pour tout tPR.

Réciproquement, soit β PR` tel que exppiβq “ 1. Remplaçant β par β´4kα, où k est le plus grand entierě0tel que4kαďβ, on peut supposer que0ďβ ă4α. Posons alorsz“exppiβ{4q.

6. Montrer, d’une part, quez P t˘1,˘iu et, d’autre part, que cospβ{4q ą0. En déduire que z“1, puis que β“0.

Ce qui précède montre que la période de i ÞÑ exppitq est exactement 4α. On définit π par 2π“4α, d’oùα“π{2.

7. Montrer que l’application z ÞÑ iz, c.-à-d. x`iy ÞÑ ´y`ix est une bijection de C sur le quart de cercleC1 joignantià ´1. En particulier, on aexppiπq “ ´1.

On noteDle demi-cercle supérieur et D1 le demi-cercle inférieur.

8. En utilisant queD1 “ t´z|zPDu, montrer que l’applicationtÞÑexppitqest un morphisme de groupessurjectifdeRsur le cercle unitéS1, et que son noyau est le sous-groupe2πZ. 9. Montrer que tout zPCˆ s’écrit sous la forme z“ρexppiθq, avec ρPR˚

` unique etθPR unique modulo2πZ.

10. En utilisant queexppa`ibq “exppaqexppibq pour touta, bPR, montrer que l’application zÞÑ exppzq est un morphisme de groupes surjectif de C sur Cˆ et que son noyau est le sous-groupe 2iπZ. (Commencer par observer que si exppzq “ 1 alors |exppzq| “ 1, puis utiliser la question (8).)

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