TS -Lycée Desfontaines Méthode d’Euler
Méthode d’Euler Niveau 1S et TS
La méthode d’Euler (vue au lycée) est une méthode qui permet d’approcher par une ligne polygonale la courbe représentative Cf d’une fonctionf, (définie et dérivable sur un intervalle [a;b]), dont on sait l’exis- tence mais dont on ne connait pas l’expression algébrique mais dont on connait une valeur (en généralf(a)) et – Cas 1 : soit sa dérivée :f′ =g oùgest une fonction connue.
(et donc la fonctionf inconnue est finalement une primitive deg)
– Cas 2 : soit une relation liantf′ en fonction def, du typef′=λf +µoùλetµsont des réels connus.
Cette méthode consiste à construire une suite finie de points (Pk)de coordonnées respectives(xk;yk)telles que les abscissesxk soient uniformément réparties sur[a;b]et telles que yk ≈f(xk).
Cette méthode repose entièrement sur l’approximation affine locale.
Supposons que nous connaissons la valeur prise ena, cadf(a).
Première étape :On place le premier pointP0.
Le premier pointP0 est le seul point connu de Cf; c’est le point de coordonnées(a;f(a)).
Ainsi,x0=aety0=f(a).
| |
− +
x0 =a b
y0 =f(a) P0
Deuxième étape :On décide ensuite du nombre de points que l’on veut construire sachant qu’ils doivent être uniformément répartis sur[a;b];
Si l’on en veut n, (P0, P1, P2, . . . , Pn−1), on découpe l’intervalle [a;b] enn−1 intervalles de même longueur (cette longueur étant alors nécessairementh= b−a
n−1) et on répartit alors les abscisses des points Pk réguliè- rement dans l’intervalle[a;b]cad que la suite(xk)représente les premiers termes de la suite arithmétique de raisonhet de premier termex0=a.
On a ainsi∀0≤k≤n−2, xk+1=xk+het donc∀0≤k≤n−1, xk =x0+kh.
| | | | | | |
− +
x0 =a x1 x2
h h h h . . . xn−1 =b y0 =f(a)
P0
Rq 1 : L’abscissexn
−1 du dernier pointPn
−1est bien égale àb: En effet,xn
−1=x0+ (n−1)h=a+ (n−1)b−a
n−1=a+b−a=b.
Rq 2 :nsera toujours choisi suffisamment grand pour quehsoit proche de0.
Troisième étape : Il s’agit ensuite de déterminer la suite finie de réels (yk) (cad la suite des ordonnées des pointsPk) telle que∀0≤k≤n−1, yk ≈f(xk)
Comment définir cette suite ? On s’aide systématiquement de l’approximation affine locale.
f étant dérivable sur[a;b]ethétant choisi suffisamment proche de0, on peut écrire pour tout entierkcompris entre0et n−2:
f(xk+h)≈f(xk) +hf′(xk)cadf(xk+1)≈f(xk) +hf′(xk) (⋆)
Ensuite, tout dépend si l’on est dans le cas 1, cad si l’on connait f′ ou si l’on est dans le cas 2, cad si l’on connait une relation liantf′ àf du typef′ =λf+µ.
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TS -Lycée Desfontaines Méthode d’Euler Supposons que nous soyons dans le cas 1 :
Cad qu’on connait l’expression de la dérivée :∀x∈[a;b], f′(x) =g(x)oùg est une fct connue.
Alors en reprenant à partir d’(⋆), on a :∀0≤k≤n−2, f(xk+1)≈f(xk) +hg(xk).
On définit alors la suite (yk)ainsi
(y0=f(a)
∀0≤k≤n−2, yk+1=yk+hg(xk) et on vérifie par un raisonnement par récurrence que cette suite répond bien au pb d’Euler, cad∀0≤k≤n−1, yk≈f(xk).
Pourk= 0,y0=f(a) =f(x0)donc la propriété est vraie au rang0.
On suppose ensuite que la propriété est vraie pour un entierkcompris entre0etn−2et on prouve qu’elle est vraie au rangk+ 1.
On suppose donc queyk≈f(xk)et on veut prouver queyk+1≈f(xk+1).
Oryk+1=yk+hg(xk)doncyk+1≈f(xk) +hg(xk).
Orf(xk+1)≈f(xk) +hg(xk)doncyk+1≈f(xk+1).
D’où la propriété est vraie au rangk+ 1.
Elle est donc héréditaire et vraie au rang0donc elle est vraie pour ttkcompris entre0etn−1cadyk≈f(xk)
Interprétation géométrique :
Les pointsPk(xk;yk) ainsi obtenus sont proches des pointsMk(xk;f(xk)), situés sur Cf. En fait,pour k≥1, chaque pointPk est situé sur la parallèle à la tangente àCf enMk−1, mais passant parPk−1.
| | |
b b b
b b
b
b
x0 =a x1 x2 x3
| | || |
y0 =f(a) P0 P1
M1 P2
M2 P3
M3
Supposons que nous soyons dans le cas 2 :
Cad qu’on connait une relation liantf′ à f du typef′=λf+µoùλet µsont des réels connus.
Alors en reprenant à partir d’(⋆), on a :∀0≤k≤n−2, f(xk+1)≈f(xk) +h(λf(xk) +µ) cadf(xk+1)≈f(xk)(1 +λh) +µh.
On définit alors la suite(yk)ainsi
(y0=f(a)
∀0≤k≤n−2, yk+1=yk(1 +λh) +µh et on vérifie par un raisonnement par récurrence que cette suite répond bien au pb d’Euler, cad∀0≤k≤n−1, yk≈f(xk).
Pourk= 0,y0=f(a) =f(x0)donc la propriété est vraie au rang0.
On suppose ensuite que la propriété est vraie pour un entierkcompris entre0etn−2et on prouve qu’elle est vraie au rangk+ 1.
On suppose donc queyk≈f(xk)et on veut prouver queyk+1≈f(xk+1).
Oryk+1=yk(1 +λh) +µhdoncyk+1≈f(xk)(1 +λh) +µh.
Orf(xk+1)≈f(xk)(1 +λh) +µhdoncyk+1≈f(xk+1).
D’où la propriété est vraie au rangk+ 1.
Elle est donc héréditaire et vraie au rang0donc elle est vraie pour ttkcompris entre0etn−1cadyk≈f(xk)
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TS -Lycée Desfontaines Méthode d’Euler
Interprétation géométrique :
Les pointsPk(xk;yk) ainsi obtenus sont proches des pointsMk(xk;f(xk)), situés sur Cf. En fait,pour k≥1, chaque pointPk est situé sur une droite passant parPk−1 et presque parallèle à la tangente àCf enMk−1.
| | |
x0 =a b
b b
b b
b
b
x1 x2 x3
| |
| |
y0 =f(a) P0 P1 M1
P2 M2
P3 M3
Quatrième étape : On place les pointsPk de coordonnées(xk;yk)et on les relie par des segments. Cela donne une ligne polygonale qui représent une approximation de la courbeCf.
Remarque :Pour chaque pashdiférent, on obtient alors une nouvelle ligne polygonale approchant la courbe de la fonction f. A priori, plus le pashest petit, plus la ligne obtenue est proche de la courbe de f; en fait, ce n’est pas tt à fait exact : il existe un pas optimal.
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