Ï i 34= = = = :-c -35= = f31 -54= =1 50=1. 22= à = 25= =32

Chapitre 5 : Puissances.

I. Puissances d’un nombre relatif.

1) Exposant entier positif.

Définition :

a désigne un nombre relatif et n un entier positif non nul.

aⁿ désigne le produit de n facteurs égaux à a : aⁿ = a × a ×…× a n facteurs Le nombre n s’appelle un exposant.

Exemple :

3⁴ est le produit de 4 facteurs égaux à 3. Donc : 3⁴ = 3×3×3×3 = 81 Calculer :

7³ = 7×7×7 = 343 9⁷ =9×9×9×9×9×9×9 = 4 782 969 (– 3)⁵ =(– 3)×(– 3)×(– 3)×(– 3)×(– 3) = - 243

=

=

Cas particulier :a¹ = a exemple : 5¹ = 5

Convention : pour a ≠ 0, on convient que : a⁰ = 1 exemple : 7⁰ = 1 Attention : Ne pas confondre !!!

(–5)⁴ =(–5)× (–5)× (–5)× (–5) = + 625 –5⁴ =–5×5×5×5 = – 625

Applications :

Quel est le signe des nombres suivants ?

(–7)²⁰¹² : Produit de 2012 facteurs tous égaux à (-7). Or, 2012 est un nombre pair. Donc (–7)²⁰¹² est positif.

(–11)⁹³ : Produit de 93 facteurs tous égaux à (-11). Or,93 est un nombre impair. Donc (–11)⁹³ est négatif.

–5¹¹⁰ = –5×5×5×…..×5 Il y a un seul signe moins donc le nombre –5¹¹⁰ est négatif.

2) Exposant entier négatif.

A l’aide de la calculatrice, calculer :

2^-3 = 0,125 et = 0,125 On remarque que 2^-3 = 5^-2 = 0,04 et =

0,04 On remarque que 5^-2 =

Définition :

a et b désignent deux nombres relatifs non nuls.

n désigne un entier non nul.

32=3×3--9

33=3×3×3--27

34=13×4

3×3×3×-3=9×9--81

ni

f31

100=1 50=1

-54=1-11×54

-35=-3×3×3

25=2×2

^2×2×2=32

24--2×2×2112=16

E- E-

23

^2×2×2=8

22=2×2--4 à

21

Ï ⁱ

2-1--1

)

=

{

₁₌₊₁

a^-n désigne l’inverse de aⁿ :

a^-n =

désigne l’inverse de :

Exemple :

2^-3 est l’inverse de 2³ donc 2^-3

=

Cas particulier :

Pour a ≠ 0, a^-1 est l’inverse de a.

Exemple :

5^-1 est l’inverse de 5. Donc, 5^-1 = Calculer :

Donner les résultats sous forme de fractions irréductibles.

4^–2 =

=

=

= =

Applications :

Quel est le signe des nombres suivants ? (–5) ^–2012 =

Il y a 2012 facteurs négatifs (au dénominateur). Or, 2012 est un nombre pair. Donc (–5) ^–2012 est positif.

(–11) ^–93 =

Il y a 93 facteurs négatifs (au dénominateur). Or, 93 est un nombre impair. Donc (–11) ^–93 est négatif.

–5^–110 =

Il y a un seul signe moins donc le nombre –5^-110 est négatif.

= Produit de 116 facteurs tous égaux à . Donc est positif.

= Produit de 116 facteurs tous égaux à Or, 116 est un nombre pair. Donc est positif.

3) Priorités opératoires.

Attention, quand une expression comporte des puissances, on calcule en priorité : 1.Les calculs entre parenthèses.

2.Les puissances.

3.Les multiplications et les divisions.

4.Les additions et les soustractions.

2-2--1-1

E- ±

2-4--21

j'⁼

fait

2-

%

2-

In

Exemples :

Calculer (écrire les étapes intermédiaires) :

A = 50 – 3 4²= 50 – 3×16 = 50 – 48 = 2B = 5 – 3² = 5 – 9 = -4

C = 5×(–3)² – (–3)³= 5×9 – (–27) = 45 + 27 = 72 D = 2^-2 + 3^-2=

E = 4^-2 – = –

F = –2×3^-2 – 3²×4^-3× = –2× – 3²× × = –2× – 3×3×

× =

II- Puissances de 10.

1) Définitions.

n désigne un nombre entier positif non nul.

On note 10ⁿ le produit de n facteurs tous égaux à 10.

zeros facteurs n

n

n 10 ... 10 10...0 10

Applications : 10⁵ = 100 000 10⁹ = 1 000 000 000 10¹ = 10

10²² = 10 000 000 000 000 000 000 000

1 gogol =10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 Il y a 100 zéros !10 sexdécilliard !

On note 10^-n l’inverse de 10ⁿ.

décimales zeros n

facteurs n n

n

n 0, 0...01

0 ...

0 1

1 10

...

10 1 10

10 1

Applications : 10^-2 = 0,01 10^-5 =0,000 01 10^-9 = 0,000 000 001 10^-1 = 0,1

Attention :Par convention 10⁰ =1

2) Calculer avec des puissances.

Activités :

a. Après avoir décomposé le produit, écrire le résultat sous la forme d’une puissance de 10 : A = 10³ 10²

A = 1 000 100

A = 100 000

A = 10⁵

B = 10⁴ 10⁵

B = 10 000× 100 000 B = 1 000 000 000 B = 10⁹

C = 10^-5 10⁷

C = 0,00001×10 000 000

C = 100 C = 10²

On peut conjecturer la propriété : Etant donnés deux entiers relatifs n et p, on a :

10 ⁿ ×10 ^p = 10 ^n+p

b. Même consigne : A = ₃⁷

10 10

A = ^10000000₁₀₀₀

A = 10 000 A = 10⁴

B = ₅⁸ 10 10

B =

B = 1000 B = 10³

C = ₂⁵ 10 10

C =

C = 0,000 000 1 C = 10^-7

On peut conjecturer le propriété : Etant donnés deux entiers relatifs n et p, on a :

10 ^n-p

c. Même consigne :

A = 10^{3 2}

A = 1000²

A = 1 000 1 000

A = 1 000 000

A = 10⁶

B = 10^{2 4} B = (100)⁴

B=100×100×100×100

B = 100 000 000 B = 10⁸

C = 10 ^{5 2}

C = (0,00001)²

C = 0,00001×0,00001 C = 0,000 000 000 1 C = 10^-10

Propriété :

Etant donnés deux entiers relatifs n et p, on a :

(10 ⁿ ) ^p = 10 ^n×p

Applications :Ecrire les nombres sous la forme aⁿ :

10²×10⁴ = 10²⁺⁴ = 106 10⁷×10^-11 = 10^7+(-11) = 10^-4 10^-4×10^-7 = 10^-4+(-7) = 10^-11

=10^12-8 = 104

=10^8-15= 10-7 Attention !

=10^5-(-9)= 10⁵⁺⁹ = 10¹⁴

=

=10^1-7 = 10^-6 (10⁴)⁷ =10^4×7 = 1028 (10^-3)^-9 =10^(-3)×(-9) = 10²⁷ (10⁶)^-8 = 10^6×(-8) = 10^-48

=

= 10^0-(-3) = 103

= 10^0-5= 10^-5 5⁷×4⁷ =(5×4)⁷ = 20⁷

lis

ni

1000×100--100000=105

III- Ecriture scientifique d’un nombre décimal.

Activité :

Donner l’écriture décimale des nombres suivants : 0,123×10²=12,3

1 230×10^-2 = 12,3 0,000 123×10⁵ =12,3 123 000×10^-4 =12,3 1,23×10¹ =12,3

Un nombre a plusieurs écritures utilisant les puissances de 10, mais une seule est appelée écriture scientifique(ou notation scientifique), c’est-à-dire de la forme « a 10ⁿ » avec :

1 a< 10 et n est un entier positif ou négatif.

La notation (ou écriture) scientifique du nombre 12,3 est 1,23×10¹. Applications : Donner l’écriture scientifique des nombres suivants : A = 120 000 000 000 =1,2×10¹¹

B = 0,000 000 000 002 01 = 2,01×10^-12 C = 145 000 000 = 1,45×10⁸

D = 0,000 002 = 2×10^-6 E = 1 000 000 =1×10⁶

F = 0,000 001 101 =1,101×10^-6

G = 450 000×10⁸ =4,5×10⁵×10⁸ = 4,5×10¹³

H = 123 000 000 000 000 000×10^-18 =1,23×10¹⁷×10^-18 = 1,23×10^-1 I = 0,000 145×10¹³ =1,45×10^-4×10¹³ = 1,45×10⁹

J = 0,000 000 203×10^-11 =2,03×10^-7×10^-11 = 2,03×10^-18

K = 12×10^-5×9×10⁹ =12×9×10^-5×10⁹ = 108×10⁴ = 1,08×10²×10⁴ = 1,08×10⁶ L = 2×10^-3 + 5×10^-2 =2×0,001 + 5×0,01 = 0,002 + 0,05 = 0,052 = 5,2×10^-2

11 4

7 4

5 12 4

5 12

10 10 2

21 10 42 10

21

10 10

6 7 10

21

10 6 10 M 7

N =

0,056×10^3-(-19) = 0,056×10²² = 5,6×10^-2×10²² = 5,6×10²⁰ Donner l’écriture décimale du nombre :

A = 10⁸ + 10⁵ + 10² + 10^–1 + 10^–5

A = 100 000 000 + 100 000 + 100 + 0,1 + 0,000 01 A = 100 100 100,100 01

26/09/21 Puissances

Exercice ^d' application

Effectuez

calculatrice les calculs _suivants

A- ⁼

4

13=2

⁽

35 ^{D= 109}

F-

134

A- 43=4×-4×4 ₁₃₌₂

=

16×4 13=2×-2×2×2

=

64 _B.

4×+2×-2112×21=2×2×-2

13=4×16×16

B

i.

B- 1024

(

35=5×3×5×315

9×9×3=81×3

₂₄₃

6 ⑧

E-

134=13×13×13×13

✗ 169

*

^¥ _Ï

=

28561

. 40

169cg

28 5 61

D= 109=10×10×10×10

101110×10×10×10=1000000000

Exercice d' application ^{.NL Donner l' écriture décimale des nombres suivants}

tabulatrice

A- 2-5 B.

(

5-

D= 10-5

A-

2-5--2,1=1×-903125

Â¥zg

13--4-2=+1--1-1--0,0625

^%

÷

^÷ :* :

( ⁼

5-

#

^-1=0/04 -3%

D=

^" !→= _hoodoo Î%

-1%

=

0,00001

¥625

%

¥0

3 ¥0

5×4 _%

a) 32×34=32+4--36

b) ^58×57=5

c) 3×34--5×34

=

3^+4--35

d) ¥-

^{? -2=33 e)} ¥

^{83-2=8 ? f)} _Ë=ç

= 4-^{^.}

g) 3¥