2 Rappels sur les fonctions dérivables

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mathématiques - S’1 Continuité, dérivabilité département Mesures Physiques - IUT1 - Grenoble

1 Rappels sur la continuité

définition :une fonction f à valeurs réelles définie sur un intervalleIest ditecontinue en un pointx0deIsi la limite quandxtend versx0de f(x)estf(x0).

Une fonction est continue sur un intervalle si elle l’est en chaque point de l’intervalle.

exemple 1 :toute fonction polynomiale est continue surR.

exemple 2 :la fonction qui vaut f(x) =0 six<0 etf(x) =1 six≥0 n’est pas continue en 0 : quandxtend vers 0 par valeurs négatives, f(x) =0 ne tend pas versf(0) =1.

Les fonctions rencontrées en DUT servent principalement à modéliser des phénomènes physiques continus ou présentant une discontinuité « simple » comme dans l’exemple 2 ; nous n’approfondirons donc pas l’étude des fonctions discontinues, qui peuvent être bien plus difficiles à appréhender que celle de cet exemple.

On peut retenir en première approximation qu’une fonction est continue si elle n’effec- tue pas de « sauts », i.e si l’on peut tracer son graphe « sans lever le stylo ».

exemple 3 : la fonction « sinus cardinal » est définie pourx6=0 par sinc(x) = sinx x . Cette formule ne permet pas de calculer directement sinc(0). Mais on peut montrer que la limite quandxtend vers 0 de sinx

x est 1 et donc en posant sinc(0) =1 on prolonge de manière naturelle une fonction continue surR^∗en une fonction continue bien définie surR tout entier. C’est le principe deprolongement par continuité.

2 Rappels sur les fonctions dérivables

2.1 définition

On dit qu’une fonction définie au voisinage dex0 estdérivableen un pointx0 si et seulement si le rapport f(x)−f(x0)

x−x0 admet une limite finie quandxtend versx0. Cette limite est alors appelénombre dérivé def enx0, et noté f⁰(x0).

Une fonction dérivable en un point est forcément continue en ce point ; mais la réci- proque est fausse :

√x−√ 0 x−0 = 1

√x −→

x→0⁺+∞, donc la fonction√, qui est continue surR+, n’est pas dérivable en 0.

interprétation géométrique du nombre dérivé :soit(C)le graphe d’une fonctionf. f(x)−f(x0)

x−x0 est le coefficient directeur (la pente) de la corde de reliant les points d’abscissesxetx0. Si f est dérivable enx0, quandxtend versx0, ce coefficient directeur tend vers celui de la tangente (T)à(C)enx0: f⁰(x)est donc le coefficient di- recteur de(T).

Et graphiquement les cordes entrexetx0se rap- prochent de(T)quandxse rapproche dex0.

(x₀,f(x₀)) (x,f(x)

(C) (T)

(x₀,f(x₀)) (x,f(x)

(C) (T)

(x₀,f(x₀)) (x,f(x)

(C) (T)

Si la fonctionfadmet ainsi un nombre dérivé en tout point d’un intervalleI, cela définit une nouvelle fonction notée f⁰ou d f

dx et appeléefonction dérivéede f. Inversément, on dit que f est uneprimitivede f⁰.

exemple : la fonction affinef(x) =ax+best dérivable surR, et f⁰(x) =apour toutx.

2.2 différentielles

Le taux d’accroissement entre les points(x,f(x))et(x0,f(x0)), f(x)−f(x0) x−x0 , est le quotient de deux différences,∆f =f(x)−f(x0)différence des ordonnées des deux points, et∆x=x−x0, différence des abscisses.

Sixtend versx0,∆f et∆xdeviennent infiniment petits ; ce sont lesdifférentiellesd f etdx. On a donc pour une fonctionf l’égalité entre différentiellesd f=f⁰(x)dx.

Savoir manipuler les différentielles sera utile en calcul intégral pour effectuer des chan- gements de variables : pour un changement de variabley= f(x), on aura besoin de cal- culer dy en fonction dedx ou dx en fonction dedy. Par exemple, avec le changement de variabley=cosx, avec 0≤x≤π/2, on a dy=−sinx dx, et doncdx=−_sinx^dy . Mais sin²x=1−y²donc sinx=p

1−y²(car sinx≥0), et finalementdx=−√^dy

1−y². Cela per- met de calculer l’intégrale ^R_x=0^π/2cos⁴xsinx dx=^R_y=1⁰ y⁴(−dy) =1/5, et aussi l’intégrale R1

y=0√dy

1−y² =^R_x=π/2⁰ −dx=π/2.

Nous reverrons cela plus tard...

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2.3 étude des variations

L’interprétation géométrique du nombre dérivé enx0explique le lien fondamental entre une fonction et sa dérivée : le signe de la pente de la tangente indique si la fonction est croissante ou décroissante autour dex0.

Le calcul des dérivées permet ainsi de remplacer l’étude du sens de variation d’une fonction par l’étude du signe de la fonction dérivée. Plus précisément :

si f est une fonction dérivable sur un intervalleI,

f est croissante surIsi et seulement si pour toutxdansI, f⁰(x)≥0, f est décroissante surIsi et seulement si pour toutxdansI, f⁰(x)≤0,

et de plus, si on sait quef⁰(x)est strictement positif (resp.strictement négatif) pour toutx, on peut affirmer que f est strictement croissante (resp.strictement décroissante)

remarque :il est indispensable de travailler sur un intervalle : on verra que la fonction inverse a pour dérivée la fonction strictement négative surR^∗x7→ −1/x², et pourtant elle n’est pas décroissante surR^∗.

2.4 techniques de calcul

Reste maintenant à apprendre à calculer effectivement des dérivées, si possible en évi- tant de devoir revenir à la définition comme limite d’un taux de variation.

Pour cela on dispose d’une part d’un certain nombre de fonctions de réference dont les dérivées sont connues, et d’autre part de règles donnant la dérivée d’une fonction construite à partir de fonctions aux dérivées connues.

Commençons donc par les règles sur les sommes, produits et quotients : si f etgsont deux fonctions dérivables sur un intervalleI,

(f+g)⁰=f⁰+g⁰, (f g)⁰=f⁰g+g⁰f, et signe s’annule pas surI,

f g

₀

= f⁰g−g⁰f

g² (en particulier 1

g ₀

=−g⁰ g² ).

exemple 1 : sif(x) =x², alors f⁰(x) =1×x+x×1=2x exemple 2 : sif(x) =1

x, alorsf⁰(x) =0×x−1×1 x² =−1

x² .

exemple 3 : si l’on sait que sin⁰ =cos et cos⁰ =−sin, on en déduit que tan⁰ = cos²−(−sin²)

cos² = 1

cos²=1+tan².

De même, on dispose d’une règle donnant la dérivée d’une composée :

si f est dérivable surIet sigest dérivable sur f(I), (g◦f)⁰=f⁰×g⁰◦f en particulier, sif⁻¹est la réciproque de f,

alors f⁻¹est dérivable sur f(I)et (f⁻¹)⁰= 1 f⁰(f⁻¹).

exemple 1 : la fonction exponentielle est définie comme une solution de l’équation différentielley⁰=y, donc comme une fonction égale à sa dérivée.

exp est strictement positive, donc sa dérivée aussi, donc l’exponentielle est strictement croissante : elle admet donc une fonction réciproque, le logarithme népérien ln.

En particulier on a la relation explnx=xpour toutx>0, donc en utilisant la règle qui précède : ln⁰x×exp⁰lnx=1, d’où ln⁰x×x=1, et donc ln⁰x=1

x.

exemple 2 : la fonction tangente restreinte à ]−π/2,π/2[et à valeurs dans Rest continue et dérivable de dérivée strictement positive. Elle est donc strictement croissante, et admet une fonction réciproque, arctan.

Alors pour toutx, tanarctanx=x, donc arctan⁰x= 1

1+tan²(arctanx)= 1 1+x². exemple 3 : la dérivée logarithmiquesi f est une fonction dérivable qui ne s’annule pas, ln|f|est égale soit à lnf (si f >0) soit à ln(−f)(si f <0). Dans tous les cas, on en déduit que(ln|f|)⁰= f⁰

f . f⁰

f est la dérivée logarithmique def.

Elle est parfois intéressante pour la propriété suivante : la dérivée logarithmique de f g est la somme de la dérivée logarithmique de f et de celle deg.

remarque : il arrive que l’on étudie deux quantitésxetyreliées entre elles, de sorte que l’on puisse soit considérerycomme fonction dex, soit considérerxcomme fonction de y(ety7→x(y)est donc la fonction réciproque dex7→y(x)).

Alors on a(y⁻¹)⁰= 1

y⁰(y⁻¹), et commey⁻¹=x,dx dy= 1

dydx

, d’où la formule

dx dy

dy dx=1.

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Citons enfin la formule donnant la dérivée d’un puissance quelconque d’une fonction (rappelons que sia>0 et sibest un réel quelconque,a^best défini para^b=e^blna) :

si f est dérivable surIet à valeurs strictement positives, siαest un réel, (f^α)⁰=αf⁰f^α−1, et en particulier√f⁰= f⁰

2√f.

(si l’exposant est un entier positif, il est inutile de supposerf strictement positive)

On donne maintenant une liste de dérivées usuelles (le tableau de gauche est à connaître par coeur) :

f(x) f⁰(x)

x^α αx^α−1

√x 1

2√x

sinx cosx

cosx sinx

tanx 1

cos²(x)=1+tan²(x)

arcsinx 1

√1−x²

arccosx − 1

√1−x²

arctanx 1

1+x²

ln|x| 1

exp(x) exp(x)x

f(x) f⁰(x)

shx chx

chx shx

thx 1

ch²(x)=1−th²(x)

argshx 1

√x²+1

argchx 1

√x²−1

argthx 1

1−x²

remarque :en pratique, pour calculer une dérivée on utilise rarement la définition du nombre dérivé comme limite d’un taux d’accroissement, mais plutôt les dérivées usuelles et les règles de calculs que l’on vient de donner.

En revanche, le lien avec le taux d’acroissement peut permettre de calculer des limites si l’on connaît par ailleurs des dérivées usuelles : par exemple, si l’on désire calculer la limite

de e^x−1

x quandxtend vers 0, qui est a priori une forme indéterminée, on peut remarquer que e^x−1

x =e^x−e⁰

x−0 est le taux d’accroissement de la fonction exponentielle en 0 : ainsi, limx→0e^x−1

x =exp⁰(0) =exp(0) =1.

2.5 dérivées d’ordre supérieur :

Si la fonction dérivée f⁰ est à son tour dérivable, sa dérivée(f⁰)⁰est appeléedérivée secondede f, notée f⁰⁰oud²f

dx².

On définit de même par récurrence la dérivée d’ordren, notée f⁽ⁿ⁾ou dⁿf dxⁿ.

Si, en plus d’êtrenfois dérivable sur un intervalleIune fonction admet une dérivéen- ième f⁽ⁿ⁾continue, on dit quef est unefonction de classeCⁿ. Cette notion est en général préférée à la simple exigence den-dérivabilité.

Enfin si une fonction est indéfiniment dérivable, on dit que f est de classeC^∞.

Le signe de la dérivée f⁰ donne le sens de variation de la fonction f. Le signe de la dérivée seconde f⁰⁰donne, lui, la convexité de la fonction : si sur un intervalle f⁰⁰≥0, la fonction est diteconvexe: son graphe ressemble à une parabole dont le sommet est en bas et les branches sont tournées vers le haut. Si f⁰⁰≤0, la fonction est diteconcave: son graphe ressemble à une parabole dont le sommet est en haut et les branches pointent vers le bas.

3 Recherches d’extrema

définition :on dit qu’une fonctionf admet unmaximumen un pointx0si pour toutx, f(x)≤f(x0), et unminimumsi pour toutx,f(x)≥f(x0). On appelleextremumde f une valeur qui est soit un minimum, soit un maximum.

Si les inégalités ci-dessus sont strictes pourx6=x0, on parle de maximum, minimum ou extremumstrict.

En toute rigueur, un extremum de f est une valeur f(x0), et il est réalisé pourx=x0. Mais l’abus de langage qui consiste à confondre extremum et point en lequel il est atteint est courant.

exemple 1 :pour toutxnon nul,x²>0, donc la fonctionx7→x²atteint en 0 son mini- mum global strict 0.

exemple 2 :une fonction constante atteint en tout point un minimum et un maximum, qui est la valeur de la fonction.

exemple 3 :la fonction inverse définie surR^∗n’admet ni minimum, ni maximum car elle a des limites−∞en 0⁻et+∞en 0⁺.

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exemple 4 :la fonction exponentielle non plus : elle n’a évidemment pas de maximum, car elle n’est pas majorée : sa limite en+∞est+∞. Mais elle n’admet pas non plus de minimum, car la valeur 0 n’est pas atteinte par la fonction.

La proposition suivante est utile pour assurer l’existence d’un extremum : si f est une fonction continue sur un segment[a,b], f possède un maximum global et un minimum global.

(autrement dit : une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes).

Ce théorème est utile pour savoir qu’un extremum existe, mais il ne permet pas de le cal- culer. C’est la dérivée qui va nous permettre cette détermination. Plus précisément, l’étude de f⁰permet de déterminer lesextrema locauxde f, les valeurs qui sont des maxima ou minima autour d’un point. Une analogie géographique permet de comprendre la différence entre ces notions : pour la fonction « altitude », les différents sommets d’une chaîne de montagne seront tous des maxima locaux. Mais seul le point culminant de la chaîne sera un maximum global.

Comment caractériser ces extrema locaux ? Graphiquement on voit bien que si une fonc- tion est définie autour d’un point qui réalise un extremum, la tangente à la courbe en ce point doit être horizontale. Ainsi :

si f est dérivable sur]a,b[

si f admet un extremum local en un pointc∈]a,b[, alors f⁰(c) =0.

Attention, la réciproque de ce théorème est fausse : la dérivée de la fonction f(x) =x³ s’annule en 0, bien que 0 ne soit ni un minimum, ni un maximum local de f. On dispose cependant d’un condition suffisante pour assurer l’existence d’un extremum local :

proposition :si f est dérivable sur]a,b[, et si f⁰(c) =0 pour unc∈]a,b[, alors : sif⁰⁰(c)>0,f admet un minimum local enc; si f⁰⁰(c)<0, fadmet un maximum local enc. Mais si f⁰⁰(c)est lui aussi nul, on ne peut conclure.

Plan d’étude :si l’on demande de déterminer les extrema d’une fonction f : – on regarde si une inégalité « élémentaire » ne permet pas de conclure directement.

Pas besoin de dérivée pour remarquer que la fonctionx7→(x+1)²−2 admet un mi- nimum strict de valeur -2, atteint en -1. En effet,(x+1)²−2≥ −2 (car un carré est toujours positif), et l’égalité n’est possible que si(x+1)²=0 soitx=−1.

– sinon on recherche les valeursc1,c2, . . .pour lesquelles f⁰(ci) =0.

Une étude (directe, ou à l’aide de la dérivée seconde) permet souvent de dire si les f(ci)sont ou non des extrema locaux.

Les seuls extrema globaux possibles sont alors les f(ci)et éventuellement aussi les valeurs aux bornes de l’intervalle, si l’intervalle est du type[a,b].

– on compare alors ces valeurs entre-elles et avec les valeurs ou limite de la fonction aux bornes de son intervalle de définition.

exemple 1 :pour la fonction f(x) =e^x−x, le seul point où la dérivée s’annule est 0, donc le seul extremum possible est atteint en 0. f⁰⁰(x) =e^xdonc f⁰⁰(0)>0 : 1 est bien un minimum local strict de la fonction.

De plus, lim−∞f =lim+∞f = +∞, doncf n’admet pas de maximum, et 1 est un mini- mum global.

exemple 2 :soit la fonction définie parf(x) =−x²+1 sur[−1,2].

On voit que 1 est un maximum strict, atteint pourx=0.

La dérivée ne s’annule pas ailleurs qu’en 0 ; mais on sait,f étant continue sur le segment [−1,2], que f doit admettre un minimum : il est donc nécessairement atteint aux bornes de l’intervalle. f(−1) =0 et f(2) =−3, donc le minimum def est−3, atteint pourx=2.

exemple 3 :soit la fonction définie parf(x) =x³−x. Sa limite en−∞est−∞, sa limite en+∞est+∞, donc on peut affirmer qu’elle ne possède par d’extremum global.

Maisf⁰(x) =x²−1 s’annule en 1 et -1. Etf⁰⁰(x) =2xest strictement négatif en -1, stric- tement positif en 1 : f admet un maximum local pourx=−1, de valeur 0, et un minimum local enx=1, de valeur 0.

4 Accroissements finis

Si f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, il existe c∈]a,b[ tel que f⁰(c) = f(b)−f(a)

b−a . C’est laformule des accroissements finis. On en déduit l’inégalité suivante : inégalité des accroissements finis

si f est dérivable sur[a,b], si pour toutx∈[a,b],|f⁰(x)| ≤M, alors : |f(b)−f(a)| ≤M|b−a|.

Dans l’interprétation mécanique de la dérivée, si f représente la position d’un point, f⁰représente sa vitesse instantanée, le théorème précédent permet de majorer la distance parcourue quand on connaît le temps de parcours et un majorant de la vitesse.

Une conséquence de cette inégalité est la caractérisation des fonctions de dérivée nulle : une fonction est constante sur un intervalle si et seulement si sa dérivée est nulle.

En effet, sif⁰=0 surI, alors pour tousa,b∈I|f(b)−f(a)| ≤0, et doncf(a) =f(b).

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