Chapitre 4 : Ensembles

Chapitre 4 : Ensembles

PTSI B Lycée Eiffel 15 octobre 2015

La vie n’est bonne qu’à étudier et à enseigner les mathématiques.

Blaise Pascal.

Ne tenez pour certain que ce qui est démontré.

Isaac Newton.

Introduction

Ce chapître est un peu fourre-tout, la notion (extrêmement générale) d’ensemble étant prétexte à regrouper trois parties de cours assez indépendantes : une partie sur le principe de récurrence et ses variantes qui contiendra également en guise d’application des calculs de sommes et de produits ; une petite partie consacrée aux rudiments de l’arithmétique ; et une partie théorique sur les notions d’applications injective et sujective, permettant de vraiment comprendre la notion essentielle en mathématiques de bijection. Même si ce chapître ne sera pas celui qui fera l’objet du plus grand nombre d’interrogations dans l’immédiat, il serait vraiment très malvenu de le négliger, son contenu étant nécessaire pour fixer les bases des chapîtres d’algèbre et d’analyse que nous aborderons ensuite.

Objectifs du chapitre :

• comprendre réellement le principe de récurrence, et savoir l’appliquer dans toutes les situations où on peut en avoir besoin

• maîtriser les calculs de sommes faisant intervenir les sommes classiques

• maîtriser les notions d’application injective et surjective, y compris pour des applications autres que celles de R dansR

1 Récurrence, sommes et produits

1.1 Compléments sur les ensembles

Définition 1. Leproduit cartésiende deux ensemblesEetF est l’ensemble constitué de tous les couples d’éléments (x, y), avecx∈E ety∈F. On le noteE×F.

Remarque 1. Les notations sont très importantes : l’ensemble {2; 3} est constitué de deux éléments (les entiers 2 et 3), alors que l’ensemble {(2,3)} est constitué d’un seul élément, la paire d’entiers (2,3).

Remarque 2. Encore une fois, on généralise facilement à plus de deux ensembles.

Remarque 3. LorsqueE =F, on note E² plutôt queE×E, et plus généralement E×E× · · · ×E

| {z }

nfois

=Eⁿ.

Définition 2. L’ensemble des parties d’un ensemble E, notéP(E), est l’ensemble dont les éléments sont les sous-ensembles deE.

Exemple :SiE={1; 2; 3},P(E) ={∅;{1};{2};{3};{1; 2};{1; 3};{2; 3};{1; 2; 3}}.

1.2 Démonstration par récurrence

Théorème 1. Tout sous-ensemble non vide deNadmet un plus petit élément.

Remarque 4. Ce résultat fondamental pour la structure de l’ensemble N est plus un axiome qu’un réel théorème.

Proposition 1. Principe de récurrence.

Soit (P_n)_n∈N une suite de propriétés. Si P0 est vraie, et si ∀n ∈ N, P_n ⇒ P_n+1, alors toutes les propriétés Pn sont vraies.

Démonstration. C’est en fait équivalent au théorème énoncé précédemment. Notons A ={n ∈ N| P_nest fausse}. On procède par l’absurde, supposons donc que les propriétés ne sont pas toutes vraies, ce qui revient à dire que l’ensemble A n’est pas vide. D’après le théorème précédent, il y a donc un entiern0qui est le plus petit élément de l’ensembleA. Cet entier ne peut pas être nul puisqueP0 est supposée vrai, on en déduit quen0−1∈N. La propriétéP_n0−1 est vraie puisquen0 est le plus petit élément de A, mais Pn0 est fausse. C’est impossible à cause de l’hypothèse Pn ⇒ Pn+1, l’ensemble Aest donc vide, et les propriétés sont toutes vraies.

Cette propriété sert également de pense-bête pour bien structurer la rédaction d’une démonstration par récurrence. On procède théoriquement en quatre étapes :

• Énoncé clair et précis des propriétés Pn et du fait qu’on va réaliser une récurrence.

• Initialisation : on vérifie que P0 est vraie (habituellement un calcul très simple).

• Hérédité: on supposeP_nvraie pour un entiernquelconque (c’est l’hypothèse de récurrence) et on prouve Pn+1 à l’aide de cette hypothèse (si on n’utilise pas l’hypothèse de récurrence, c’est qu’on n’avait pas besoin de faire une récurrence !).

• Conclusion : En invoquant le principe de récurrence, on peut affirmer avoir démontré P_n pour tout entier n.

Exemple : On considère la suite numérique définie de la façon suivante : u0 = 4 et ∀n ∈ N, u_n+1 = 1

un−2 + 2. On souhaite prouver que cette suite est minorée par2, c’est-à-dire que ∀n∈N, un>2. Nous allons pour cela, bien évidemment, procéder par récurrence :

• Énoncé : Nous allons prouver par récurrence la propriété Pn :un>2.

• Initialisation :u0 = 4>2, donc la propriété P0 est vérifiée.

• Hérédité : Supposons désormais Pn vraie, c-est-à-dire que un > 2, et essayons de prouver que un+1 >2. C’est en fait assez simple en partant de l’hypothèse de récurrence :un>2⇒ un−2>0⇒ 1

un−2 >0⇒ 1

un−2+ 2>2⇒un+1 >2.

• Conclusion: D’après le principe de récurrence, la propriété P_n est vrai pour tout entier n.

Remarque 5. Variations du principe de récurrence :

Le monde mathématique n’étant pas parfait, une récurrence classique n’est hélas pas toujours suffi- sante pour montrer certaines propriétés. Il faut donc être capable de modifier légèrement la structure dans certains cas :

• si on ne cherche à montrer P_n que lorsque n > n0 (n0 étant un entier fixe dépendant du contexte), on peut toujours procéder par récurrence, mais en initialisant à n0.

• il est parfois nécessaire que l’hypothèse de récurrence porte non pas sur une valeur de n, mais sur deux valeurs consécutives. On peut alors effectuer une récurrence double : on vérifie P0 et P1 lors de l’étape d’initialisation, et on prouve Pn+2 à l’aide de Pn et Pn+1 lors de l’hérédité (on peut de même effectuer des récurrences triples, quadruples, etc. en faisant une initialisation triple ou plus, et en prenant une hypothèse de récurrence triple ou plus ; dans tous les cas on ne démontre qu’une seule propriété lors de l’hérédité).

• on peut même avoir besoin pour prouver l’hérédité que la propriété soit vérifiée pour tous les entiers inférieurs. Dans ce cas, on parle de récurrence forte : le plus simple est de modifier la définition de la propriété Pn pour lui donner un énoncé commençant par ∀k 6 n. Ainsi, lorsqu’on suppose Pn vérifiée, on a une relation vraie pour toutes les valeurs dek inférieures ou égales àn(les plus malins d’entre vous noteront d’ailleurs qu’on peut toujours rédiger une récurrence sous forme de récurrence forte, ça ne demande pas plus de travail et ça ne peut pas être moins efficace ; c’est toutefois un peu plus lourd et déconseillé sauf nécessité).

Exemple :On considère la suite définie par u0 = 0,u1 = 1 et∀n∈N,u_n+2 = 5u_n+1−6u_n, et on veut déterminer une expression du terme général de la suite(un). Pour cela (ce n’est pas forcément la meilleure méthode, mais la plus simple pour nous pour l’instant), on calcule les termes suivants de la suite :u2= 5,u3 = 19,u4= 65. Une inspiration soudaine nous fait conjecturer queu_n= 3ⁿ−2ⁿ (si on ne devine pas la formule, on ne pourra jamais faire de récurrence), ce qu’on va prouver par récurrence double. La formule est vraie pour u0 : 3⁰ −2⁰ = 1−1 = 0 et pour u1 : 3¹−2¹ = 1.

Supposons-là vérifiée pour u_n etu_n+1, alors u_n+2 = 5u_n+1−6u_n = 5(3ⁿ⁺¹−2ⁿ⁺¹)−6(3ⁿ−2ⁿ) = 15×3ⁿ−10×2ⁿ−6×3ⁿ+ 5×2ⁿ = 9×3ⁿ−4×2ⁿ= 3ⁿ⁺²−2ⁿ⁺². La formule est donc vérifiée au rangn+ 2, le principe de récurrence double permet de conclure.

1.3 Sommes classiques Définition 3. Le symbole X

signifie « somme ». Plus précisément, la notation Xi=n

i=1

ai se lit par exemple « somme pourivariant de 1 à nde ai » et peut se détailler de la façon suivante :

Xi=n i=1

ai = a1+a2+· · ·+an.

Remarque 6.

• La lettre i est une variable muette, autrement dit on peut la changer par n’importe quelle autre lettre sans changer la valeur de la somme. On choisit traditionnellement les lettres i,j, k, etc. pour les indices de sommes.

• Dans une somme, la variable muette prend toujours toutes les valeurs entières comprises entre la valeur initiale et la valeur finale.

Exemple: Siaest une constante,

i=n

X

i=2

a= (n−1)a(faites bien attention au nombre de termes que contient la somme...).

Proposition 2. Règles de calcul sur les sommes. On a le droit d’effectuer les opérations suivantes :

• factoriser par une constante :

i=n

X

i=0

kai =k

i=n

X

i=0

ai

• séparer ou regrouper des sommes de mêmes indices :

i=n

X

i=0

a_i+b_i =

i=n

X

i=0

a_i+

i=n

X

i=0

b_i

• séparer les indices en deux (relation de Chasles) :

i=nX

i=1

ai= Xi=p

i=1

ai+ Xi=n i=p+1

ai

• faire un changement d’indice :

i=n

X

i=1

ai=

j=n−1

X

j=0

aj+1 (on a poséj=i−1)

Remarque 7. Tenter de simplifier d’une façon ou d’une autre une somme de la forme

i=n

X

i=0

aibi est par contre une très bonne manière de s’attacher la rancoeur tenace de votre professeur ; les sommes et produits ne font pas bon ménage.

Proposition 3. Sommes classiques.

• ∀n∈N, Xi=n

i=0

i= n(n+ 1) 2

• ∀n∈N, Xi=n

i=0

i² = n(n+ 1)(2n+ 1) 6

• ∀n∈N,

i=n

X

i=0

i³ = n²(n+ 1)²

4 =

i=n

X

i=1

i

!²

• ∀q6= 1, ∀n∈N,

k=n

X

k=0

q^k = 1−qⁿ⁺¹ 1−q

Démonstration. • Nous allons démontrer par récurrence que la propriété P_n :

i=n

X

i=0

i= n(n+ 1) 2 est vraie pour tout entier n. Pour n= 0, nous avons

Xi=n i=0

i= 0 et 0(0 + 1)

2 = 0, donc P0 est vraie. Supposons Pn vraie pour un entier n quelconque, c’est-à-dire que

Xi=n i=0

i = n(n+ 1)

2 .

On peut alors effectuer le calcul suivant :

n+1

X

i=0

i =

i=n

X

i=0

i+n+ 1 = n(n+ 1)

2 +n+ 1 = n(n+ 1) + 2(n+ 1)

2 = (n+ 1)(n+ 2)

2 , ce qui prouvePn+1. D’après le principe de récurrence, nous pouvons donc affirmer que, ∀n∈N,

i=n

X

i=0

i= n(n+ 1)

2 .

• Nous allons prouver par récurrence la propriété Pn : Xi=n

i=0

i² = n(n+ 1)(2n+ 1)

6 . Pour n= 0, nous avons

i=n

X

i=0

i² = 0² = 0, et 0(0 + 1)(2×0 + 1)

6 = 0, donc P0 est vérifiée. Supposons dé- sormaisPnvraie pour un entiernquelconque, on peut alors écrire

i=n+1

X

i=0

i²=

i=n

X

i=0

i²+(n+1)²= n(n+ 1)(2n+ 1)

6 +(n+1)²= n(n+ 1)(2n+ 1) + 6(n+ 1)²

6 = (n+ 1)(n(2n+ 1) + 6n+ 6)

6 =

(n+ 1)(2n²+ 7n+ 6)

6 = (n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3)

6 = (n+ 1)((n+ 1) + 1)(2(n+ 1) + 1)

6 , donc

P_n+1 est vérifiée. D’après le principe de récurrence, on peut conclure que P_n est vraie pour tout entier naturel n.

• Nous allons prouver par récurrence la propriété Pn : Xi=n

i=0

i³ = n²(n+ 1)²

4 . Pour n= 0, nous avons

i=n

X

i=0

i³ = 0³ = 0, et 0²(0 + 1)²

4 = 0, donc P0 est vérifiée. Supposons désormais Pn vraie pour un entier nquelconque, on peut alors écrire

i=n+1

X

i=0

i³ =

i=n

X

i=0

i³+ (n+ 1)³= n²(n+ 1)²

4 +

(n+ 1)³ = n²(n+ 1)²+ 4(n+ 1)³

4 = (n+ 1)²(n²+ 4n+ 4)

4 = (n+ 1)²(n+ 2)²

4 , donc Pn+1

est vérifiée. D’après le principe de récurrence, on peut conclure que Pn est vraie pour tout entier naturel n.

• Nous allons prouver par récurrence la propriété Pn :

k=nX

k=0

q^k = 1−qⁿ⁺¹

1−q . Pour n = 0, nous avons

k=n

X

k=0

q^k=q⁰ = 1, et 1−q¹

1−q = 1, doncP0 est vérifiée. Supposons désormaisP_nvraie pour une entier n quelconque, on peut alors écrire

k=n+1

X

k=0

q^k=

k=nX

k=0

q^k+qⁿ⁺¹ = 1−qⁿ⁺¹

1−q +qⁿ⁺¹ = 1−qⁿ⁺¹+qⁿ⁺¹−qⁿ⁺²

1−q = 1−qⁿ⁺²

1−q , doncPn+1est vérifiée. D’après le principe de récurrence, on peut conclure que Pn est vraie pour tout entier naturel n.

Exemple : La technique de la somme télescopique consiste à constater que la différence de deux sommes ayant beaucoup de termes communs comporte en fait nettement moins de termes que ce qu’elle n’en a l’air au départ. ConsidéronsS =

Xi=n i=1

1

i(i+ 1). A priori pas évident à calculer, du moins tant qu’on a pas constaté que 1

i− 1

i+ 1 = i+ 1−i

i(i+ 1) = 1

i(i+ 1). On peut alors faire le calcul suivant :

i=n

X

i=1

1 i(i+ 1) =

i=n

X

i=1

1 i −

i=n

X

i=1

1 i+ 1 =

i=n

X

i=1

1 i −

j=n+1

X

j=2

1 j = 1 +

i=n

X

i=2

1 i −

j=n

X

j=2

1 j − 1

n+ 1 = 1− 1 n+ 1 Si la fin du calcul ne vous semble pas claire, on peut aussi voir les choses ainsi :

i=n

X

i=1

1 i − 1

i+ 1 = 1−1 2 +1

2− 1

3+· · ·+ 1 n− 1

n+ 1 = 1− 1 n+ 1.

Rien ne nous interdit de mettre une somme à l’intérieur d’une autre somme. Dans ce cas, il est toutefois très important d’utiliser deux indices différents pour les deux sommes, sous peine de confu- sion totale. Plusieurs notations sont possibles pour exprimer des sommes doubles :

Xi=n i=1

j=n

X

j=1

ip j =

j=nX

j=1

Xi=n i=1

ip

j = X

16i,j6n

ip

j. Cette somme est constituée de n² termes qu’on peut par exemple re- présenter dans un tableau contenant n lignes et n colonnes. L’ordre dans lequel on place les deux sommes est indifférent (d’où également la possibilité de n’utiliser qu’une seule somme), on a donc intérêt à les placer dans l’ordre le plus pratique pour le calcul, ici par exemple :

X

16j6i6n

3j = 3

i=n

X

i=1 j=i

X

j=1

= 3

i=n

X

i=1

i(i+ 1)

2 = 3

2

i=n

X

i=1

i² + i = 3 2

n(n+ 1)(2n+ 1)

6 + n(n+ 1) 2

= n(n+ 1)(2n+ 1) + 3n(n+ 1)

4 = (n+ 1)(2n²+n+ 3n)

4 = n(n+ 1)(n+ 2)

2 .

1.4 Produits

Définition 4. Le symbole Q

signifie « produit ». Par exemple,

i=n

Y

i=1

a_i=a1×a2× · · · ×a_n.

Définition 5. On appelle factoriellede l’entier naturel n, et on noten!, le nombren! =

i=n

Y

i=1

i.

Exemples:

i=nY

i=1

a=aⁿ; (n+ 1)!

n! =

i=n+1

Y

i=1

i

i=nY

i=1

i

=n+ 1.

Proposition 4. Les règles de calcul suivantes peuvent être utiles quand on manipule des produits :

• séparer ou regrouper des produits ayant les mêmes indices :

i=nY

i=1

ai×

i=nY

i=1

bi =

i=nY

i=1

aibi

• séparer les indices (relation de Chasles) :

i=n

Y

i=1

ai =

i=pY

i=1

ai×

i=n

Y

i=p+1

ai

• faire un changement d’indice :

i=n+1

Y

i=2

ai =

j=nY

j=1

aj+1

Remarque 8. Bien entendu, tenter de simplifier

i=nY

i=1

(ai+bi) serait une grave erreur que, j’en suis certain, vous ne commettrez pas deux fois (ni même une seule, si possible).

Exemple : Un petit calcul de produit pour finir ce paragraphe. P =

i=n

Y

i=1

3i=

i=n

Y

i=1

3×

i=n

Y

i=1

i= 3ⁿn!

2 Arithmétique

Définition 6. Soientnetp deux entiers relatifs,nestdivisible par p(ou pdivisen) s’il existe un troisième entierk tel quen=kp.

Remarque 9. La relation de divisibilité est une relation d’ordre surN^∗ mais pas surZ^∗, où elle n’est pas pas antisymétrique. En effet, deux entiers relatifs qui se divisent l’un l’autre sont soit égaux soit opposés.

Théorème 2. Division euclidienne.

Soit n∈Z etp ∈N^∗, alors il existe un unique couple (q, r) ∈Z² tel que n=pq+r, et0 6r < p.

L’entierqest appeléquotientde la division euclidienne denparp, et l’entierr restede cette même division.

Exemple : Pour effectuer en pratique une division euclidienne, on peut revenir à ses classiques du primaire en posant la division (et en s’arrêtant avant d’obtenir un quotient décimal). Ainsi, on aura par exemple207 = 14×14 + 11.

Démonstration. Commençons par prouver l’existence du couple(q, r), en supposantn >0(sinon, ce n’est pas beaucoup plus compliqué). Comme Rest archimédien, il existe certainement un entier aà partir duquelap > n, notons donc q = max{a∈N|ap6n}, et r=n−pq. Par définition, pq6n, doncr >0. De plus, par maximalité de q, on doit avoir(q+ 1)p > n, soitpq+p−n >0, ou encore p > n−pq=r. Enfin, par définition de r,n=pq+r, l’existence du couple est donc prouvée.

Démontrons désormais l’unicité en supposant comme d’habitude qu’il y a deux couples convenables (q, r) et (q^′, r^′). On a alors pq+r = pq^′+r^′ = n, donc p(q −q^′) = r^′ −r. En particulier r^′ −r divise p, alors que−p < r^′−r < p. Ce n’est possible que si r^′−r = 0, soit r^′ =r, ce qui implique p(q^′−q) = 0, doncq =q^′. Les deux couples sont alors identiques.

Définition 7. Soit n etp deux entiers naturels non nuls. Le plus grand commun diviseur(ou pgcd) denetpest, comme son nom l’indique, le plus grand entier divisant simultanémentnetp. On le note parfoisn∧p. Le plus petit commun multiple(ou ppcm) est le plus petit entier naturel que divisentnetp.

Proposition 5. Quels que soient les nombres entiers netp, le produit du pgcd et du ppcm denet dep est égal ànp.

Définition 8. Un entier naturelnest premiers’il n’est divisible que par1 et par lui-même. Deux entiers netp sont premiers entre eux si leu pgcd est égal à1.

Remarque 10. Par convention, le nombre 1 n’est pas considéré comme un nombre premier.

Remarque 11. Il n’existe pas de méthode extrêmement simple pour savoir si un entier donné est premier ou non. Pour faire la liste des nombres premiers inférieurs à un entier donné, le plus simple est encore d’utiliser lecrible d’Eratosthène: on place dans un tableau tous les entiers inférieurs à n(à partir de2), et à chaque étape on garde le plus petit entier disponible (qui sera nécessairement prémier), et on raye tous ses multiples.

2 3 4/ 5 6/ 7 8/ 9/ 10//

11 12// 13 14// 15// 16// 17 18// 19 20//

21// 22// 23 24// 25// 26// 27// 28// 29 30//

31 32// 33// 34// 35// 36// 37 38// 39// 40//

41 42// 43 44// 45// 46// 47 48// 49// 50//

51// 52// 53 54// 55// 56// 57// 58// 59 60//

61 62// 63// 64// 65// 66// 67 68// 69// 70//

71 72// 73 74// 75// 76// 77// 78// 79 80//

81// 82// 83 84// 85// 86// 87// 88// 89 90//

91// 92// 93// 94// 95// 96// 97 98// 99// 100////

Les nombres restants : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79,83,89 et 97 sont tous premiers. il y a donc 25 nombres premiers inférieurs ou égaux à 100. On peut démontrer plus généralement (mais c’est très compliqué) que le nombre de nombres premiers inférieurs àn devient proche de ln(n) (c’est-à-dire que le quotient des deux tend vers 1), lorsque n tend vers+∞.

Théorème 3. Théorème de Bezout.

Deux entiersnetp sont premiers entre eux si et seulement s’il existe un couple d’entiers(a, b)∈Z² tels que an+bp = 1. Plus généralement, il existe toujours un couple d’entiers relatifs tels que an+bp=n∧p.

Démonstration. La preuve dépasse largement ce qu’on est capables de faire à notre niveau. D’ailleurs, le théorème lui-même est vraiment à la limite du programme.

Théorème 4. Il existe une infinité de nombres premiers.

Démonstration. On va un tout petit peu anticiper sur le dernier résultat du paragraphe. Faisons un raisonnement par l’absurde : il existerait donc une liste finie p1, p2, . . ., pk de nombres premiers.

Notons alors p = Yk i=1

pi + 1. Cet entier n’est sûrement pas divisible par p1 (puisque l’entier qui le précède l’est et quep1>2), ni par aucun despi. Soit il est lui-même premier (mais distinct des autres, ce qui est absurde), soit il est divisible par un entier premier (c’est là qu’on utilise la décomposition), qui n’est lui-même aucun desp_i. Dans tous les cas, on aboutit à une contradiction.

Théorème 5. Décomposition en facteurs premiers.

Tout nombre entiern>2peut se décomposer de façon unique à l’ordre des facteurs près sous la forme n=

i=k

Y

i=1

p^α_iⁱ =p^α1¹ × · · · ×p^α_k^k, où p1,p2, . . ., pk sont des nombres premiers, et(α1, . . . , αk)∈(N^∗)^k. Démonstration. La démonstration de ce théorème n’est pas au programme, on va s’en dispenser. On peut la faire par récurrence, mais c’est un peu technique.

Exemple : La décomposition du nombre 384 est 2⁷ ×3 (il suffit de diviser par 2 jusqu’à ce que ce ne soit plus possible, de recommencer avec 3, etc), et celle de 660 est 2² ×3×5×11. Il est assez facile ensuite de calculer le pgcd et le ppcm. Pour le pgcd, il suffit d’élever chaque facteur premier apparaissant à la fois dans la décomposition de net de p à la puissance égale au minimum des puissances des deux décompositions. Ici,384∧660 = 2²×3 = 12. Ensuite, le ppcm est égal au produit des deux entiers divisé par le pgcd, ou au produit des facteurs premiers apparaissant dans au moins une des deux décompositions, élevés à la puissance égale au maximum des deux puissances.

Ici, ppcm(384,660) = 2⁷×3×5×11 = 34×660

12 = 21 120.

3 Applications

3.1 Définitions

Une application est un cas particulier de ce que vous avez l’habitude d’appeler une fonction.

La différence est qu’une application doit être définie sur tout son ensemble de départ, alors qu’on parle par exemple de fonction deRdansRpour la fonction inverse (mais on peut très bien parler de l’application inverse deR^∗ dansR).

Définition 9. Une application f est la donnée d’un ensemble E, appelé ensemble de départ de l’application, d’un ensembleF appelé ensemble d’arrivée, et pour chaque élémentxdeE, d’un unique élément deF notéf(x). On appelle f(x) l’image de l’élément x par f, et si y∈E, les éléments x de E vérifiant f(x) = y sont appelés antécédents de y par f (un élément y peut très bien ne pas avoir d’antécédent, ou au contraire en avoir plusieurs).

Exemple : L’application x → x, définie sur un ensemble quelconque E, est appelée application identité, souvent notée id (ou idE si on veut bien préciser l’ensemble de départ). La fonction x7→ 3

x−2 est une application de R\{2} dansR.

Remarque 12. Deux applications sont identiques si elles ont même ensemble de départ, même en- semble d’arrivée et envoient un même élément sur une même image. Par exemple, les fonctions d’une variable réelle f : x 7→ x−4 et g : x 7→ x²−5x+ 4

x−1 sont différentes, même si elles coïncident sur R\{1} : elles n’ont pas le même ensemble de définition.

Remarque 13. L’ensemble de toutes les application deEdansF peut être notéF^E. Ainsi, la notation R^N désigne l’ensemble de toutes les suites réelles.

Définition 10. Soitf :E →F une application etE^′ un sous-ensemble deE. L’applicationg:E^′→ F définie par∀x∈E^′,g(x) =f(x) est appelée restrictionde f au sous-ensemble E^′ et notée f_|E′. On dit egalement quef est un prolongementdeg à E.

Exemple : La fonction x → xlnx, définie sur R+^∗, peut se prolonger en une fonction f˜définie et continue surR+ en posantf˜(0) = 0. En pratique, on utilise souvent la même notation pour désigner le prolongement que pour la fonction d’origine, même si c’est un abus de notation.

Définition 11. Soit A ⊂ E, la fonction caractéristique du sous-ensemble A est l’application 1_A:E→ {0,1} définie par1_A(x) = 1 six∈Aet1_A(x) = 0 si x /∈A.

3.2 Injections, surjections, bijections

Définition 12. Soit f : E → F une application, f est dite injective si ∀(x, x^′) ∈ E², f(x) = f(x^′) ⇒ x = y; f est dite surjective si ∀y ∈ F,∃x ∈E, f(x) =y; enfin, f est dite bijective si elle est à la fois injective et surjective.

f injective f surjective f bijective

Et pour ceux qui préfèrent avec des fonctions, un exemple de fonction deRdansRinjective mais pas surjective (à gauche, on voit que les valeurs supérieures à 1 par exemple n’ont pas d’anctécédent), et un de fonction surjective mais pas injective à droite (par exemple 0a trois antécédents par cette fonction) :

0 1 2 3

−1

−2

−3

0 1

−1

0 1 2 3

−1

−2

−3

0 1 2

−1

−2

Remarque 14. Autrement dit, f est injective si tout élément de F a au plus un antécédent par f, surjective si tout élément de F a au moins un antécédent de F, et bijective si tout élément de F a exactement un antécédent parf. On peut aussi définir une application injective de la façon suivante : x6=x^′ ⇒f(x)6=f(x^′).

Exemples : L’applicationx 7→x², qui va de R dansR₊, est surjective (tout réel positif admet une racine carrée) mais pas injective car par exemple 2 et −2 ont la même image par f. L’application racine carrée est par contre bijective deR₊ dans lui-même.

Proposition 6. Soient f :E → F etg : F → G deux applications. Si f et g sont injectives alors g◦f est injective. Sif etg sont surjectives, alors g◦f est surjective.

Démonstration. Supposons g et f injectives, et soient x, x^′ ∈ E² tels que g(f(x)) = g(f(x^′)). Par injectivité de g, on a alors nécessairement f(x) = f(x^′), puis par injectivité de f, x = x^′, ce qui prouve l’injectivité de g◦f. Supposons désormais g etf surjectives et soit z ∈ G. Par surjectivité de g,∃y ∈F, z=g(y), puis par surjectivité de f,∃x∈E,y =f(x). Mais alors z=g◦f(x), donc za un antécédent par g◦f, ce qui prouve sa surjectivité.

Remarque 15. La réciproque de ces propriétés est totalement fausse, voir la feuille d’exercices pour quelques exemples.

Proposition 7. Une application f :E →F est bijective si et seulement si il existe g:F →E telle que g◦f = idE et f ◦g = idF. L’application g est alors appelée bijection réciproque de f (ou réciproque tout court) et notéef⁻¹.

Remarque 16. Cette réciproque, bien que notéef⁻¹, n’a rien à voir avec la fonction inverse def, que pour cette raison nous noterons toujours 1

f. Notons au passage quef⁻¹ est effectivement bijective, de réciproquef (c’est évident une fois le théorème démontré).

Démonstration. Supposons f bijective et soit y ∈ F. Il existe un unique antécédent x de y par f, on poseg(y) = x. On a alors par construction f ◦g(x) =x, donc f ◦g =id_F. De plus, si x ∈E, g(f(x)) est un antécédent de f(x), mais comme il n’y en qu’un ça ne peut être que x, donc on a aussig◦f =idE.

Réciproquement, sig◦f =idE etf◦g=idF, considérons xetx^′ tels quef(x) =f(x^′), on a alors g◦f(x) =g◦f(x^′), donc x=x^′, ce qui prouve l’injectivité de f. Soit maintenant y∈F, alors g(y) est un antécédent de y par f puisque f ◦g(y) = y, donc f est sujective. L’application f est donc bijective.

Remarque 17. Vous connaissez déjà quelques exemples classiques de bijections réciproques, notam- ment ln (bijective de R^∗₊ dans R) et exp (bijective réciproque de ln de R dans R^∗₊). Vous savez également que les représentations graphiques de ces deux fonctions sont symétriques par rapport à la droite d’équation y=x. C’est une propriété générale des fonctions réciproques.

Exemple :L’application f :x7→3x+ 6est bijective de RdansR et son application réciproque est l’applicationg:x7→ 1

3x−2. En effet,g◦f(x) = 1

3(3x+ 6)−2 =xetf◦g(x) = 3 1

3x−2

+ 6 =x.

Proposition 8. Soientf :E →F et g:F → G deux applications bijectives, alors g◦f :E → G est une application bijective et (g◦f)⁻¹=f⁻¹◦g⁻¹.

Démonstration. fetgétant à la fois injectives et surjectives,g◦fest à la fois injective et surjective (cf plus haut) donc bijective. De plus,∀x∈E,f⁻¹◦g⁻¹◦g◦f(x) =f⁻¹((g⁻¹◦g)(f(x))) =f⁻¹(f(x)) =x et de même∀x∈G,g◦f ◦f⁻¹◦g⁻¹(x) =x.

Définition 13. Soit f : E → F une application et A ⊂ E. On appelle image (directe) de A l’ensemble des images des éléments de A : f(A) = {y ∈ F | ∃x ∈ A, f(x) = y}. Soit maintenant B ⊂ F, on appelle image réciproque de B par F l’ensemble des antécédents d’élements de B : f⁻¹(B) ={x∈E|f(x)∈B}.

Remarque 18. La deuxième notation n’a pas été choisie de façon contradictoire avec la définition d’application réciproque (encore heureux). Sif est bijective, l’image réciproque d’une partie B deF est confondue avec son image directe parf⁻¹.

Exemple :Considérons l’application f :x7→x² de R dans R, alorsf([2; 5]) = [4; 25];f([−1; 3]) = [0; 9];f⁻¹([4; 9]) = [−3;−2]∪[2; 3].

Proposition 9. L’application ϕ:

P(E) → {0,1}^E

A 7→ 1_A est une bijection.

Démonstration. Cette propriété explique bien le nom de fonction caractéristique puisqu’il s’agit de caractériser un sous-ensemble deE par une application deE dans{0,1}. En particulier, elle explique pourquoi, dans le cas d’un ensemble fini E à n éléments, P(E) contiendra 2ⁿ éléments. Prouvons séparément l’injectivité et la surjectivité :

• prouver l’injectivité revient, par contraposée, à prouver que A 6= B ⇒ 1₁ 6= 1_B. Dire que A6=B revient à dire qu’il existe un élémentxappartenant àAmais pas àB (ou le contraire, les conséquences étant complètement symétriques). On a alors, par définition de la fonction caractéristique, 1_A(x) = 1 et1_B(x) = 0, ce qui implique certainement que1_A6=1_B.

• choisissons maintenant une applicationfdeEdans{0,1}quelconque et notonsA=f⁻¹({1}).

Par définition, on a donc,∀x∈A,f(x) = 1, et∀x /∈A,f(x)6= 1, c’est-à-diref(x) = 0puisque f ne prend que les valeurs0et1. Autrement dit,f =1_A, etf admet donc l’ensembleAcomme antécédent par l’application ϕ, qui est bien surjective.

3.3 Relations d’équivalence

Nous avons déjà étudié il y a quelques semaines les relations d’ordre sur un ensemble, dont le but est en gros de classer les éléments d’un ensemble. Les relations d’équivalence procèdent sur le même principe, mais en tentant de regrouper les éléments en paquets d’élements « qui se ressemblent ».

Définition 14. Une relation d’équivalence R sur un ensemble E est :

• réflexive : ∀x∈E,xRx

• symétrique : ∀(x, y)∈E²,xRy⇔yRx.

• transitive : ∀(x, y, z)∈E³,xRy etyRZ impliquentxRz.

Exemple : La relation d’équivalence la plus simple possible sur un ensemble quelconque E est la relation d’égalité (mais elle ne présente aucun intérêt !). Quelques exemples moins triviaux :

• la relation de congruence modulo 2π sur R (qui consiste à identifier les réels correspondant au même point sur le cercle trigonométrique)

• la relation de parallélisme sur l’ensemble de toutes les droites du plan (en considérant deux droites confondues comme parallèles).

Définition 15. Soit x ∈E et R une relation d’équivalence sur E, la classe d’équivalence de x pour la relationR est l’ensemble Cx ={y∈E|xRy}.

Définition 16. Soit E un ensemble, une liste de sous-ensembles (A1, A2, . . . , An) de E forme une partitionde E si :

• ∀(i, j)∈ {1, n}²,i6=j⇒Ai∩Aj =∅.

• Sn i=1

A_i =E.

Remarque 19. Autrement dit, tout élément x ∈ E appartient à exactement un des sous-ensembles Ai. Cette notion de partition est essentielle en probabilités, comme nous le verrons en fin d’année.

Proposition 10. SiR est une relation sur E, l’ensemble des classes d’équivalence de R forme une partition de l’ensemble E.

Démonstration. En effet, supposons que deux classesCxetCy ne soient pas disjointes, il existe donc un z tel que xRz et zRy, ce qui implique par transitivité que xRy. Les classes d’équivalence de x et de y sont alors les mêmes. Par ailleurs, tout élement de E appartient certainement à une classe d’équivalence : la sienne !

Exemples :Pour la relation de parallélisme sur l’ensemble des droites du plan, la classe d’équivalence d’une droite donnée est constituée de toutes les droites du plan qui lui sont parallèles. On l’appelle directionde la droite.

La relation définie surCparxRysi|x|=|y|est une relation d’équivalence, et ses classes d’équivalence sont, dans le plan complexe, tous les cercles concentriques centrés en l’origine du repère.