دراسة نوعية لبعض الجمل التفاضلية لكولموغروف

¬ðQ «ñÖÏñºË éJÊ “A ®JË@ ÉÒm.Ì'@ ‘ªJ.Ë éJ«ñ K éƒ@PX

éÓY®Ó ^{0 . 1}

úΫ ùÒʪË@ H.A‚mÌ'@ áKXAJÓ I.ËA ªË@ ú ¯ ÉÒªJ‚ úæê ¯ éJ®JJ.¢JË@ HAJ “AKQË@ ú ¯ AÒêÓ A«Q ¯ éJÊ “A ®JË@ ÉÒm.Ì'@ YªK . éJºJÓA JKX éÒ ¢

@ úÍ@ Aêk. YÒ J K éJÊ “A ®K ÉÔg. A JKYË ÈAJÖÏ@ ÉJ.ƒ

¡® ¯ i҂ éKXYªË@ †Q¢Ë@ à@ ,ÉJj‚Ó ð@ I.ª“ AÓñÔ« ñë éJÊ “A ®K éÊÒm.Ì úæ.KQ®JË@ úæk ð@ l'Qå”Ë@ ÉmÌ'@

. - áÓ QË@ áÓ éJ JÓ ÈAm.× úΫ - èA¢ªÓ éJK@YJK.@  ðQå… ‡ ¯ð Ég H.A‚m'.

. ÉKñ£ øYÖÏ Pñ¢JË@ Ñê ®Ë A g ɾ ‚. Ij.K ð éJ«ñ JË@ éƒ@PYË@ à X@ éKQ ¢ JË@ ¬YîD‚

ñJK. ÉKA‚Öß. ék. YÒ JÖÏ@ é ¯ñËAÖÏ@ éJÊ “A ®JË@ HBXAªÖÏ@ ÉÔg. ‘ªJ.Ë éJ«ñ JË@ éƒ@PYËAK. ÉÒªË@ @ Yë ú ¯ Õæî E ¬ñƒ

:( ^kolmogorov ) ¬ðQ «ñÖÏñ» ¨ñ K áÓ éJk.ñËñºK@





 dx

dt =xF(x, y) dy

dt =yG(x, y)

. ^R2 áÓ hñJ ®Ó úΫ †A®J ƒCË éÊK.A¯ ð èQÒJ‚Ó ©K.@ñK ^{G, F} IJk ( €Q ®ÖÏ@ ð é‚Q ®Ë@) h. XñÖ ß Qª K Õç' ú m'PAK Qk.ñÓ áÓ

@YJ. ƒ ,Èñ’ ¯ ³ úÍ@ Õ愮 JK èQ» YÖÏ@ è Yë

.( ^{Lotka−V olterra} ) @QËñ ¯A¾KñÊË . ɾ» èQ» YÖÏ@ ¼@PXB éKPðQå ”Ë@ ð éJƒAƒ

B@ ¬PAªÖÏ@ ‘ªK. ©Òm.' Ñj.ªÓ á« èPAJ.« ñë È ð

B@ ɒ ®Ë@

, éJ«ñ JË@ éƒ@PYË@ Õç' ,ø XYªË@ , l'Qå”Ë@ ÉmÌ'@ ‡KQ£ á« ,ÉjÊË é ®ÊJ m× †Q£ HCK QªË €QºÓ ñë ð ú GAJË@ ɒ ®Ë@

. éJ JÖÏ@ PðYË@ H@ X éÊÒm.Ì'@ è Yë  ðQå… XYj Jƒ . AÓA« AKñJ‚Ó éJÊ “A ®K éÊÔg. Q.Jª K IJk . ¬Q «ñÖÏñ» ÐA ¢ JË éJ JÓ PðX á« Ij. K , IËAJË@ ɒ ®Ë@ ú ¯ ,@Q g

@ ð

2015 à@ñk. éª ¯X ² ùºÓ ZA ®“ ð èðQÓ

¬ðQ «ñÖÏñºË éJÊ “A ®JË@ ÉÒm.Ì'@ ‘ªJ.Ë éJ«ñ K éƒ@PX

ú m' PA K É gYÓ ^{: 0 . 2}

Ë , éJ¢ mÌ'@ Q « HBXAªÖÏ@ é“A g , éJÊ “A ®JË@ HBXAªÖÏ@ I.Ê «@ à@ ( ⁽¹⁸¹¹⁻1832)Galois ) @ñËAg. áÊ«

@ . é JJªÓ ÈA¾ ƒ

AK. I.JºK úæk ð

@ èPY®Ó ÈñÊg AêË . éJÊ “A ®JË@ HBXAªÖÏ@ ‘ªK. Ég éËAjJƒ@ úΫ ¹⁸⁴¹ ÐA« ú ¯ ( ^Liouville ) ÉJ ¯ñJË áëQK. AÒ»

éƒ@PYË@ éJj.î DÓ Ðñ®K IJm'. , éJ«ñ K Q ¢ éêk.ð áÓ éʾ ‚ÖÏ@ ¹⁸⁹⁰ é Jƒ ú ¯ ( ^{P oincare} ) øPA¾ K@ñK. €PX . éJÊ« øXñÔ« ñJ‚Ó ©Ó PA‚ÖÏ@ ©£A®K  A® K ɂʂ éƒ@PX úΫ

hQ¢ , éʾ ‚Ó ²³ , ⁽¹⁹⁰⁰⁾ é Jƒ HAJ “AKQÊË ú GAJË@ úÍðYË@ QÖßñÖÏ@ ÈC g( ^Hilbert ) HQ.Êë úæ •AKQË@ ÐY¯

: éJËAJË@ éÊÒj.ÊË éJîD JÖÏ@ P@ðX

CË ùÒ ¢«@ XY« Xñk.ð éË

A‚Ó HQ.ÊêË Q儫 €XA‚Ë@ ɾ ‚ÖÏ@ áÓ ú GAJË@ Z Qm.Ì'@







x^′ =F(x, y)

(0.2.1) y^′ =G(x, y)

) , èA¢ªÓ ék.PX áÓ XðYg H@QJ» á« èPAJ.« ^{G(x, y)} ð ^{F(x, y)} IJk ,ùÒ ¢«B@ XYªË@ @ YêË ^Hn K. Q ‚ .(hñJ ®Ó A ’@ È@ñ‚Ë@ @ Yë

n=max(degF, degG) IJm'. ⁿ É¿ Ég.

@ áÓ éJîD JÓ ^Hn à@ éJ ¯ Y»

@ A KAëQK.( ^(1923)Dulac )¼CKX hQ¯@

) ñº J ƒAJË@ ÉJ.¯ áÓ É®J‚Ó ñm ' úΫ €PX ɾ ‚ÖÏ@ @ YêË ¼CKX Ég à@ .

A¢ k áÒ ’ é KAëQK. áºË, Õç' ( (1987)M oussu ) ñƒñÓ ð ( ^{M artinet} ) ú æJKPAÓ ,( ^Ecalle ) ÈA¿ @ ð ( (1991)Ilyashenko

. ÈA¿ @ ( (1957)Landis ) Y KB ð( ^{P etrovsky} ) ú¾‚ ¯ðQK. Yg.ð . ^{Hn <∞} à@ PAê £AK. i҂ ÉmÌ'@ @ Yë ÈAJÖß. ù ªÊK à

@ ÉJ.¯ ( ¹⁹⁶⁷ ú¾‚ ¯ðQK. ð Y KB) ÑîD JëQ.Ó ú ¯ A¢ k Xñk.ð úÍ@ @ñjÜÏ Ñî DºË ^H2 éÒJ¯

áÓ éJ JÓ XY« ^Hn àA¿ @ X@ é K

@ AÒ» , éJîD JÓ P@ðX

@ ©K.P

@ ð X ú«AK.P ÐA ¢ ÈC g áÓ ( ^(1982)Shi ) úæ„Ë XA ’Ó ) ñ ® Kñ ƒ ð ( ^{J ibin} ) ú æJJ.k.) ^{H3 ≥11} ð ^{H2 ≥4} à@ ñë éÒʪ K ø YË@ YJkñË@ Zúæ„Ë@ àA ¯ , ⁿ É¿ Ég.

@ ) YKñÊK@ ð ( Christopher ) Q ®J‚Q» ù¢«

@ ,(( ^{1995 Zoladek} ) ¼XBð P ,( ¹⁹⁸⁵ ,( ^{Chunf u}

Hn≥n²log(n) : ^Hn XYªÊË ú GX

@ Yg( (1995)Iloyd

. ¨ñ “ñÖÏ@ @ Yë úΫ áJKAJ “AKQË@ áÓ YKYªË@ ÉÔ« Y¯ ð - é‚Q ®Ë@) Õæ…AK. ¬QªK éJÊ “A ®K HBXAªÓ éÊÒm.Ì Ag. XñÖ ß @QËñ ¯ - A¾KñË ù¢«@ ,úæ •AKQË@ ZAJk

B@ ÕΫ ú ¯ úΫ @ð Y ªJK éK@ X ú GAJË@ ZA ’ ®Ë@ Qå•A J« áK. áÓ ø YË@ ð áKA ’ ¯ Qå•A J« é»Qk ­’ h. XñÒ JË@ @ Yë (€Q ®ÖÏ@

. È ð

B@ ZA ’ ®Ë@ Qå•A J«

2015 à@ñk. éª ¯X ³ ùºÓ ZA ®“ ð èðQÓ

¬ðQ «ñÖÏñºË éJÊ “A ®JË@ ÉÒm.Ì'@ ‘ªJ.Ë éJ«ñ K éƒ@PX

@QËñ ¯ - A¾KñÊË (€Q ®ÖÏ@ - é‚Q ®Ë@) h. XñÖ ß Q«

áÓ ð , ¹⁹²⁶ ú ¯ ^(v.volterra) ð ¹⁹²⁵ ú ¯ ^(A.J.Lotka) ÉJ.¯ áÓ É®J‚Ó ɾ ‚. h. XñÒ JË@ @ Yë hQ¯@ Y¯ ð ú ¯ ÑêÓ PðX h. XñÒ JË@ @ Yë I.ªË Y®Ë .( ^{Lotka−V olterra} ) @QËñ ¯ - A¾KñË h. XñÒ JK. éJJ҂ HZAg. A Jë : H@ZA ’ ®Ë@ áÓ á«ñ K áK. É«A ®JË@ ­“ñË Q« ð HAªÒJj.ÖÏ@ éJºJÓA JKX éƒ@PX

¡AƒñË éÔg.QK ù¢ª K ,ÐA ¢ JË@ @ Yë ­“ð ÉJ.¯ .( áKXQå… - I. K@P

@ ) @Q ®Ë@ ð ( €ðQ¯ - I.ËAªK) áƒQ ®ÖÏ@

.( @QËñ ¯ - A¾KñË) ÐA ¢ JË@ @ Yë . ^t ' áÓ P ú ¯ áƒQ ®ÖÏ@ ð @Q ®Ë@ XY« ^y(t) ð ^x(t) áºJË : áªK.AK ­KQªK ©J¢‚

x: [0,∞[−→R, t7−→x(t) ; y : [o,∞[−→R, t 7−→y(t) (0.3.1)

. AÓAÖ ß I.k.ñÓ ^t É¿ Ég.

@ áÓ ^C1 ­ J’Ë@ áÓ AÒî E@ Q ® K : éJËAJË@ HAJ “Q ®Ë@ úΫ QºKQK h. XñÒ JË@ @ Yë : ú æªK ,AJƒ

@ @YK@ QK ¬QªK @Q ®Ë@ , áƒQ ®ÖÏ@ H.AJ « ú ¯ H@XBñË@ È YªÓ ñë ^x(t)≥0 ð ^{a ≥0} IJk ^dx(t)dt =ax(t) (0.3.2)

: iJ.’ é JÓ ð ,Z@ Y ªË@ ‘® K I..‚. ,AJƒ

@ A’¯A JK àñƒQ ®ÖÏ@ ¬QªK @Q ®Ë@ H.AJ « ú ¯ HAJ ¯ñË@ È YªÓ ñë ^y(t)≥0 ð ^c≥0 IJk ^dy(t)dt =−cy(t) (0.3.3)

: à@ Q ® K , à@Xñk.ñÓ àA«ñ JË@ àA¿ @ X@

: K. ÉJÖß , áƒQ ®ÖÏ@ ð @Q ®Ë@ áK. HAÓXA’JË@ XY« ©Ó I.ƒA JK @Q ®Ë@ YJ“ ÈYªÓ áƒQ ®ÖÏ@ ©Ó HAÓXA’JË@ úÍ@ èXQÓ @Q ®Ë@ HAJ ¯ð ÈYªÓ ñë ^{b ≥0} IJk ^−bx(t)y(t) : K. ÉJÓ , áƒQ ®ÖÏ@ ð @Q ®Ë@ áK. HAÓXA’JË@ XY« ©Ó I.ƒA JK áƒQ ®ÖÏ@ XY« Q ªK ÈYªÓ

@Q ®Ë@ ¼Cî Dƒ@ ð HAÓXA’JË@ éËBYK. áƒQ ®ÖÏ@ H@XBð ÈYªÓ ñë ^d≥0 IJk ^dx(t)y(t) : éJËAJË@ éJÊ “A ®JË@ HBXAªÖÏ@ úÍ@ A KXñ®K H@PAJ.J«B@ è Yë

x^′(t)

x(t) =α−by ð ^y_y^′₍^(t)_t) ^{=−c+dx (0.3.4)}

2015 à@ñk. éª ¯X ⁴ ùºÓ ZA ®“ ð èðQÓ

¬ðQ «ñÖÏñºË éJÊ “A ®JË@ ÉÒm.Ì'@ ‘ªJ.Ë éJ«ñ K éƒ@PX

: áJJËAJË@ áJJÊ “A ®JË@ áJËXAªÒÊË éJ¢ k Q « éÊÔg. úÍ@ A KXñ®K HA “@Q ¯B@ è Yë éJ “AKP Q ¢ éêk.ð áÓ







x^′ =x(a−by)

(0.3.5) y^′ =y(−c+dx) ,(x(0), y(0)) = (x0, y0), x0, y0 ≥0 ©Ó

@QËñ ¯ - A¾KñË h. XñÒ JË Pñ¢Ë@ èPñ“

: éJËAJË@ ÉÓ@ñªË@ Y gAK. @QËñ ¯ - A¾KñË h. XñÖ ß Õæ…Q ƒ

a = 3 ;b = 1 ;c= 2 ;d= 1

: A JKYË à X@







x^′ =x(3−y)

(0.3.6) y^′ =y(−2 +x)

. €Q ®ÖÏ@ ð é‚Q ®Ë@ Q ªK áK. é KPA®Ó ð Pñ¢Ë èPñ“ ⁽⁰⁻¹⁾ ɾ ‚Ë@

2015 à@ñk. éª ¯X ⁵ ùºÓ ZA ®“ ð èðQÓ

¬ðQ «ñÖÏñºË éJÊ “A ®JË@ ÉÒm.Ì'@ ‘ªJ.Ë éJ«ñ K éƒ@PX

: @QËñ ¯ - A¾KñË ÉÔg. ú ¯ éJ JÓ PðX Yg.ñK B







x^′ =x(a1x+b1y+c1)

(0.3.7) y^′ =y(a²x+b2y+c2)

G(x, y) =a2x+b2y+c2 ð ^{F(x, y) =a1x+b1y+c1} à@ AÒ»

áÓ ,AJËAg ékðQ¢ÖÏ@ h. XAÒ JË@ áÓ YKYªÊË †C¢ @ 颮 K àA¿ Y® ¯ , 骃@ð éJK.X

@ èY«A¯ éË @QËñ ¯ - A¾KñË h. XñÖ ß . ¬ðQ «ñÖÏñ» h. XñÖ ß h. XAÒ JË@ è Yë áK.

: AÓA« €Q ®ÖÏ@ ð é‚Q ®Ë@ ÐA ¢ ¬ðQ «ñÖÏñ» Q.J«@









 dx

dt =xF(x, y)

(0.3.8) dy

dt =yG(x, y)

. ^R2 áÓ hñJ ®Ó úΫ †A®J ƒCË éÊK.A¯ èQÒJ‚Ó ©K.@ñK ^G ð ^F ©Ó . ÐA ¢ JË@ @ Yë ÈA¾ ƒ@ ‘ªK. éƒ@PYË €QºÓ A JÊÔ«

2015 à@ñk. éª ¯X ⁶ ùºÓ ZA ®“ ð èðQÓ