Analyse 2

Analyse 2

Prs. Z. ABDELALI et A. ZOGLAT

Dép. de Maths FSR

SMIA :S2

Analyse 2 1 / 33

Programme

CH1- Techniques d’Intégration

CH2- Intégrale de Riemann

CH3- Intégrale généralisée

CH4- Équations différentielles

Analyse 2 2 / 33

CHAPITRE 3

Intégrale généralisée

Analyse 2 3 / 33

Contenu du Chapitre

1 Introduction

2 Définitions

3 Propriétés

4 Exemples Fondamentaux

5 Critères de convergence

6 Fonctions équivalentes

7 Exercices de Révision

Analyse 2 4 / 33

Introduction

Au chapitre précédent nous avons défini l’intégrale Z x

a

f(t)dt d’une fonc- tion f intégrable sur un intervalle fermé et borné [a,b]. Dans ce chapitre nous allons étudier la possibilité de donner un sens à

Z x a

f(t) dt lorsque la fonction f n’est définie que sur [a,b[ (ou sur ]a,b] où a et b sont des nombre réels ou désignent −_∞ ou ∞).

Analyse 2 Introduction 5 / 33

Introduction

Exemple

1- Pour touta > 0, l’intégrale Z ₁

a

√1

x dx est bien définie. Quel sens donner à

Z ₁

0

√1 x dx?

2- Pour tout b > 0, l’intégrale Z _b

1

1

x dx est bien définie. Quel sens donner à

Z _∞

1

1 x dx?

Analyse 2 Introduction 6 / 33

Définitions

Définition

Soit f :[a,b[→_R une fonction intégrable sur tout intervalle [c,d]⊂[a,b[. On appelle intégrale généraliséedef sur [a,b]la quantité

Z _b

a

f(t)dt = lim

x→b

Z _x

a

f(t)dt.

Si cette limiteexiste et estfinie, on dira que l’intégrale généralisée Z b

a

f(t)dt estconvergente. Autrement, on dira qu’elle est divergente.

Analyse 2 Définitions 7 / 33

Exemple

1- L’intégrale généralisée Z _∞

1

1

x² dx est convergente. En effet, on a

blim→_∞ Z b

a

1

x² dt = lim

b→_∞

h−1 x

ib 1 =1.

2- L’intégrale généralisée Z _∞

1

1

x dxest divergente, puisque lim

b→_∞ Z _b

a

1

x dt = lim

b→_∞

h lnx

ib 1

=_∞.

Analyse 2 Définitions 8 / 33

Définition

Soit f :]a,b[→_Rune fonction intégrable sur tout intervalle [c,d] ⊂]a,b[. 1- S’il existeb⁰ ∈]a,b[tel que lim

x→a

Z _b⁰

x

f(t)dt existe et estfinie, on la notera

Z b⁰ a

f(t) dt et on dira que l’intégrale généralisée Z b⁰

a

f(t) dt est convergente. Sinon elle estdivergente .

2- S’il existe a⁰ ∈]a,b[tel que lim

x→b

Z _x

a⁰

f(t) dt existe et estfinie, on la notera

Z _b

a⁰

f(t)dt et on dira que l’intégrale généralisée Z _b

a⁰

f(t)dt est convergente. Sinon elle est divergente.

Analyse 2 Définitions 9 / 33

Remarque

Soitf :]a,b[→_Rune fonction intégrable sur tout intervalle[c,d]⊂]a,b[. a- S’il existea⁰,b⁰ ∈]a,b[tels que

Z b⁰ a

f(t)dtet Z b

a⁰

f(t)dtconvergent, alors lim

x→a lim

x⁰→b

Z _x⁰

x

f(t)_dt = lim

x⁰→b lim

x→a

Z _x⁰

x

f(t)dt. On note cette limite et on dit que l’intégrale généralisée

Z _b

a

f(t) dt est conver- gente.

b- La notation Z _d

a

f(t)dt, Z _b

c

f(t)dtou Z _b

a

f(t)dtdésigne une inté- grale généralisée mais ne signifie pas qu’elle est convergente.

Analyse 2 Définitions 10 / 33

Exemple

Soientf,g :]0,1]→_Rdéfinies parf(x) = ^e

√x−1

√x etg(x) = ^lnx x . Déterminons la nature des intégrales généralisées

Z ₁

0 f(t)dtet Z ₁

0 g(t)dt. Soite>0.

(1)

Z ₁

e

f(t)dt =2 Z ₁

√ e

e^u−1du u =√

tet2du = √^dt t.

= 2h e^u−u

i1

√ e

=2(e−1−e

√ e+√

e)−−→

e→0 2e−4.

(2)

Z 1 e

g(t)dt = ^h1 2

lnx2i1 e

= −1

2 (lne)² =−−→

e→0 −_∞.

Analyse 2 Définitions 11 / 33

Propriétés

Soient f,g :]a,b[→_Rdeux fonctions intégrables sur tout intervalle [c,d]⊂]a,b[,α un nombre réel eta⁰,b⁰ ∈]a,b[.

1- Si les intégrales généralisées Z _b⁰

a

f(t)_dt et Z _b⁰

a

g(t)_dt convergent alors l’intégrale généralisée

Z _b⁰

a

(f +g)(t)dt est convergente.

2- Si les intégrales généralisées les intégrales généralisées Z _b

a⁰

f(t)dt et Z _b

a⁰

g(t)dt convergent alors l’intégrale généralisée Z _b

a⁰

(f +g)dt est convergente.

3- Si l’intégrale généralisée def converge alors l’intégrale généralisée de αf converge.

Analyse 2 Propriétés 12 / 33

Proposition Soit a>0 un réel.

1- L’intégrale généralisée R_∞

a

1

t^α dt est convergente si α > 1. Elle est divergente siα≤1.

2- L’intégrale généralisée Ra 0

1

t^α dt est convergente si α < 1. Elle est divergente siα≥1.

Analyse 2 Exemples Fondamentaux 13 / 33

Démonstration.

1- Cas où α6=1. On a Z 1

t^α dt = ^t

−α+1

−α+1+C donc

Z _x

a

1

t^α dt = ^x

1−α−a^1−α 1−α −−−→

x→_∞







∞, si α<1 a^1−α

α−1, si α>1

Z a e

1

t^α dt = ^a

1−α−e^1−α

1−α −−→

e→0





 a^1−α

1−α, siα<1

∞, siα>1 2- Cas où α=1.

Z _x

e

1

t^α dt =lnx−lne−−−−−−−−→

x→_∞ou sie→0 ∞

Analyse 2 Exemples Fondamentaux 14 / 33

Proposition

Soit f :]a,b[→_R une fonction intégrable sur tout intervalle [c,d]⊂]a,b[. Si f admet un prolongement par continuité en a (resp. en b) alors pour tout a⁰ ∈]a,b[, l’intégrale généralisée

Z _a⁰

a

f(t) _dt (resp.

Z _b

a⁰

f(t) dt) est covergente.

Exemple

L’intégrale généralisée Z 1

0

e^x−1

x dxest convergente.

Analyse 2 Exemples Fondamentaux 15 / 33

Critères de convergence

Proposition

Soit f :]a,b[→_R une fonction positive et intégrable sur tout intervalle [c,d]⊂ [a,b[et soita₀ ∈]a,b[.

1- L’intégrale généralisée Z _b

a0

f(t) dt est convergente si, et seulement si, la fonctionx 7→

Z _x

a0

f(t)dt est majorée sur[a,b[. 2- L’intégrale généralisée

Z _a0

a

f(t)dt est convergente si, et seulement si, la fonctionx 7→

Z _a0

x

f(t)_dt est majorée sur[a,b[.

Analyse 2 Critères de convergence 16 / 33

Démonstration.

Si (x_n)_n est une suite croissante versb, alors la suite Z _xn

a0

f(t)dt est crois- sante et majorée et donc convergente. Donc

Z _b

a0

f(t)dt =lim

n

Z _xn

a0

f(t)dt est convergente.

Analyse 2 Critères de convergence 17 / 33

Théorème

Soient f,g :]a,b[→_R deux fonctions positives et intégrables sur tout inter- valle[c,d]⊂]a,b[et telles que pour toutx∈]a,b[,f(x)≤g(x). Pour tout a0 ∈]a,b[,

1- Si Z _b

a0

g(t) _dt converge alors Z _b

a0

f(t) _dt converge et on a Z _b

a0

f(t)dt ≤

Z _b

a0

g(t) dt.

2- Si Z _b

a0

f(t)_dt diverge alors Z _b

a0

g(t)_dt diverge.

3- Si Z _a0

a

g(t) dt converge alors Z _a0

a

f(t) dt converge et on a Z a0

a

f(t)dt ≤

Z a0

a

g(t)dt.

4- Si Z a0

a

f(t)dt diverge alors Z a0

a

g(t) dt diverge.

Analyse 2 Critères de convergence 18 / 33

Théorème

Soit f :]a,b[→_R une fonction intégrable sur tout intervalle [c,d] ⊂ [a,b[ et soita0 ∈]a,b[.

1- Si Z _b

a0

|f(t)| dt converge alors Z _b

a0

f(t) dt converge et on a

Z _b

a0

f(t) _dt≤

Z _b

a0

|f(t)|dt.

2- Si Z _b

a0

|f(t)| dt converge alors Z _b

a0

f(t) dt converge et on a

Z _a0

a

f(t)dt ≤

Z _a0

a

|f(t)| dt.

Définition

Lorsque l’intégrale généralisée Z _b

a

|f(t)| dt converge, on dit que l’intégrale généralisée

Z _b

a

f(t)dt est absolument convergente.

Analyse 2 Critères de convergence 19 / 33

Exemple

1- L’intégrale généralisée Z _∞

1 e^−x2 dxest convergente.

2- L’intégrale généralisée Z _∞

0

1−cosx

x² dxest convergente.

3- L’intégrale généralisée Z _∞

0

sinx

x dx est convergente.

En effet, Z _b

a

sinx

x dx =^h1−cosx x

ib a

+

Z _b

a

1−cosx x² dx.

4- L’intégrale généralisée Z 1

0

lnx

x^α dxest convergente siα<1.

5- L’intégrale généralisée Z _∞

1

lnx

x^α dxest convergente siα>1.

Analyse 2 Critères de convergence 20 / 33

Proposition

Soit f : [a,∞[→ _R une fonction positives et continue telle que

xlim→_∞f(x)existe. Si l’intégrale généralisée Z _∞

a

f(t)dt est convergente, alors

xlim→_∞f(x) =0.

Démonstration.

Supposons que Z _∞

a

f(t)dt est converge et que lim

x→_∞f(x)6=0. Il existerait donc un réel e > 0 et un réel A > a tels que ∀x ∈ [A,∞[, f(x) > e.

Alors, pour tout x ∈ [A,∞[, Z x

A

f(t) dt ≥ (x−A)e −−−→

x→_∞ ∞.Ce qui est absurde.

Exemple

L’intégrale généralisée Z _∞

a

ln(1+t)dt n’est pas convergente.

Analyse 2 Critères de convergence 21 / 33

Proposition

Soitf :[a,∞[→_Rune fonction positive et intégrable sur [a,d],∀d ∈_R, et soit(x_n)_n ⊂[a,∞[une suite croissante et telle que lim

n→_∞ x_n=_∞. Pour tout n ∈_N, on note un =

Z _xn+1

xn

f(t) dt et Sn=

∑

uk. Alors on a Z _∞

a

f(t)_dt converge ⇐⇒ la suite(Sn)_n converge.

De plus, on a lim

x→_∞ Z _x

a

f(t)_dt = lim

n→_∞Sn.

Analyse 2 Critères de convergence 22 / 33

Démonstration.

Il est clair que S_n ≤

Z _xn+1

x1

f(t) dt ≤

Z _∞

x1

f(t) dt, d’où Z _∞

x1

f(t) dt converge =⇒la suite (Sn)_n converge.

D’autre part, pour tout x ≥ a, il existe n ∈ _N tel que x ≤ x_n. D’où Z _x

a

f(t)dt ≤

Z _x1

a

f(t)dt+Sn et donc (Sn)_n converge =⇒

Z _∞

a

f(t)_dt converge.

Analyse 2 Critères de convergence 23 / 33

Corollaire

Soit f : R⁺ −→ _R⁺ une fonction décroissante et soit a un réel positif.

L’intégrale généralisée Z _∞

a

f(t)_dt converge si, et seulement si, la suite de terme général Sn=

∑

f(k)converge.

Démonstration.

Il suffit de remarquer que, ∀k ∈ [n,n+1]on af(n+1)≤f(k)≤f(n)et donc

∑

f(k)≤

∑

Z _k

k−1

f(t)_dt ≤

∑

f(k−1) et d’appliquer la proposition précédente.

Analyse 2 Critères de convergence 24 / 33

Définition

Soient f etg deux fonctions telles que f(x)etg(x)sont non nuls quand x tens versx0.

On dit que f est équivalente à g quand x tend versx0 si lim

x→x0

f(x) g(x) =1.

On note alors f(x)∼x0 g(x). Remarque

Dans cette définitionx0 peut désigner un nombre réel ou l’une des en- tités−_∞ou∞.

Exemple

1- ln(x)∼1 x−1. 2-1−cosx∼0x²/2.

3- f(x) =xⁿ+an−1xⁿ⁻¹+. . .+a0, on a alorsf ∼∞ xⁿ

Analyse 2 Fonctions équivalentes 25 / 33

Proposition

Si f₁(x)∼x0 f₂(x)et g₁(x)∼x0 g₂(x)alors 1- f₁(x)g₁(x)∼x0 f₂(x)g₂(x) et

2- f₁(x) g1(x) ∼x0

f₂(x) g2(x)^.

Démonstration.

La démonstration découle des propriétés des opérations sur les limites.

Analyse 2 Fonctions équivalentes 26 / 33

Proposition

Soient f,g :]a,b[−→ _R deux fonctions positives et intégrables sur tout ]c,d[⊂]a,b[et soita⁰ ∈]a,b[un réel donné.

1- Si f(x) ∼a g(x), alors les intégrales généralisées Z _a⁰

a

f(t) dt et Z _a⁰

a

g(t)dt convergent toutes les deux ou divergent toutes les deux.

2- Si f(x) ∼b g(x), alors les intégrales généralisées Z _b

a⁰

f(t) dt et Z _b

a⁰

g(t)_dt convergent toutes les deux ou divergent toutes les deux.

Analyse 2 Fonctions équivalentes 27 / 33

Démonstration.

Nous démontrons la première assertion. La démonstration de la deuxième s’obtient par les mêmes arguments.

On a lim

x→a

f(x)

g(x) =1, donc ∃η∈]a,b[:x ∈]a,η[=⇒ ¹

2 ≤ ^f(x) g(x) ≤ ³

2. Ainsi, ∃η∈]a,b[tel que x∈]a,η[=⇒ ¹

2 g(x)≤f(x)≤ ³ 2 g(x).

La conclusion découle des résultats sur les comparaisons des intégrales gé- néralisées.

Analyse 2 Fonctions équivalentes 28 / 33

Exercices

Étudier la convergence des intégrales généralisées suivantes :

1- Z ₁

0

1 lnt dt.

3- Z ₁

0

ln(1+t^α)

1−cost dt,α>0.

5- Z _∞

0

sin¹_t

√t dt.

2- Z _∞

1

√t

1+t^α dt,α>0.

4- Z _∞

2

1 (lnt)^{2 dt.}

6- Z _∞

0

√ 1

e^t−1 dt.

Analyse 2 Fonctions équivalentes 29 / 33

Règle de Riemann pour la convergence des intégrales au voisinage de 0 et de + _∞ .

- lim

∞ t^αf(t) =l ∈_Ret α>1, alors Z _∞

f(t)dt converge.

- lim

0 t^αf(t) =l ∈_Ret α<1, alors Z

0

f(t)dt converge.

- lim

∞ t^αf(t) =l ∈]0,+_∞]et α≤1, alors Z _∞

f(t)dt diverge.

- lim

0 t^αf(t) =l ∈]0,+_∞]et α≥1, alors Z

0

f(t)dt diverge.

Analyse 2 Exercices de Révision 30 / 33

Critère de comparaison suite-intégrale.

Rappels

Soit f :[p,∞[→_Rlocalement intégrable, décroissante et lim

x→_∞f(x) =0.

Notons S_n=f(p) +...+f(n)et F(x) =Rx

p f(t)dt. On a alors 1- (S_n)converge ssi

Z _∞

p

f(t)dt converge et 2- ∀n≥p, S_n−f(p)≤F(n)≤S_n−1.

Applications

a- Pour α>0, etudier la convergence de la suite S_n(α):=

∑

1 k^α b- (Facultatif ) Donner un équivalent simple de la suite (Sn(α)), pour

chaque α∈]0,1].

Analyse 2 Exercices de Révision 31 / 33

Calcul de Z

0

e

dt

Soit n∈_N^∗

i) Montrer que ∀t∈ [0,√

n], 1− ^t

2

n n

≤e^−t2 ≤ 1+^t

2

n −n

ind.Utiliser la concavité de ln ou le changement de variables u =t/√

n ii) En déduire que

Z _n

0

1−^t

2

n n

dt ≤

Z _n

0

e^−t2dt ≤

Z _∞

0

1+ ^t

2

n −n

dt

Analyse 2 Exercices de Révision 32 / 33

c- En déduire que

√n Z _π/2

0

(sin(θ))²ⁿ⁺¹dθ ≤

Z _n

0

e^−t2dt ≤√ n

Z _π/2

0

(sin(θ))²ⁿ⁻²dθ Ind. Faire les changements de variablest =√

ncos(θ) et t =√

ncot(s) d- En déduire que

Z _∞

0 e^−t2dt =√ π/2.

Ind. La première et la dernière intégrales s inégalités précédentes sont équivalentes à √

π/2 (voir intégrales de Wallis, la Série 3.)

Analyse 2 Exercices de Révision 33 / 33