Analyse II, partie 1 Année académique 2019-2020 2e Bloc Physique
2. Intégrales eulériennes
— Exercices de base — Exercice 1.Calculer si possible les limites
m→+∞lim (m!)m1
m et lim
m→+∞
ln(m!)
m −ln(m)
.
Exercice 2.ExprimerΓ(5/6)en fonction deΓ(1/6).
Exercice 3.Etablir que pour tous m >0, n >−1, a >0,on a Z +∞
0
e−axmxndx= 1 mΓ
n+ 1 m
a−n+1m .
Exercice 4.Pour tout x >1, on pose
ζ(x) =
+∞
X
m=1
1 mx. Montrer que, pour tout x >1, on a
ζ(x)Γ(x) = Z +∞
0
tx−1 et−1dt.
Exercice 5.Montrer que la mesure d’une boule deRn de rayonr >0est donnée par la formule ωn(r) = πn/2rn
Γ(n/2 + 1). En déduire que ωn(r)→0 sin→+∞.
— Autres exercices —
Exercice 6.Prouver que la série
∞
X
k=0
(k!)22k (2k+ 1)!
converge absolument et montrer que sa limite est égale à π/2.
Exercice 7 (Définition de Gauss de Γ). Démontrer que pour toutx >0, on a Γ(x) = lim
m→+∞
mxm!
x(x+ 1). . .(x+m).
Exercice 8.Prouver que
Z 1 0
ln(Γ(x)) sin(πx)dx= 1 + ln(π/2)
π .
F. Bastin & C. Dubussy – 26 août 2019
