2. Intégrales eulériennes

Analyse II, partie 1 Année académique 2018-2019 2^eBloc Maths-Physique

2. Intégrales eulériennes

Exercice 1.Calculer si possible les limites

m→+∞lim (m!)^m1

m et lim

m→+∞

ln(m!)

m −ln(m)

.

Exercice 2.ExprimerΓ(5/6)en fonction deΓ(1/6).

Exercice 3.Etablir que pour tous m >0, n >−1, a >0,on a

Z +∞

0

e^−axmxⁿdx= 1 mΓ

n+ 1 m

a^−n+1m .

Exercice 4.Pour tout x >1, on pose

ζ(x) =

+∞

X

m=1

1 m^x. Montrer que, pour tout x >1, on a

ζ(x)Γ(x) = Z +∞

0

t^x−1 e^t−1dt.

Exercice 5.Montrer que la mesure d’une boule deRⁿ de rayonr >0est donnée par la formule

ωn(r) = π^n/2rⁿ Γ(n/2 + 1). En déduire que ω_n(r)→0 sin→+∞.

Exercice 6.Montrer que

Z ^π₂

0

tan^α(x)dx= π 2 cos ^πα₂ pour tous les réels αpour lesquels l’intégrale a du sens.

Exercice 7.Prouver que la série

∞

X

k=0

k!k!2^k (2k+ 1)!

converge absolument et montrer que sa limite est égale à π/2.

— Exercices destinés aux mathématiciens —

Exercice 8 (Définition de Gauss de Γ). Démontrer que pour toutx >0, on a Γ(x) = lim

m→+∞

m^xm!

x(x+ 1). . .(x+m). Exercice 9.Prouver que

Z 1 0

ln(Γ(x)) sin(πx)dx= 1 + ln(π/2)

π .

F. Bastin & C. Dubussy – 11 septembre 2018

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