Fiabilité
Table des matières
I Premières notions de fiabilité 2
I.1 Fonction de défaillance, fonction de fiabilité . . . 2
I.2 Estimation . . . 3
I.3 Taux d’avarie instantané . . . 4
I.4 MTBF . . . 5
I.5 Fiabilité d’un système . . . 5
II Loi exponentielle 6 II.1 Fonction de fiabilité et de défaillance . . . 6
II.2 MTBF, Écart-type . . . 6
I Premières notions de fiabilité
la fiabilité est la caractéristique d’un dispositif exprimée par la probabilité par la probabilité que ce dispositif accomplisse une fonction requise dans des conditions d’utilisation et pour une période de temps déterminées (AFNOR).
Dans tout ce chapitre, on désigne parT la variable aléatoire qui, à tout dispositif choisi au hasard, associe son temps de bon fonctionnement ou sa durée de vie avant une défaillance.
Pour simplifier, on choisit t = 0 comme origine des temps lorsque le dispositif est mis en marche pour la première fois.
La variable T est donc une variable aléatoire continue à valeurs dans [ 0 ; +∞ [. On note f la densité de probabilité de la variableT.
I.1 Fonction de défaillance, fonction de fiabilité
Définition 1
On appelle fonction de défaillance la fonction F définie pour tout t≥0 par F(t) =P(T ≤t)
0 t x
y
F(t) y =f(x)
Le nombre F(t) représente la probabilité qu’un dispositif choisi au hasard dans la po- pulation ait une défaillance avant l’instant t.
On a également F′(t) =f(t).
On a alors :P(T ≤t) =P(T > t) = 1−P(T ≤t) = 1−F(t).
D’où la définition suivante :
Définition 2
On appelle fonction de fiabilité R définie pour tout t≥0 par R(t) = 1−F(t)
y 1
y=F(t)
y=R(t)
Le nombre R(t) représente la probabilité qu’un dispositif choisi au hasard dans la po- pulation n’ait pas de défaillance avant l’ins- tant t.
I.2 Estimation
Dans la pratique, on ne connait pas (en général) les fonctionsF etR. Dans ce cas, on peut, à partir d’études statistiques, obtenir des estimations deF(t) et R(t) pour des valeurs de tdonnées.
Exemple 1
On a mesuré pour20micro-ondes du même type le temps en heures écoulé avant la première panne. On obtient :
Tempst [0; 500] ]500; 1000] ]1000; 1500] ]1500; 2000] ]2000; 2500] ]2500; 3000] ]3000; 4000]
Nombre d’appareils 7 4 3 2 2 1 1
On souhaite estimer les valeurs de la fonctionF(t)suivant les valeurs det.
On noteni le nombre de dispositifs défaillants à l’instantti etnl’effectif total de l’échantillon.
on peut utiliser 3 méthodes :
• Méthode des rangs bruts :
On calcule les valeurs de F grâce à la formule F(ti) = ni
n
• Méthode des rangs moyens :
Avec la méthode précédente, la probabilité qu’un dispositif n’ait pas eu de défaillance à l’instantt= 4000 est estimée à 0, ce qui dans la réalité n’est pas forcément vrai. Pour remédier à cette erreur, lorsque l’échantillon n’est pas très grand, on prend F(ti) = ni
n+ 1
• Méthode des rangs médians :
Enfin, quand l’échantillon est petit, on a prend F(ti) =ni−0,3 n+ 0,4 Pour notre exemple 1, on obtient le tableau suivant :
Instantti 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000
Rangs bruts F(ti) 0,35 0,55 0,70 0,80 0,90 0,95 1
R(ti) 0,65 0,45 0,30 0,20 0,10 0,05 0
Rangs moyens F(ti) 0,33 0,52 0,67 0,76 0,86 0,90 0,95
R(ti) 0,67 0,48 0,33 0,24 0,14 0,10 0,05
Rangs médians F(ti) 0,33 0,52 0,67 0,77 0,87 0,92 0,97
R(ti) 0,67 0,48 0,33 0,23 0,13 0,08 0,03
I.3 Taux d’avarie instantané
Sur la courbe représentative de la fonction de défaillanceF, on s’intéresse à la pente de la tangente pour un instanttdonné. (Cette pente est égale à F′(t).) :
Définition 3
On appelle taux d’avarie instantané à l’instant tle nombreλ(t) défini pour toutt≥0 par λ(t) = f(t)
R(t)
Remarque 1
• CommeR(t) = 1−F(t), on montre facilement que l’on a également : λ(t) =−R′(t)
R(t) et λ(t) = f(t) 1−F(t)
Les relations précédentes permettent donc de trouver λ(t) si l’on connaîtF(t) ou R(t).
• Inversement, si l’on connaîtλ(t), on peut obtenirR(t) etF(t) comme solutions des équations différentielles du premier ordre : R′(t) +λ(t)R(t) = 0 etF′(t) +λ(t)F(t) =λ(t).
On a alors :R(t) =e− Rt
0
λ(x)dx
etF(t) = 1−e− Rt
0
λ(x)dx
• On constate expérimentalement que, pour la plupart des matériels, la courbe représentative du taux d’ava- rie instantanét7→λ(t) a la forme donnée par la figure ci-dessous. Elle est appelée « courbe en baignoire » et comporte trois parties distinctes :
0
pannes
précoces vie utile usure
À gauche, la période de début de fonctionnement, où le taux d’avarie instantané décroît avec le temps, car les pannes précoces dues à des défauts de fabrication ou de conception sont de moins
Au centre, la période de maturité, ou « vie utile », où le taux d’ava- rie instantané reste à peu près constant ; pendant cette période, les pannes paraissent dues au ha-
A droite, la période d’usure, où le taux d’avarie instantané aug- mente avec le temps, car les pannes sont dues à l’usure crois- sante du matériel.
I.4 MTBF
Définition 4
On appelle « Moyenne des Temps de Bon Fonctionnement » (MTBF) l’espérance mathématique de la variable aléatoire T. On a donc
M T BF =E(T) =Z +
∞
0
tf(t) dt
A l’origine, le sigle M T BF provient de l’expression « Mean Time Between Failures »qui signifie « temps moyen entre deux défaillances ».
I.5 Fiabilité d’un système
Fiabilité d’un système monté en série :
Pour un système constitués de n composants montés en série (le bon fonctionnement de chacun étant indépendant du bon fonctionnement des autres), on montre que l’on a
R(T) =R1(t)×R2(t)× · · · ×Rn(t)
où R1, R2, . . ., Rn sont les fonctions de fiabilités respectives des n composants. (En effet, le système est défaillant dès qu’un seul composant est défaillant.)
Fiabilité d’un système monté en parallèle :
Pour un système constitués den composants montés en parallèles (le bon fonctionnement de chacun étant indépendant du bon fonctionnement des autres), on montre que l’on a
F(T) =F1(t)×F2(t)× · · · ×Fn(t)
où F1, F2, . . ., Fn sont les fonctions de défaillances respectives des n composants. (En effet, le système est fonctionnel dès qu’un seul composant est fonctionnel.)
II Loi exponentielle
II.1 Fonction de fiabilité et de défaillance
Définition 5
La loi exponentielle est la loi suivie par la variable aléatoire T lorsque le taux d’avarie est constant.
Autrement dit, pour tout t≥0, on a
λ(t) =λ où λest une constante réelle strictement positive.
Cette loi concerne tous les matériels pendant une durée de leur vie (vie utile) et les matériels électroniques pendant presque toute leur vie.
Propriété 1
♦ La fonction de fiabilité est définie pour toutt≥0 parR(t) =e−λt.
♦ La fonction de défaillance est définie pour toutt≥0 par F(t) = 1−e−λt.
♦ La densité de probabilité de la variable aléatoireT est définie pour toutt≥0 par f(t) =λe−λt.
0 λ
t0 t
y
F(t0)
R(t0)
y=f(t)
Si la variable aléatoire T suit une loi exponentielle de paramètre λ, alors on aura lnR(t) = −λt, et la représentation graphique de la courbey=R(t) sur un papier semi-logarithmique sera une droite.
II.2 MTBF, Écart-type
On admettra que, pour la loi exponentielle de paramètreλ, on a M T BF =E(T) = 1
λ
On admet également que l’écart-type de la variable aléatoireT est σ(T) = 1
λ =M T BF
