CHAPITRE #2 LA FACTORISATION
1. La factorisation
1.1La mise en évidence simple
Factoriser un polynôme signifie écrire ce polynôme sous la forme d’un produit de facteurs.
La mise en évidence simple est une méthode qui permet de factoriser un polynôme composé de monômes qui contiennent tous un même facteur commun. Pour factoriser, il suffit alors d’appliquer la règle de la distributivité de la multiplication sur l’addition:
Développer
ab + ac = a (b + c)
FactoriserFaire les exemples suivants:
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
+ − = + −
− = −
+ = +
− + = − +
+ + = + +
− + + − + − + =
− + + − + − + =
4 3 2 2 2
2 2
3 2 2 3 2 2 2 2 2 2
2
) 6 15 18 3 2 5 6
) 5 10 5 2
) 12 18 6 2 3
) 21 14 28 7 3 2 4
) x x+2 5 2 2 5
) 2 3 1 2 3 2 3 3
2x-3 2 3 1 2 3 2 3 3
a x x x x x x
b x x
c a b ab ab a b
d x y z x y z x y z x y z z y z
e x x x
f x x x x x
x x x x x
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
− + + + + =
+
2x-3 2x 3 x 1 x 3
g x x x x
x x
h x x x
x x x
x x
x x
x
i x x x
)
)
) x x x -1 x x -1
x +1 x +1 x + 3 x + 3 x + 3 3x - 4
− − − = + − + = + − =
− +
+ − − + = + − − + =
+ − − = + − + =
− +
+ + − 1 3 1
3 1
3 1
1 3
2 6 2 3 9
2 3 2 3 3
2 1 3 2
2 2 3 6
8
1 6
28
b g b g b g b g b g b g b gb g
b gb g b gb g b g b g b g b g b g b g b g b g b gb g
b gb g + − − =
+ + − + − − = + + + − =
− =
−
3 4 3
1 2 3 4 3 4 3
1 2 3
4 2
2 4 2
x x
x x x x x
x x x
x x
b gb g b gb g b g b gb g b g b g b g
b gb g b gb g
3x - 4 3x - 4 3x - 4 3x - 4
Exercices: page 174 #4,5, 7 à 11
feuille: Factorisation mise en évidence simple
1.2. La mise en évidence double
La mise en évidence double est une méthode qui permet de factoriser des polynômes en regroupant les monômes qui contiennent un facteur commun.
Il suffit alors d’appliquer la mise en évidence simple dans chacun des regroupements:
ac + ad + bc + bd = (ac + ad) + (bc + bd) = a(c + d) + b(c + d) = (c + d)(a + b)
Faire les exemples suivants:
a x xy xy y x x y y x y
x y x y
b a a ab b a a b a
a a b
c ax ay bx by x y a x y b x y x y
x y
) ( ) ( )
( )
)
)
=
=
9 12 6 8 3 3 4 2 3 4
3 4 3 2
6 15 2 5 3 2 5 2 5
2 5 3
6 3 10 5 4 2 3 2 5 2 2 2
2 3
2 2 3 2 2
2 2
− + − = − + −
− +
− + − = − + −
− +
− + − − + = − + − − −
= − a + 5 b − 2
Exercices: page 178 # 1 à 4
feuille: Factorisation mise en évidence répétée
1.3. Différence de deux carrés
Une différence de deux carrés est une expression algébrique de la forme
a² - b²
Toute différence de deux carrés est factorisable. Il suffit d’appliquer l’identité remarquable:
a² - b² = (a + b)(a - b)
Faire les exemples suivants:
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( )( )
( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( )( )
− = − = + −
− = − = + −
+ − = + + + − = + − = + −
+ − + = + + + + − + = + +
− = − +
2 2
2 2
2 2 2
2
2 2
2 4 6 2 3 2 3
9 4 3 2 3 2 3 2
36 5 6 5 6 5 6 5
2 1 25 2 1 5 2 1 5 2 6 2 4 4( 3)( 2)
3 5 2 1 3 5 2 1 3 5 2 1 5 6 4
25 4 5 2 5 2
16 9 4 3 4 3
x y x y x y x y
x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x x
x y z xy z xy z
Exercices: page 182 #3 à 15
page 185 Maîtrise 8 à 10, 12 à 15, 17, 18, 26 page 189 Capsule
Feuille: Factorisation différence de 2 carrés
La recherche de deux nombres satisfaisant à la fois une somme et un produit donnés remonte probablement aussi loin que le IIIè m e siècle A.V.J.C. On retrouve la résolution de ce problème dans les écrits d’Euclide et de Diophante.
1.4. Factorisation d’un trinôme par la méthode de la somme et du produit
Avant de factoriser un trinôme de la forme ax²+bx+c on calcule son discriminant )=b²- 4ac
Si ∆〈0, le trinôme ne peut pas se factoriser
Si ∆ ≥0, on peut le factoriser en utilisant la règle suivante:
- faire une simple mise en évidence (sur tous les termes) si c’est possible.
- on cherche deux nombres entiers m et n tel que
mn = ac et m+n = b
- on remplace ax²+bx+c par ax²+mx+nx+c
- on factorise ax²+mx+nx+c par mise en évidence double.
Exemples:
#1 x²+4x+9 pas factorisable car )= -20
#2 x²+2x-8 )=36 mn = -8 m+n = 2 m=4 n= -2
x²+4x-2x-8 = x(x+4) -2(x+4) = (x+4)(x-2)
#3 9x²+16x-4 (x+2)(9x-2)
#4 x²+4xy-12y² Ce trinôme présente deux variable mais la procédure est la même
mn = -12 et m+n = 4 m=6 n= -2
x² + 6xy -2xy -12y² = x(x+6y) -2y(x+6y)=(x+6y)(x-2y)
#5 2x²+24xy+22y² = 2(x²+12xy+11y²) = 2(x²+1xy+11xy+11y²) = 2(x(x+y)+11y(x+y)) = 2(x+y)(x+11y)
1.5 Trinôme carré parfait
Un trinôme de la forme ax²+bx+c est un carré parfait s’il possède les caractéristiques suivantes:
- a et c sont des carrés
- b est le double produit des bases de ces carrés Pour factoriser un trinôme carré parfait:
- On vérifie si le trinôme possède les caractéristique d’un carré parfait
- On détermine si les facteurs sont des sommes ou des différences selon le signe du terme médian
- On détermine les bases des carrés - On écrit directement le carré du binôme Exemple #1: x²+4x+4
- x et 2 sont les bases des carrés
- Le signe du terme médian est positif, les facteurs sont des sommes x²+4x+4 = (x+2)²
Exemple #2: 9x²-24xy+16y²
- 3x et 4y sont les bases des carés
- Le signe du terme médian est négatif, les facteurs sont des différences 9x²-24xy+16y² = (3x-4y)²
Exemple #3: 4x²+36x+81 Exemple #4: 49x²-14x+1
Exercices: Feuille: Factorisation trinômes carrés parfaits page 196 #3,6,7 et 8
1.6 Complétion du trinôme carré parfait
Certains trinômes sont très facilement décomposables, d’autres le sont difficilement et d’autres ne le sont pas du tout.
Pour venir à bout de trinômes récalcitrants, les anciens utilisaient une technique, encore utile aujourd’hui, appelée “la complétion de carré”. (on connaissait la méthode -1700 AVJC)
Exemple le trinôme 18x2 −24x+1 est factorisable car ∆ =504cependant on ne peut trouver deux nombre dont S=-24 et P=18. Il faut dons utiliser la méthode de la complétion de carré.
Pour factoriser un trinôme de la forme ax²+bx+c par la technique de la complétion de carré:
- On place a, le coefficient de x², en évidence.
- On ajoute et on retranche la quantité nécessaire pour obtenir un trinôme carré parfait. Cette quantité est
2
4 b
- On l’écrit sous la forme d’une différence de carrés.
- On factorise.
Exemple #1:
( )
+ −
+ + − −
+ + − − + + − −
+ + −
+ −
+ + + −
+ −
2
2
2 2 2
2 2
2 195 4 4
2 195
4 4 2 1 1 195
( 2 1) 1 195
( 2 1) 196
1 14
( 1 14)( 1 14) ( 15)( 13)
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x x
Des tablettes d’argile remontant aussi loin qu’au roi babylonien Hammurabi (vers -1700) laissent croire que déjà, à cette époque, on connaissait la méthode de
“complétion de carré”.
Exemple #2:
( )
( )
( )( )
( )( )
− +
− +
− + − +
− + − +
− + −
− −
− + − −
− −
2 2
2
2 2
2 2
2 24 54
2( 12 27)
144 144
2( 12 27)
4 4
2( 12 36 36 27)
2 12 36 9
2 6 3
2 6 3 6 3
2 3 9
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x x
Exemple #3:
( )
( )( )
− +
− +
− + − +
− −
− −
− + − −
− −
− −
2
2
2
2
2 2
3 8 5
8 5
3 3 3
8 16 16 5
3 3 9 9 3
4 1
3 3 9
4 1
3 3 3
4 1 4 1
3 3 3 3 3
3 1 5
3
1 3 5
x x
x x
x x
x
x
x x
x x
x x
Exercices: page 202 # 7,8,9,11,12,13,23 page 207 capsule
Feuille Factorisation: Trinômes carrés parfaits
Exemple #4:
Factorisation du trinôme
ax
2+ bx + c
par la méthode de complétion de carré+ +
⇔ + +
⇔ + + − +
−
⇔ + −
− −
⇔ + + + −
− −
⇔ + + + −
⇔ +
2
2
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
4 4
4
2 4
4 4
2 4 2 4
4 4
2 2 2 2
ax bx c
b c
a x x
a a
b b b c
a x x
a a a a
b b ac
a x
a a
b b ac b b ac
a x x
a a a a
b b ac b b ac
a x x
a a a a
ax + − + − −
2 2
4 4
2 2
b b ac b b ac
a x a
Programme pour la calculatrice graphique
