THEORIE DES NOMBRES BESANCON
Années 1986/87-1987/88 Fascicule 1
GENERATION DE BASES D'ENTIERS A PARTIR DE LA COURBE y2 = 4x3+l
Vincent FLECKINGER
Génération de b a s e s d ' e n t i e r s à partir de la courbe 2 , 3
y = 4 x + 1
par Vincent FLECKINGER
2 î TT 3 S o i t k = O [j ] , où j d é s i g n e la r a c i n e cubique de l'unité e . L'anneau des e n t i e r s de k , 2 [j ] , est un r é s e a u de C . On notera p la fonction de W e i e r s t r a s s a s s o c i é e , et E la c o u r b e elliptique C/7L [j ] ,
2 3
En utilisant le modèle y = 4 x + 1 de c e t t e courbe , on montre le t h é o - rème suivant :
T h é o r è m e principal :
Soit 21 un idéal propre de 21 [j ] , premier a v e c 1 - j . Si p d é s i g n e un point de E , primitif de ÎI - d i v i s i o n , et F( p ) = x 1 (g) , a l o r s on a l ' é g a l i t é s u i v a n t e :
\ | , | - 2 D 1 [ F i i 8 ' t 4 1
k ( !" 3(1 - j )
où A ^ f j j ) d é s i g n e l'anneau d e s e n t i e r s du c o r p s de c l a s s e s de rayon 2J sur k .
C e s r é s u l t a t s sont dans la lignée de c e u x obtenus par P h . Cassou- Noguès et M. T a y l o r [ C . - N , T ] , J. Cougnard [ C o u 2 ] , et l'auteur [ F I ] . Dans une p r e m i è r e partie , on établit les formules de r é c u r r e n c e s p e r - mettant d'obtenir les a b s c i s s e s des points de division de E , pour le modèle c o n s i d é r é , en vue de la programmation sur micro-ordinateur . Dans la deuxième partie on étudie les p r o p r i é t é s a l g é b r i q u e s des v a l e u r s des c o o r d o n n é e s x et y aux points de division d ' o r d r e premier à 3 .
Enfin on démontre le théorème principal dans la t r o i s i è m e partie , et on donne quelques exemples numériques .
I . - L e s points de division du modèle y = 4 x + 1 . 2 3
S o î t f un point primitif de (1 - j ) - d i v ï s i o n de E ,
f Ç { 2 * J , - } . On d é s i g n e par P1 (f ) u n e r a c i n e cubique de p1 (f) f i x é e une f o i s pour toute .
On p o s e :
x ( z ) = P ( z ) - P ( f ) . P(z) e t y ( z ) = £ i M #
P ' ( f )2 / 3 P ' ( f )2 / 3 P ' ( f ) A l o r s les fonctions e l l i p t i q u e s x et y sont l i é e s par l'équation :
y2 ( z ) = 4 X 3 ( Z ) + 1 . ( 1 )
Le d i v i s e u r de x étant (f) + ( - f ) - 2 (0) , on v é r i f i e aisément que :
x ( z ) x ( z + f ) x ( z - f ) = - 1 (2) .2
de même le diviseur de y étant ( —) + + ) - 3 (0) , on obtient :
i 2
y ( z ) y ( z + ^ ) y ( z y ( z + £ - ) = - 2 7 (3)
. 2
2 ' 2 e t 2~ R EPré s e n t a n t 'e s points non nuls de 2 - d i v i s i o n de E . S o i t maintenant un idéal entier 3 de Z [j ] , il e x i s t e un entier algébrique v engendrant 3 • Pour obtenir les points de v - d i v i s i o n , on u t i l i s e la fonction x ( v z ) .
P r o p o s i t i o n 1 :
Soit v un élément de ~Z. [j ] premier a v e c 1 - j . A l o r s on a l'égalité :
x ( v z ) = C n x (z + p ) (4)
v v p = o
3 . , N ( v ) - 1 . k. / v
= ( - U et N ( v ) = v v . ou c
V
Pour la démonstration on r e n v o i e le lecteur à [Fl ] . P o s o n s a l o r s :
Z (X) = v II' ( X - x ( p ) ) si ( v , 2 ) = 1
V V p = 0
M 0
z ( x ) = ~ n1 ( x - x ( p ) ) si 2 I v
V 2 V P = 0 '
2p ^ 0
le produit étant indexé par un s y s t è m e de r e p r é s e n t a n t s des c l a s s e s non nulles des points de v - d i v i s i o n modulo - 1 .
P r o p o s i t i o n 2 :
S o i t v un élément de [j ] premier a v e c (l - j ) .
Z (0) = c X(v) (5)
V V
où X d é s i g n e le c a r a c t è r e non trivial modulo 1 - j . Démonstration :
De l'égalité (4) on déduit :
n x ( z + p ) (6) x (z ) V V p = 0
(37*0
La r è g l e de I' Hôpital permet d ' é c r i r e :
M m x ( ^ = v x ! ( v f ! z —» f x (z ) x 1 (f )
Or vf = X ( v ) f dans E , d'où X' ( v f ) = x( v ) . x'(f )
On obtient donc :
- A -
v x ( v ) = c n x ( f + p) .
V y p = 0
L'uti lisation de (2) permet d ' é c r i r e :
N ( Y ) - 1
si (y , 2 ) = 1 n x ( f + p ) = - ^ - i = — y p = 0 n x ( p ) Z (0)
p y p = 0 v
P ^ 0
N ( Y ) - 4
si 2 | y n x ( f + p ) = - ^ - i ^ y p = 0 n x ( p ) 2 Z (o)
2 p ^ 0 y P = 0 v
2p ^ 0
. 2
Il r e s t e à c a l c u l e r le produit x (-r + f ) x ( £ + f ) f ) . Pour c e l a on c o n s t a t e que les s o l u t i o n s dans E de :
(1 - j ) Z = 1
sont ^ + f et ^ - f .
Et on c a l c u l e x ((l - j ) z ) en uti lisant la formule d'addition de la fonc - tion p , s o i t :
x ( ( i - J ) z ) = - x ( z ) 3 + j (7)
3 j
x(zr
x ( 4 j ) , x + f ) et x ( ^ - f ) = x ( ^ + f ) sont les r a c i n e s du polynôme X3 + 3 j x ( | ) X + 1
d'où x ( ^ + f ) e s t la r a c i n e double de c e polynôme , s o i t : x ( £ + f ) = - 2 j x ( | ) = - 2 x ( i )
. 2 . . 2
puis + f ) = - 2 j x ( ^ ) = - 2 x ( ^ - ) et x ( - i + f ) = - 2 j x ( ^ ) = - 2 x ( ^ ) .
E n f i n , l'égalité 4 ( X - x ( j )) (X - x ( £ )) ( x - x = 4 X3 + 1 donne :
(X - f ) ) (X - x ( £ + f ) ) (X - f ) ) = X3 - 2 . 2
et + f ) + f ) x(j-+ f ) = 2
c e qui a c h è v e la démonstration de la proposition 2 .
Exprimons maintenant x ( v z ) à l'aide du polynôme Z^ . P r o p o s i t i o n 3 :
S o i t v un élément de Z [j ] , premier a v e c 1 - j . Si ( v , 2 ) = 1 a l o r s :
N ( j Z ( x ( z + f )) Z (x (z - f ) ) x ( v z ) = c x ( z r l W - U
V z (x (z))
V
Si 2 I v a l o r s
N(v ) - 3 Z y M z + f )>ZJx(z ~ - x ( z )3) x ( v z ) = c x(z)
v Z ( x ( z ) )2 ( 4 x ( z ) + 1)
V
Démonstration :
L e diviseur de x ( v z ) e s t : L (p + f ) + (p - f ) - 2 ( p ) .
V p = o
Le diviseur de x (z + f ) e s t (f ) + (0) - 2 ( - f ) et celui de x(z - f ) e s t ( - f ) + (0) - 2(f ) . D ' a p r è s (8) celui de 2 - x(z) e s t :
et celui de Z (x(z)) e s t : v
Z [ ( p ) + ( - p ) - 2 ( 0 ) ]
V P = 0
2 p / 0
On en déduit l'égalité des d i v i s e u r s des deux membres de chaque é g a l i t é c i t é e en (9) , il r e s t e donc à c a l c u l e r le c o e f f i c i e n t de proportionnalité . Pour c e l a , on c a l c u l e la limite du rapport quand z tend v e r s 0 .
Pour obtenir des r e l a t i o n s de r é c u r r e n c e s , on c a l c u l e : x ( v z ) - x ( ( l - j ) z ) .
P r o p o s i t i o n 4 :
S o i t v un élément de Z [j ] premier a v e c 1 - j . Si v = 0 mod 2 :
. Z , . .(x(z)) Z . t ,(x(z)) x ( v z ) - x ( ( l - J ) z ) - r L V~1 + J.
3 j Z ( x ( z ) )2 x ( z )2 ( 4 X3( Z ) + 1 ) V
Si v = 1 , j mod 2 :
. Z . (x(z)) Z . (x(z)) x ( v z ) - x ( ( l - j ) z ) - 4 T3 j V"! J Z ( x ( z ) )2x ( z )2
V
Si v = j mod2 2 :
x , Z 1 4. ( x ( z ) ) Z .f ,(x(z)) ( 4 x3( z ) + l ) ( v z ) - X ( 1 - j ) z ) - -Ç-R 3 j Z ( x ( z ) )2x ( z )2
V
( 1 0 )
La démonstration est de même nature que c e l l e de la proposition 3 . En utilisant (7) , (9) et (10) on obtient les formules s u i v a n t e s : Si v = 0 mod 2 :
Z (x(z)) Z . . . ( x ( z ) ) = v + 1 - J v - 1 + J
S j c ^ x f z ) ^ ^ "1 Zv( x ( z + f ) ) ZM( x ( z - f ) ) ( 2 - x3( z ) ) + ( 4 x6( z ) + 5 x3( z ) + l ) Z. (x)
V V
Si v = 1 , j mod 2 :
Z . (x(z)) Z ,(x(z)) = v + 1 - J v - 1 + J
3 j c x ( z )N ( v ) + 2 Z (x(z + f ) ) Z ( x ( z - f ) ) + ( x ( z )3+ 1 ) Z ( x ( z ) )2
V V V v
Si v = niod 2 :
Z , . (x(z)) Z . (x(z)) ( 4 x3 (z) + 1 ) = v + 1 - J v - 1 + J
3 j c x ( z )N ( v ) + 2 Z (x(z + f ) ) 2 ( x ( z - f ) ) + ( x ( z )3+ 1 ) Z (x(z))2 .
V V V V
11 nous r e s t e à exprimer x (z + f ) et x (z - f ) en fonction de x (z) et y (z) . z , z + f e t z - f sont les s o l u t i o n s de ( 1 - j ) Z = ( 1 - j ) z dans E , on en déduit que x ( z ) , x (z + f ) et x (z - f ) sont les r a c i n e s du polynôme :
X3 + 3 j x (( 1 - j ) z ) X2 + 1 = X 3 - x (*) + 1 x2 + 1 . X2 (z)
On en déduit :
x ( z + f ) + x ( z - f ) = -=ï et x ( z + f ) x ( z - f ) . x (z ) x (z )
x ( z + f ) et x(z - f ) sont donc les r a c i n e s du polynôme :
X2 J X ~ .
x (z ) x(z)
dont le discriminant est :
Vx2( z ) y
On en déduit , puisque x ( 2 f ) = 0 :
x ( z + f ) = i i _ L x M o t x ( z _ f ) =i L i _ i i M ( 1 1 )
X (z) 2 x (z)
P u i s q u e x (j z ) = j x (z) , i I e s t c l a i r que les Z (X) sont en fait
/v 3 v
d e s polynômes en X . On p o s e donc : P ( X3) = Z (X) ,
V V
c e qui p r é c è d e permet a l o r s d ' é c r i r e les f o r m u l e s de r é c u r r e n c e s liant les P .
v
Si v = 0 mod 2 :
N(y)-1
P . , .(X) P . (X) = 3 j c X 3 ( 2 - X ) Q ( X ) + ( 4 X2 + 5 X + 1 ) P ( X )2
v + 1 - J v - 1 + J V V V
Si v = 1 , j mod 2 :
N ( y ) + 2
P , , . ( X ) P . (X) = 3 j c X 3 Q (X) + ( X + 1 ) P ( X )2
V + 1 - J v - l + j V V V Si v = j mod 2 : 2
N(y ) + 2
p 4-, ; (X) P , , , ( X ) ( 4 X + 1 ) = 3 j c X 3 Q (X) + ( X + 1 ) P ( X )2
v + 1 - J v - 1 + J V V V
où Qv( X ) d é s i g n e Pv ( 3 X + 1 " ( X + 1 > 1 ) P y( 3 X + 1 + V 4 X + 1) 2 X 2 X
Notons e n s u i t e :
N( y ) - 4
T (X) = (c X ( v ) ) "1 X 6 P ( -4r) si 2 |V
V V V X I
N( v ) - 1
T (X) = (c X(v))"V V V1 X 6 P ( ~ ) s i 2 ^ X I v
L e s r e l a t i o n s de r é c u r r e n c e s deviennent : (12) Pour v = 1 , j mod 2 :
N( y ) - 1
Tv + 1 - j ( X ) Tv + j - 1 ( X ) = 3J 'C V (-X ) 6 U ,(X) + ( X + 1 ) T ( X )2
Sî v = j mod 2 2
v v
N ( Y ) - 1
T v + ! _ j ( X ) T v + j _ 1 ( X ) ( 4 + X ) = 3 j cv( - X ) 6 Uv( X ) + (X+ l ) Tv( X )2
Si y = 0 mod 2 :
N ( y ) - 4
TY + 1 _ J( X ) TV + J_ ]( X ) = - 3 j cV ( 2 X - 1 ) ( - X ) 6 UV( X ) + ( X2+ 5 X + 4 ) TV( X )2
a v e c U (X) = T ( 3 X + *2 + ( X + 1 K / * X + X2 >)T A3 X+ X2 - (X+1 h / 4 X + X'
v - 2 X J - 2 X
On obtient a l o r s la proposition suivante : P r o p o s i t i o n 5 :
S o i t v un élément de [j ] , premier a v e c (l - j ) . A l o r s T ^ ( X ) e s t un polynôme unitaire de ZI [j ] [ X ] v é r i f i a n t :
T (0) * .
V Cv X( y ) Remarque :
T (X) =
n"
(X - x- 3 (p
))v v p = 0
le produit portant sur des r e p r é s e n t a n t s des o r b i t e s des points non nuls de y - d i v i s i o n s , non annulés par 2 , s o u s l'action du groupe d'automor - phisme de E e n g e n d r é par - j .
I I . - P r o p r i é t é s arithmétiques d e s c o o r d o n n é e s x et_ y aux points de division d ' o r d r e premier à 3 .
Dans la s u i t e 21 d é s i g n e un idéal propre de Z. [ j ] , premier a v e c 1 - j , et k (Si) le c o r p s des c l a s s e s de rayon 31 sur k = Q [j ] . S o i t h ( z ) = p (z) la t r o i s i è m e fonction de Weber a s s o c i é e à 3 3
A
2 Dl •
1 3 P 9 36
Si on p o s e F ( z ) = — , a l o r s F (z) = ( 13) x(z ) h (z )
Un r é s u l t a t c l a s s i q u e de multiplication complexe ( [Sh ] , Chap.6, § 6 - 8 ) permet d'affirmer que pour tout point p primitif de î l - d i v i s i o n , c ' e s t - à - d i r e d'annulateur égal à 21 , k ( F3( p ) ) = k (2l) .
P r o p o s i t i o n 1 :
S o i t p un point primitif de 21-division . A l o r s F (p) e s t un entier algébrique . 3 ,
Cela r é s u l t e de I , proposition 5 .
La loi de r é c i p r o c i t é de Shimura permet de d é c r i r e e x p l i c i t e - ment les conjugués de F (p) : si u e s t un idèle unité de k , et si a e s t
#
un élément de Z [j ] v é r i f i a n t a = u mod 3J , a l o r s :
F3( p )( u -1, k ) = F 3 ( a p )
où ( . , k ) d é s i g n e le symbole d'Artîn . L e s conjugués de F (p) 3 -
sont donc les éléments de la forme : F ( p* ) , a v e c annulateur (p1) = annulateur (p) . P o s o n s , pour tout idéal 21 premier a v e c 1 - j :
SS J( X ) =
1 , s i SI = (2)
Ann ( p ) = 81 Il " (X - F3 (p)) sinon
le produit portant sur les o r b i t e s d e s points primitifs de Sl-division , s o u s l'action du groupe des automorphismes de E .
Soît v un élément de 2 [j ] , premier a v e c 1 - j , la décomposition en f a c t e u r s i r r é d u c t i b l e s de T (X) e s t donc :
v
T (X) - n S„.(X)
V Cl | V 2 1
Sachant que (T (0)) = ( v ) ( v , 2 )_ 1 où ( v , 2 ) d é s i g n e le p g c d de ( v ) e t (2) , on obtient :
P r o p o s i t i o n 2 :
Si 81 = (2)n n > 1 ( S ^ O ) ) = (2) .
Si 81 = pn n £ 1 , p premier distinct de 2 et 1 - j , a l o r s : (SjjfO)) = p .
Si SI e s t d i v i s i b l e par deux idéaux p r e m i e r s d i s t i n c t s , (81 , 3) = 1 , a l o r s S ^ f o ) e s t une unité .
C o r o l l a i r e 3 :
S o i e n t SI un idéal propre de Z [j ] , premier a v e c 1 - j et p un point primitif de Si-division .
Si 31 = (2) F3 ( p ) = - 4 .
Si 81 = (2n) n > 1 , ( ou SI = pn n > 1 , p premier) , a l o r s :
( F3( p ) )[ k ( « ) : k ]- ( 2 ) f ( ( F3( p ) )[ k ( 8 D : k ]= p )
Si 81 e s t d i v i s i b l e par deux idéaux p r e m i e r s d i s t i n c t s : F (p) e s t une unité .
I n t é r e s s o n s nous maintenant à la deuxième coordonnée . D ' a p r è s (2) et ( n ) , on a les é g a l i t é s suivantes :
y ( z ) = 1 - 2 x ( z )2 x (z + f )
= 1 + 2 ^ ^ x ( z - f ) d'où :
( y ( z ) - l )3 = 8 ^ z ) 3
puis :
soit
x ( z - f )3
y(z) ( y ( z )2 + 3) - 3 y2 (z) - 1 = 8
x3 (z - f)
y (z) (1 + F3 (z)) = 2 F3 (z - f ) + F3( z ) + 3 En particulier si p e s t primitif de î l - d i v i s i o n :
k (y( p )) = k (( 1 - j ) 3J ) et k ( y2 ( p )) = k (31 ) D ' a p r è s (7) on a :
x ( ( l - j ) z ) = - x 3 ( zj + 1
3 j x ( z ) d'où :
F3 (z ) + 1 = - 3 j ^ (14)
F ( ( l - j ) z )
Soit p un point primitif de 21-division , a l o r s il en e s t de même pour (1 - j ) P , et E-LêJ e st une unité ( II, c o r o l l a i r e 3 ) . P u i s -
F ( ( l - j ) p ) 2 F3( 8 ) + 4
que y ( p ) = , si v est une place de k(3J) divisant 1 - j , F ( p )
on a
v ( y2( p ) ) > v ( 3 ) = 2 v ( 1 - j )
Or l'extension k (y ( p )) / k e s t non r a m i f i é e en 1 - j , et l'extension 2
k (y ( P )) / k (y ( p )) e s t r a m i f i é e en toute place divisant 1 - j , la v a l u a - tion v(y (p)) ne peut donc pas ê t r e p a i r e , d'où : 2
v ( y2 ( P )) ï 3 v ( l - j ) ) . L ' é g a l i t é (3) donne a l o r s :
v ( y2( p ) ) = 3 v ( 1 - j ) .
P r o p o s i t i o n 4 :
Soient 21 un idéal propre de Z [j ] , premier a v e c 1 - j et p un point primitif de 2J-divîsion .
Si SI = pn n > 0 p premier distinct de 2 (y2( p )) = ( 1 - j )3 ( F3 ( p ))"1 . Si SI = 2 pn n > 0 p premier distinct de 2 (y2( p)) = ( ( 1 - j J3) (F (2 p)) . Dans les a u t r e s c a s , (y ( p )) = ( 1 - j ) si 31 ^ (2) . 2 3
Démonstration :
2
Le calcul concernant la valuation de y (p) en une place divisant 1 - j vient d ' ê t r e fait .
D ' a p r è s la formule (3) :
3
x (2 z ) = x (z) x_( z ) ~ 2
4 x (z ) + 1 d'où :
( F3( p ) + 4 ) F ( p ) = F (2 p ) (1 - 2 F3( p ) ) .
Chaque facteur de c e t t e é g a l i t é e s t un entier algébrique , c e qui permet d'affirmer que :
1 - 2 F3 ( p ) d i v i s e F3 ( p ) + 4 mais :
1 - 2 F3 ( p ) = 9 - 2 ( F3 ( p ) + 4 )
donc : 3
1 - 2 F ( p ) d i v i s e 9 , puis l'égalité
y2( p ) F3( p ) = F3( p ) + 4
et la valuation de y (p) aux places divisant 1 - j donne : 2
(1 - 2 F3 ( p )) = ((1 - j )3 ) (15)
Enfin y2( p ) est a s s o c i é à 2 ^ ( 1 - j )3 d'où la proposition . F ( p )
• Démonstration du théorème principal .
Soit 21 un idéal propre de Z [j ] , distinct de 2 et premier a v e c 1 - j . Si p est un point primitif de 2J-division , a l o r s
——^ ^ + 4 est un entier algébrique engendrant k(2l) sur k . 3(1 - j )
p ^ ( g ) + 4
Pour démontrer que 2 [j ] [ ] = A. il suffit de montrer
3(1 - j ) M 2 U
l'égalité des discriminants :
d1 d [1 k U J 2 3(1 - j ) F (3 P) + 4 ] / * [ j ] )
Calcul de d^ :
Soit p un idéal premier de "Z. [j ] divisant 21 , posons : 21 = pr 211 a v e c (SI1 , p) = 1 , q = N Q p - j ( p ) .
On c a l c u l e la valuation de d^ en p en utilisant la théorie du corps de c l a s s e s .
Sî U désigne le groupe des idèles unités de <Q [j ] , U ^ le groupe des idèles unités de <Q [j ] congrus à 1 mod 21 , et ( - j ) le groupe des uni ités de Z [ j ] , a l o r s le groupe de Galois G a l ( k ( 2 l ) / k ) est iso - morphe à U / ( - j ) U g j . Il y a exactement
[k ( ps 2I1 ) : k ] - [k ( ps _ 1 2I1 ) : k ] c a r a c t è r e s de Gai (k ( 2 l ) / k ) dont
y v =
le conducteur est de valuatîon 0 < s r en p , d'où en utilisant la for - mule de H a s s e :
v (d ) = [«(2J1) : k ] Z s( [ k ( a») : k ( 2 î ' ) ] - [ k ( ps _ I ai') : k(2j')] )
p s = 1
La fonction d'Euler définie par cp(2J) = [ j ] / 2 J )* permet le calcul de [k(2l) : k ] :
Si 81 ^ 2 , 3 [k (îl) : k ] - ^ cp(3l)
[k (2) : k ] = [k (3) : k ] = 1 d'où :
I ( r qr - ( r + l ) qr _ 1 - 5 ) si 3l' = 1 p ± 2 i (r qr _ (r+ l ) qr"1 _ 8 ) si 21 = (2r ) r > 1
j ( r qr - ( r + l ) qr _ 1 - 1 ) si SI1 = (2) [ k ( 5 j ' ) : k ] (r qr - ( r + l ) qr _ 1 ) sinon Calcul de '
On utilise la formule d'Euler :
V ^ k u o / k C n (
2 k ( 3 J i / k VC T^ ,d 3 ( 1f 3 ( ^ - _f 3 (
j } y ^ ) C T ) )
Il faut donc évaluer les d i f f é r e n c e s :
F 3 ( p ) - F 3 ( p ) a pour CT € G a l ( k ( 3 0 / k ) \ { id }
Soit u un idèle unité de k , dont la c l a s s e modulo ( - j ) U ^ est non t r i - v i a l e , la loi de r é c i p r o c i t é de Shimura donne :
F3( p ) = F 3( P )( U _ 1 ' P> = F3 ( p ) - F3 (u p ) (16) où u p est le point de 21-division défini par a p pour a appartenant à
r T *
Z [j J et vérifiant cc = u mod 21 .
Lemme 1
On a l'identité suivante :
- 3 3 t F3( z ) - F3( p ) )2 g R ( ( - J , 'z-P) F (z ) F ( p ) ( F (z ) + F ( p ) + 3 ) - 1 î = 0
Démonstration :
On montre d'abord que :
F3 (z) F3 ( p ) ( F3 (z) + F3 ( p ) + 3 ) - 1 =
( F3 (z) - F3( p - f ) ) ( F3 (z) - F3 ( p+ f )) F3( p ) (17) En effet , d ' a p r è s le calcul conduisant à ( i l ) , les r a c i n e s du polynôme
X2 - F2 ( p ) X - F ( p )
sont F ~ ' ( p + f ) et F ~ ' ( p - f ) . On obtient a l o r s le polynôme dont les
3 3 3 r a c i n e s sont F ( p + f ) et F (p - f ) , et de c o e f f i c i e n t dominant F (p),
d'où (17) .
Le lemme r é s u l t e a l o r s de l'égalité des d i v i s e u r s des deux membres de l'identité , et de l'évaluation en 0 .
Lemme 2 :
S o i t 21 un idéal propre de Z. [j ] d i s t i n c t s de 2 et premier a v e c 1 - j . Si p et p ' sont deux points primitifs de 21 - d i v i s i o n , et d'orbites d i s t i n c t e s s o u s l'action de ( - j ) , a l o r s :
( F3( p ) F3( p' ) ( F3( P ) + F3( p ' ) + 3 ) - 1 ) = ( 2 7 )
Démonstration :
On a l'égalité polynomiale s u i v a n t e :
XY (X + Y + 3 ) - 1 = (X - Y ) ( Y (X - Y ) + 3Y (Y + 1 )) + (2 Y - 1 ) (Y + 1 )2
P o s o n s F3( p ) = X F3( p ' ) = Y A = XY (X + Y + 3 ) - 1 . D ' a p r è s (13) et ( l 4 ) ((2 Y - 1 ) (Y + 1 )2 ) = ( 2 7 ( 1 - j )) . L e p g c d de A et X - Y d i v i s e donc 27 ( 1 - j ) 8
D'après le lemme 1 , A d i v i s e (X - Y ) et le quotient est premier a v e c 1 - j . A e s t donc une unité en dehors des places divisant 1 - j .
Soit v une place de k(2J) divisant 1 - j . Puisque 1 - j ne s e ramifie pas dans k (SI ) / k , on a v (l - j ) = 1 . D ' a p r è s c e qui p r é c è d e , v( A ) = 2 v(X - Y ) , donc v ( A ) ^ ( 2 7 ( l - j )) car v ( 2 7 ( l - j )) = 7 est impair 0
On en déduit :
v ((X - Y ) ( Y (X - Y ) + 3 Y ( Y + 1 )) < 7 soit :
v( X - Y ) + v( Y ( X - Y ) + 3 Y ( Y + 1 ) ) < 7
Or X - Y = F3( p ) + 4 - ( F3( p! ) + 4 ) e s t divisible par ( 1 - j )3 , d'après le calcul de y ( p ) et y ( p2 2 1 ) „
D'où v ( X - Y ) £ 3 puis :
v( Y ( X - Y ) + 3 Y ( Y + 1 )) £ 4 Or v (3 (Y + 1 )) = 4 d'après (14) soit : v(X - Y ) £ 3 .
C o n c l u s i o n : v( X - Y ) = 3 v( A ) = 6 et (A) = (27) .
Soit u un idèle unité de Q [j ] dont la c l a s s e modulo ( - j ) U ^ e s t non triviale 0 On a :
(F3( p ) - F3 ( u p )) 2 ^ j> F ( ( ( - j ) ' u - 1 )P) 3(1 - j ) i = 0
d'où :
, d ' , < u € N u / < - j > u a i i 5 o N ^ ' A ( F 3 m - i , i u - ' ) ^
U 1 21
On remarque que d^ ne fait intervenir que les places de k divisant 21 . D'après les r é s u l t a t s du paragraphe 2 (prop. 2 , c o r . 3 ) on a le tableau suivant décrivant l'idéal :
r
Si 31 = Il p P et n = [k(2J ) : k ( pS ) ] 0 < s £ r
P 's P
Annulateur ((u - 1 ) p) PS p f i 2
0 < s <; r
P
2S
1 < s ^ r2
2 autres c a s
A u , o
r . _
p *>'s 2 z2 n2 1 > 1 (1)
(18)
P o s o n s maintenant :
Au , i " , Nk ( 3 l ) / k( F 3"(-j ) I u - ' >
5
et A = II A . .
U i = 0 U' '
F i x o n s un idéal premier p divisant 21 , et posons : 21 = p " 21r 1 ( 211 , p ) = 1 •
D ' a p r è s ( 18) , un élément u de U / ( - j ) L J r donne une contribution A
' ' 21 u d i v i s i b l e par p , s i le conducteur du c a r a c t è r e a s s o c i é e s t d i v i s i b l e
par 21* .
Il y a exactement [k(2l) : k ( pr _ S 2J1)] - [k(2l) : k ( pr _ s + 1 21')] c a r a c t è r e s de conducteur exactement égal à pr _ S 2J1 „
S o i t X un tel c a r a c t è r e , on lui a s s o c i e un îdèle u tel que : .* r - s
u = 1 mod p 21 ' .
On peut déterminer a l o r s la contribution de p en A .
21 Pr. P ^ 2 2 pr , P 2 2r r > 1 p = 2
PR 2l' (2J1, 2) = 1
Vp( Au , 3* i 3 4 1
i / 0 , 3
i 0 1 1
y v n + 5
p, s n + 3
H 5
s = 1 : 2 n + 8 s >1 : n 0z, s + 8
n P. 5
La valuation de en p e s t a l o r s , si q = N ^ / ^ ( p ) :
• 21 = pr p î 2 :
v J d J = ^ E (n + 5)( [ k ( pr ) : k ( pr - s ) ] - [ k ( pr ) : k ( pr~s + 1 ) ] ) P 2 6 s = 1 p, s
- i C * 1 + 5) (qS - q5"1 ) + 6 ( ^ - q ^1 ) ) s = I
= ^ ( r qr - ( r - l J q ^1 - 5 )
• 21 = 2 pr p ^ 2 :
V f d j = ± L (n ç + 3 ) ( [ k ( 2 pr ) : k (2 pr~S ) ] - [ k ( 2 pr ) : k (2 pr"S + 1 ) ] ) P ° s = 1 P» s
4 ( P l 1 (3 qP"S + 3) (qS - q5"1 ) + 6 ( ^ ~ f ^ - ^ ) ) s = 1
( r qr - ( r + l ) qr-1 - D
De même si 21= 2r r > 1 ( 3 = 2 : v2( d2) = ^ ( r 4r - ( r + l ) 4r _ 1 - 8 )
et s i 21 = pr 2f' ( 2 l ' , 2 p ) = 1 il' / ( l ) :
vp( d2) = ^ ( r qr - ( r + l ) qr _ 1 ) [k(2l') : k ]
d'où (dj) = (d2) dans tous les c a s , c e quî a c h è v e la d é m o n s t r a - tion du théorème principal .
Générateurs des anneaux d'entiers de3 corps de classes de rayon de Qt j], non ramifiés en 3, de dimension i 10
module ( 2 - j ) : - 1 + X
module et conducteur ( 3 - j ) : - 1 - j X + X2
module et conducteur 4 : (2 + 2j) - ( 4 + 2j) X + X 2
module et conducteur ( 4 - 2 j ) : ( 3 + 2 j ) - 7 X + (1 - 4 j ) X2 + X3
module et conducteur (3 - 2j) : ( - 1 - j) + ( 4 + j) X + ( - 3 + j) X 2 + X 3
module et conducteur 5 : - j + ( 3 + 6 j ) X - ( 7 + 7j) X 2 + ( 2 + j ) X3+ X4
module et conducteur ( 5 - j ) : ( 1 + j ) - 3 X - ( 4 + 9 j ) X2 + ( 1 5 + 1 1 j ) X3- ( 9 + 2 j ) X4+ X5
module et conducteur ( 4 - 3j ) :
j - ( 1 + 7j)X + (12 + 22j) X2 - ( 31 + 25j) X3 + (25 + 4j) X4 + ( - 6 + 4j) X5 + X6
module et conducteur 7 :
1 + ( - 5 + 5 j ) X - 19j X2 + ( 4 + 8 j ) X3+ (17 + 1 7 j ) X4- ( 16 + 8j) X5 + X6
module et conducteur ( 6 - j ) :
j - 6j X + ( 4 + 25j ) X 2 - ( 32 + 60j ) X 3 + ( 62 + 6 0 j ) X4- ( 39 + 18j) X 5 + (5 - j) X 6 + X7
module et conducteur ( 5 - 3j ) :
( - 1 - j) + ( 3 + j)X + (13 + 9j) X 2 - ( 5 2 + 8j) X 3 + ( 5 6 - 2 1 j ) X4 + ( - 21 + 28j) X 5 + (1 - 9j ) X 6 + X7
module et conducteur 8 :
(2 + 2 j ) - ( 1 6 + 8j)X + 40 X 2 + ( - 40 + 40j) X 3 - 90j X 4 + (52 + 104j ) X 5 - ( 56 + 5 6 j ) Xô + (16 + 8j} X 7 + X8
module et conducteur ( 5 - 4j ) :
( - 1 - j) + (13 + 3j)X + ( - 4 5 + 2 1 j ) X2 + ( 6 7 - I !6j) X 3 + ( - 3 7 + 276j)X 4- ( 89 + 4 3 7 j ) X5
+ (259 + 429j) X 6 - (250 + 195j) X 7 + (92 + 11 j) X 8 + ( - 10 + 10j) X 9 + X 1 0
Remarque :
L e s polynômes correspondant aux conducteurs 6 - j et 5 - 3j apportent une r é p o n s e p o s i t i v e pour les e x t e n s i o n s c y c l i q u e s de d e g r é 7 de <Q[j] c i t é e s dans le théorème 1 de [Cou 1 ].
B i b l i o g r a p h i e . -
[Cou1 ] J . Cougnard :
Conditions n é c e s s a i r e s de monogénéité. J . London Math. S o c . (2) 37 (1988) 7 9 - 8 7 .
[ C o u 2 ] J . Cougnard :
G é n é r a t e u r s de l'anneau des e n t i e r s des c o r p s de c l a s s e s 2 3 de Q [ i ] de rayon impair et points de division de Y = X - X . A p a r a î t r e dans J„ of Number T h e o r y .
[C0 - N . , T ] P h . C a s s o u - N o g u è s , M. T a y l o r :
- E l l i p t i c functïons and r i n g s of i n t e g e r s , B i r k h a u s e r , P r o g r e e in Mathematics , 66 , 1987 .
A note on Elliptic C u r v e s and the monogeneity of r i n g s of i n t e g e r s . P r o c . L . M . S0 à p a r a î t r e .
[Fl ] V , F l e c k i n g e r :
Fonctions elliptiques et g é n é r a t i o n d'anneaux d ' e n t i e r s . T h è s e , B o r d e a u x I , 1987 .
Monogénéité de l'anneau des e n t i e r s de c e r t a i n s c o r p s de c l a s s e s de rayon . A p a r a î t r e dans Ann. S c i . Inst. F o u r i e r Grenoble (1988 ) .
[ S h ] G. Shimura :
Introduction to the arithmetic theory of automorphic f u n c - tions . (Princeton U n i v e r s i t y P r e s s , 1 971 ) .
Vincent FLECKINGER L a b o r a t o i r e de Mathématiques
U . A . C N R S 741 F a c u l t é des S c i e n c e s F - 25030 B e s a n ç o n Cedex
