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Terminale S Restitution Organisée de Connaissance (ROC de complexe/géométrie) Sujets de Bac 1
Terminale S
Les ROC : complexe/géométrie à connaître.
Vous trouverez ici les démonstrations que vous avez officiellement dues faire en cours (dans le programme). Il est important de préciser que cela ne signifie en aucun cas qu’il ne faille pas connaître les autres…
D’autres ROC classiques seront aussi traitées, mais sachez que le jour du Bac, vous pouvez très bien avoir une ROC que vous n’aurez jamais traité ou une ROC à démontrer différemment.
C’est pourquoi votre intérêt n’est pas d’apprendre les démonstrations par cœur, mais plutôt de comprendre comment elles fonctionnent, quelle est l’idée directrice des raisonnements, quels sont les prérequis…
Exemples de ROC sur les complexes : module et argument
Définition : Pour tout nombre complexe z, il existe un unique couple (x,y) de réels tels que z = x + iy. : cette écriture est appelée forme algébrique de z.
On note alors z= −x iy le conjugué de z et | z | = x2+y2 son module.
Propriété : z2 = zz.
Démo : z z=
(
x iy+)(
x iy−)
=x2+y2 =| |z 2.□Propriété : Soient deux complexes z et z’ et leur quotient ' z
z , le conjugué de ' z z est '
z z .
Démo : ' '2 ( )( '2 ') ( ' ') (2 ' ')
' ' ' | ' | | ' | | ' |
x iy x iy xx yy i xy yx z z z z z
z z z z z z
+ − + + − +
= × = = = donc, comme |z’|² est un réel,
2
( ' ') ( ' ')
' | ' |
xx yy i xy yx z
z z
+ + −
=
. D’un autre coté, ' '2 ( )( '2 ') ( ' ') 2( ' ')
' | ' | | ' | | ' |
' '
x iy x iy xx yy i xy yx
z z z zz
z z z z
z z
− + + + −
= × = = = .
On a donc l’égalité cherchée.□
Propriété :
' '
z z
z = z . Démo :
2 2
' ' ' ' ' '2
z z z zz z
z z z z z z
= = =
.L’égalité des modules s’en déduit puisque ces derniers sont positifs. □
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Terminale S Restitution Organisée de Connaissance (ROC de complexe/géométrie) Sujets de Bac 2
Définition : Soit
(
O u v; ;)
un repère orthonormal du plan et z un complexe non nul. On note M le point d’affixe z.On appelle argument de z, noté arg(z), une mesure de l’angle orienté
(
u OM,)
[2 ]π .Rappel : zAB =zB −zA.
Propriété : arg
( )
zAB =(
u AB,)
.Démo : Soit C le point du plan tel que AB=OC
: alors zC =zAB et
(
u AB,) (
= u OC,)
=arg(zC)=arg( )
zAB .□Définition : Soit
(
O u v; ;)
un repère orthonormal du plan.Tout nombre complexe z admet une unique écriture de la forme z=r
(
cos( )θ +isin( )θ)
où r = |z| et θ=arg( ) [2 ]z π . Cette écriture est appelée forme trigonométrique de z.→Tout part de là !
Théorème : arg
(
z z. ')
=arg( )
z +arg( )
z' .Démo : On a :
( ) ( ) ( ) ( )
' cos( ) sin( ) ' cos( ') sin( ') ' cos( ) cos( ') sin( ) sin( ') cos( ) sin( ') cos( ') sin( )
z z× =r θ +i θ ×r θ +i θ =rr θ θ − θ θ +i θ θ + θ θ
A l’aide des formules trigonométriques, on en déduit que z z× =' rr' cos(
[
θ θ+ ')+isin(θ θ+ ')]
.Par unicité de l’écriture trigonométrique, on en déduit bien que arg
(
z z. ')
= + =θ θ' arg( )
z +arg( )
z' □.Corollaire : arg 1 arg z
( )
z
= −
.
Démo :
• Nous savons que arg(1) = 0.
• Appliquons le théorème précédent à z' 1
= z : zz’ = 1 donc il vient
( ) ( )
1( )
1arg 1 arg z arg 0 arg z arg
z z
= + ⇔ = +
d’où le résultat cherché.□
Corollaire : arg arg
( )
arg( )
''
z z z
z
= −
.
Démo : Appliquons le théorème précédent à " ' 1"
z '
= z : il vient arg arg
( )
arg 1 arg( )
arg( )
'' '
z z z z
z z
= + = −
d’après le corollaire précédent. □
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Terminale S Restitution Organisée de Connaissance (ROC de complexe/géométrie) Sujets de Bac 3
Définition : Soit
(
O u v; ;)
un repère orthonormal du plan. Posons eiθ =cos( )θ +isin( )θ .Tout nombre complexe z admet une unique écriture de la forme z=reiθ où r = |z| et θ=arg( ) [2 ]z π . Cette écriture est appelée forme exponentielle de z.
Propriété : e eiθ θi ' =ei(θ θ+ ') et ( ')
' i
i i
e e
e
θ θ θ
θ
= − .
Démo : il s’agit d’appliquer les résultats précédent à z et z’ avec r = 1 et r’ = 1.□
Propriété : Pour tout entier n, on a
( )
eiθ n =einθ.Démo : Soit P(n) la proposition «
( )
eiθ n =einθ ».• P(0) est vraie puisque
( )
eiθ 0 =1 et ei0 =cos(0)+isin(0)=1.• Supposons P(n) vraie, cad que
( )
eiθ n =einθ : alors( )
eiθ n+1 =( ) ( )
eiθ n eiθ 1=e einθ θi .Et comme e eiθ θi '=ei(θ θ+ '), il vient
( )
eiθ n+1=e einθ θi =ei n( )+1θ donc P(n+1) est vraie.□ Propriété : ( , ) arg d cAB CD
b a
−
=
−
avec les notations usuelles, où A et B, C et D sont deux à deux distincts.
Démo : (AB CD, ) (AB u, ) ( ,u CD) ( ,u CD) ( ,u AB) arg
(
d c)
arg(b a) arg d cb a
−
= + = − = − − − =
−
.□
ROC sur l’écriture complexe des transformations
Propriété : Soit t la translation de vecteur u
d’affixe u qui transforme M(z) en M’(z’).
L’écriture complexe de t est z’ = z + u.
Démo : M a pour image M’ dans la translation de vecteur u
si M M'= ⇔ − = ⇔u z' z u z'= +z u
car deux vecteurs sont égaux ssi leurs affixes sont égales.□
Propriété : Soit h l’homothétie de centre Ω
( )
w et de rapport k qui transforme M(z) en M’(z’).L’écriture complexe de h est z’ - w = k(z – w).
Démo : M a pour image M’ par cette homothétie ssi ΩM'= Ω ⇔ − =k M z' ω k z( −ω)
car deux vecteurs sont égaux ssi leurs affixes sont égales.□
Propriété : Soit R la rotation de centre Ω
( )
w et d’angle θ qui transforme M(z) en M’(z’).L’écriture complexe de R est z'− =ω eiθ(z−ω).
Démo : M a pour image M’ par cette rotation ssi
(
, ') (
, ')
arg '' '
' 1 1
M M z
M M z
M z
M M
M z
ω θ
θ θ ω
ω ω
−
Ω Ω = =
Ω Ω = −
⇔ ⇔
Ω = Ω Ω = −
Ω − =
.
Posons alors z' Z z
ω ω
= −
− : Z est un complexe de module 1 et d’argument θ donc Z=eiθ. Ainsi on a
( )
' i ' i
z e z e z
z
θ θ
ω ω ω
− = ⇔ − =ω −
− .□
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Terminale S Restitution Organisée de Connaissance (ROC de complexe/géométrie) Sujets de Bac 4
ROC sur l’espace : équation cartésienne d’un plan
La définition qui suit n’est pas la première définition du plan que l’on voit en Terminale S.
Initialement, un plan est défini par : P est un plan s’il existe :
• Un point A de l’espace.
• Deux vecteurs u
et v
non colinéaires tels que pour tout point M de P, AM=xu+yv
où x et y sont deux réels (les coordonnées de M dans le repère
(
A u v, ,)
.Cette définition peut aussi s’obtenir en utilisant les barycentres.
Cependant la caractérisation suivante est souvent prise comme point de départ pour tous les raisonnements.
Définition : Le plan P qui passe par A et de vecteur normal n
(non nul) est l’ensemble des points M de l’espace tel que AM n. =0
Théorème :
• Soit (P) le plan passant par A(xA,yA,zA) et de vecteur normal n→(a,b,c).
Alors une équation cartésienne de (P) a la forme ax + by + cz + d = 0 où d est un réel.
• Réciproquement, soit (P) l’ensemble des points M(x ;y ;z) tel que ax + by + cz + d = 0.
Alors (P) est un plan de vecteur normal n→(a,b,c).
Démo :
Première implication : (P) le plan passant par
A A A
x A y z
et de vecteur normal a n b c
.
Par définition x M y z
appartient au plan ssi AA . 0
(
A) (
A) (
A)
0A
x x a
AM y y n b a x x b y y c z z
c z z
−
− = ⇔ − + − + − =
−
: posons
alors d= −axA−byA−czA. On obtient x M y z
appartient au plan ssi ax by+ + + =cz d 0. Réciproquement : soit (P) l’ensemble des points M(x ;y ;z) tel que ax + by + cz + d = 0.
Comme a n b c
est non nul, l’une de ses coordonnées est non nulle, par exemple a.
Par conséquent, le point A
(
−da; 0; 0)
appartient à (P).Par une méthode maintenue devenue classique (équa-diff, équation diophantienne pour les spé…), on a alors ax + by + cz + d = 0 ⇔ax + by + cz + d = ax + by + cz + d A A A ⇔a x-x
(
A)
+ b y-y(
A)
+ c z-z(
A)
= 0.On reconnaît bien la relation AM→.n→ = 0 : d’après la définition d’un plan, on a donc M est dans (P) ssi M est dans le plan passant par A et de vecteur normal n→.
P est donc ce plan.□
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Terminale S Restitution Organisée de Connaissance (ROC de complexe/géométrie) Sujets de Bac 5
ROC sur l’espace : représentation paramétrique d’une droite Que ferions nous sans les définitions …
Définition : La droite (D), qui passe par A et de vecteur directeur u
est l’ensemble des points M tel que les vecteurs AM
et u
soient colinéaires.
La réciproque au résultat suivant étant très simple, nous nous contenterons d’établir une seule implication : Théorème : Soit (D) la droite (D) passant par A(xA,yA,zA) et de vecteur directeur u
(a,b,c).
Un point x M y z
est sur (D) ssi il existe un réel t tel que
A A A
x at x y bt y z ct z
= +
= +
= +
.
Démo : Par définition, un point x M y z
est sur (D) ssi AM
et u
soient colinéaires donc ssi il existe un réel t tel que
AM =tu
. Comme deux vecteurs sont égaux ssi leurs coordonnées sont égales, x M y z
est sur (D) ssi il existe un
réel t tel que
A A
A A
A A
x x at x at x
y y bt y bt y
z z ct z ct z
− = = +
− = ⇔ = +
− = = +
.□
ROC sur l’espace : distance d’un point à un plan
Définition : Soit A un point de l’espace et (P) un plan. H est le projeté orthogonal de A sur (P) si
• H appartient à (P)
• (AH) est orthogonal à (P)
Théorème : Soit A x( A,yA,zA) un point de l’espace, P le plan d’équation ax+ + + =by cz d 0 Alors la distance de A à P est
( )
2 2 2
, axD byD czD d
d A P
a b c
+ + +
= + + .
Démo : Soit A x( A,yA,zA) un point de l’espace, P le plan d’équation ax+ + + =by cz d 0 : notons H le projeté orthogonal de A sur P. Il faut donc calculer la distance AH.
Calculons le produit scalaire AH n.
de 2 manières différentes.
(1) AH n. =a x( H −xA)+b y( H −yA)+c z( H −zA)=axH +byH +czH −axA−byA−czA .
Mais H est par définition dans le plan (P) donc on a axH +byH +czH = −d et finalement AH n. = −axA−byA−czA−d . (2) Le vecteur n
est normal à P donc par définition de H, AH
est colinéaire à n
. Alors AH n. = ± AH . n = ±AH. a2+b2+c2
. Par identification de ces 2 expressions,
2 2 2
A A A
ax by cz d
AH
a b c
+ + +
= + + (les valeurs absolues apparaissent pour assurer que AH est positif).□
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