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Terminale S Restitution Organisée de Connaissance (ROC de probabilités) Sujets de Bac 1
Terminale S
Les ROC de probabilités à connaître.
Vous trouverez ici les démonstrations que vous avez officiellement dues faire en cours (dans le programme). Il est important de préciser que cela ne signifie en aucun cas qu’il ne faille pas connaître les autres…
D’autres ROC classiques seront aussi traitées, mais sachez que le jour du Bac, vous pouvez très bien avoir une ROC que vous n’aurez jamais traité ou une ROC à démontrer différemment.
C’est pourquoi votre intérêt n’est pas d’apprendre les démonstrations par cœur, mais plutôt de comprendre comment elles fonctionnent, quelle est l’idée directrice des raisonnements, quels sont les prérequis…
ROC sur les probabilités totales
Définition : Soit Ωl’univers de possibilités : on dit que les évènements A et B forment une partition de Ω si : (1) A B∪ = Ω
(2) A B= ∅ cad que les évènements sont incompatibles.
Propriété : Soit A et B une partition de Ω. Alors pour tout évènement C, P C( )=P C P AA( ) ( )+P C P BB( ) ( ). Démo :
• A et B forment une partition donc on a C=
(
C∩A) (
C B∩)
.Comme A et B sont incompatibles,
(
C∩A)
et(
C B∩)
le sont aussi et on a p C( )
=p C(
∩A) (
+p C B∩)
.• ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
A P A C( ) A
P C P A C P C P A
P A
= ∩ ∩ =
( ) ( ) ( )
A( ) ( ) B( ) ( )p C =p C∩A +p C B∩ =P C P A +P C P B
ROC sur le binôme de Newton
Définition-Propriété : Soit E un ensemble a n éléments et p un entier compris entre 0 et n.
On note n
p le nombre de parties de E à p éléments. On a
(
!)
! !
n n
p = p n p
− .
Propriété (Formule du Triangle de Pascal): Pour tout entier naturel k tels que 1 k n≤ < , on a :
1 1
1
n n n
k k k
− −
+ =
− .
Démo : Il s’agit principalement de mettre deux fractions au même dénominateur.
1 1 ( 1)! ( 1)! ( 1)! ( 1)!
1 ( 1)!( )! !( 1)! ( 1)!( )! !( 1)!
n n n n n k n n k
k k k n k k n k k n k k k n k n k
− + − = − + − = − × + − × −
− − − − − − − − − −
[ ]
( 1)! ( )
1 1 ( 1)! ( )( 1)! !
1 !( )! !( )! !( )!
n k n k
n n k n n k n n n
k k k n k k n k k n k p
− + −
− + − = − + − − = = =
− − − −
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Terminale S Restitution Organisée de Connaissance (ROC de probabilités) Sujets de Bac 2
Propriété : Pour tout complexe a et b, et tout entier naturel on a
( )
0
n p n p n p
p
a b n a b p
= −
=
+ =
Démo : De manière générale, cette propriété se démontre par récurrence en utilisant la formule du triangle de Pascal.
Voici une méthode beaucoup plus jolie…
Pour plus de lisibilité, posons x = a et P x( )=
(
x b+)
n.P est un polynôme de degré n, il est donc composé de monôme de la forme c xk k où k va de 0 à n.
Rappelons maintenant que par définition de la puissance (entière) : ( )
( ) ( )
...( )
n termes
P x = x b+ × + × × +x b x b .
• x0 : il n’y a donc que des termes constants et la seule façon que les n multiplications précédentes ne contiennent aucun x est de choisir les n fois le terme b. Le coefficient constant est donc bn.
• x1 : dans les n multiplications par (x+b), il a donc fallu choisir une fois x (donc x apparaît) et n-1 fois b (donc bn−1 apparaît).
Il y a 1
n choix différents de x donc le terme est 1 1 1 n n
x b− .
• x2 : dans les n multiplications par (x+b), il a donc fallu choisir deux fois x (donc x² apparaît) et n-1 fois b (donc bn−2 apparaît).
Il y a 2
n choix différents de x donc le terme est 2 2 2 n n
x b − .
• …
• xk : dans les n multiplications par (x+b), il a donc fallu choisir k fois x (donc xk apparaît) et n-k fois b (donc bn k− apparaît).
Il y a nk choix différents de x donc le terme est n x bk n k k
− .
• En additionnant chaque monôme, on obtient bien le résultat voulu.
ROC sur les lois continues
Définition :
On dit que P est une loi de probabilité (continue) de densité f sur l’intervalle [a,b] (a et b pouvant être infinis) si : (1) f est continue sur [a ;b], nulle hors de [a,b].
(2) f est positive sur [a ;b].
(3) ( ) 1
b
a
f x dx= .
Définition :
On dit que X suit une loi de probabilité de densité f sur l’intervalle [a,b] (a et b pouvant être infinis) si : (1) X ne prend que des valeurs sur [a,b].
(2) Pour tout intervalle [c ;d] inclus [a,b],
( )
d ( )c
P c X≤ ≤d = f x dx.
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Terminale S Restitution Organisée de Connaissance (ROC de probabilités) Sujets de Bac 3
Juste pour s’échauffer…
Propriété : Soit X suit une loi de probabilité de densité f sur l’intervalle [a,b].
Pour tout réel c, P X c
(
=)
=0.Démo : Appliquons la définition :
( ) ( )
c ( ) ( ) ( ) 0c
P X c= =P c X c≤ ≤ = f x dx F c= −F c = où F est une primitive de la fonction continue f.
Définition : Soit P une loi continue de densité f sur [a,b], a et b finis.
P est la loi uniforme lorsque la densité f est constante sur [a,b].
Propriété :
• La densité d’une loi uniforme sur l’intervalle [a,b] est la fonction f x( ) 1
=b a
− .
• Si X suit la loi P alors pour tout intervalle [c ;d] inclus [a,b], P c X
(
≤ ≤d)
=d cb a−− .Démo :
(1) Notons f = k la constante cherchée : comme f est une densité,
( )
1( ) 1 1 1
b b
a a
f x dx kdx k b a k
= ⇔ = ⇔ − = ⇔ =b a
− .
(2) Alors pour tout intervalle [c ;d] inclus [a,b],
( )
d 1 1 dc c
P c X d dx dx d c
b a b a b a
≤ ≤ = = = −
− − − .
Définition : Soit P une loi continue. P est une loi exponentielle de paramètre λ si : (1) la densité de f est nulle sur ]− ∞; 0[.
(2) sur [0;+∞[, la densité f est définie par f x( )=λe−λx.
Propriété : Soit X une v.a. qui suit une loi exponentielle de paramètre λ
• Pour tout réel positif t, P X t
(
≤ = −)
1 eλt.• Pour tout réel positif t, P X t
(
≥ =)
eλt.Démo : Appliquons la définition :
( )
00
1
t x x x t t
P X t≤ = λe dx−λ = −e−λ x== = −e−λ . Comme P(X = t) = 0, on a aussi P X t
(
< =)
P X t(
≤ = −)
1 e−λt.Par ailleurs, les évènements
(
X t<)
et(
X t≥)
sont contraires l’un de l’autre (ils forment une partition…) donc( )
1( )
... tP X t≥ = −P X t< = =e−λ .
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Terminale S Restitution Organisée de Connaissance (ROC de probabilités) Sujets de Bac 4
Définition : On dit que X est un processus sans mémoire (ou sans vieillissement) si : Pour tous réels positifs h et t, on a PX t≥
(
X t h≥ +)
=P X h(
≥)
.Par exemple, la probabilité qu’un composant électronique vive plus de 10 ans sachant qu’il en a déjà vécu plus de 8 est la même que celle qu’il en vive plus que 2 : en quelque sorte, le composant ne subit pas l’usure des 8 premières années.
Propriété :
• Si X suit une loi exponentielle alors c’est un processus sans vieillissement.
• Réciproquement, si X est un processus sans vieillissement alors X suit une loi exponentielle.
Démo :
→ Supposons que X suive une loi exponentielle de paramètre λ :
( ) ( ( ) ( ) )
( )
X t
P X t h X t P X t h
P X t
≥
≥ + ≥
≥ + =
≥ mais on a l’égalité d’événements
(
X t h≥ +) (
X t≥ =) (
X t h≥ +)
donc( ) ( )
( )
X t
P X t h P X t h
P X t
≥
≥ + = ≥ +
≥ . Rappelons alors que pour une loi exponentielle P X t
(
≥ =)
e−λt.Ainsi
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
t h t h
h
X t t t
P X t h e e e
P X t h e
P X t e e
λ λ λ
λ
λ λ
− + − −
≥ − − −
≥ + = ≥ + = = =
≥ donc on a bien PX t≥
(
X t h≥ +)
=P X h(
≥)
.→ Supposons maintenant que X soit un processus sans vieillissement.
Alors, pour tous réels h et t positifs, on a
( ) ( ) ( ( ) ( ) )
( ) ( )
X t
P X t h X h
P X t h P X h P X h
P X t
≥
≥ + ≥
≥ + = ≥ ⇔ = ≥
≥ On a encore
(
X t h≥ +) (
X t≥ =) (
X t h≥ +)
d’où l’égalité( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P X t h
P X h P X t h P X t P X h P X t
≥ + = ≥ ⇔ ≥ + = ≥ ≥
≥ .
Posons f t( )=P X t
(
≥)
: l’égalité précédente s’écrit f t h( + =) f t( )×f h( ) pour tous t et h positifs.Vu que f(0) = 1 puisque X ne prend que des valeurs positives, l’équation précédente, rappelons le, caractérise les fonctions exponentielles (admettons ici que f et dérivable) : il existe donc un réel λ tel que f t( )=e−λt.
