Les ROC données au bac
Asie juin 2015, ex 1
désigne un réel strictement positif.
On rappelle que l’espérance mathématique de la variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre , est définie par :
= lim→
1. On considère la fonction définie pour tout réel par : = − − .
Démontrer que la fonction est une primitive sur ℝ de la fonction définie pour tout réel par = . 2. En déduire que l’espérance mathématique de la variable aléatoire est égale à .
Métropole juin 2014, ex 3
On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe = + !" où ∈ ℝ et " ∈ ℝ, le conjugué de z est le nombre complexe = − !".
Démontrer que :
- Pour tous nombres complexes et $, $= . $
- Pour tout nombre complexe et tout entier naturel non nul &, ' = '
Nouvelle Calédonie mars 2014, ex 2 :
L’objectif de cette partie est de démontrer le théorème suivant :
« Si ( est une variable aléatoire de loi normale centrée réduite, alors pour tout réel ) ∈ *0; 1., il existe un unique réel positif /0 tel que : 1−/0 ≤ ( ≤ /0 = 1 − ) »
Soit la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels ℝ par : = 1
√25
6
$
Soit 7 la fonction définie et dérivable sur .0; +∞. par : 7 = 1− ≤ ( ≤ =
1. Que représente la fonction pour la loi normale centrée réduite ?
2. Préciser 70 et la limite de 7 quand tend vers +∞.
3. À l’aide de considérations graphiques, montrer que pour tout nombre réel positif , 7 = 2
4. En déduire que la dérivée 7′ de la fonction 7 sur .0 ; +∞.0 est la fonction 2 et dresser le tableau de variations de 7 sur .0 ; +∞..
5. Démontrer alors le théorème énoncé.
Antilles-Guyane juin2013, ex 2 :
Soient & un entier naturel, : un nombre réel compris entre 0 et 1, et (' une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres & et :. On note '=;'< et une valeur prise par '. On rappelle que, pour & assez grand, l’intervalle =: −√' ; : +√'> contient la fréquence avec une probabilité au moins égale à 0,95.
En déduire que l’intervalle = −√' ; +√'> contient : avec une probabilité au moins égale à 0,95.
Antilles-Guyane septembre 2013, ex 1 :
Soit ∆ une droite de vecteur directeur @A et soit B un plan.
On considère deux droites sécantes et contenues dans B : la droite C de vecteur directeur DEEEEA et la droite C$
de vecteur directeur DEEEEA$ .
Montrer que ∆ est orthogonale à toute droite de B si et seulement si ∆ est orthogonale à C et à C$.
Pondichéry avril 2012, ex 4 :
Soit un nombre complexe. On rappelle que est le conjugué de et que || est le module de . On admet l’égalité : ||$= .
Montrer que, si et $ sont deux nombres complexes, alors |$| = |||$|.
Amérique du Nord mai 2012, ex 2 : On rappelle que lim→
= +∞.
Démontrer que lim
→
ln = 0.
Amérique du Sud novembre 2012, ex 1 : L’objet de cette question est de démontrer que :
→lim
= +∞
On suppose connus les résultats suivants :
• La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ et est égale à sa fonction dérivée ;
• = 1 ;
• Pour tout réel , on a > ;
• Soit deux fonctions @ et T définies sur l’intervalle .U; +∞., où U est un réel positif.
Si pour tout de .U; +∞., @ ≤ T et si lim→@ = +∞, alors lim→T = +∞.
(a) Soit Z la fonction définie sur .0 ; +∞. par :
Z = −$ Montrer que pour tout de .0 ; +∞., Z ≥ 1. 2
(b) En déduire que :
→lim
= +∞
Métropole septembre 2011, ex 3 :
L’espace est muni d’un repère orthonormé \]; ^A, _A, `EAa.
On désigne par b, c, d, quatre réels tels que le vecteur &EA = b!A+ ceA+ d`EEA soit différent du vecteur nul.
On appelle B le plan d’équation b + c" + d + = 0.
Démontrer que le vecteur &EA est un vecteur normal au plan B, c’est-à-dire que le vecteur &EA est orthogonal à tout vecteur UfEEEEEA où U et f sont deux points quelconques du plan B.
Liban mai 2011, ex 3 :
Prérequis : On suppose connu le résultat suivant : quels que soient les nombres complexes non nuls et ′, arg × ′ = arg + arg′ à 25 près.
Démontrer que, quels que soient les nombres complexes non nuls et ′, on a : arg
k = arg − arg′ à 25 près.
Asie juin 2011, ex 4 :
On admet que la durée de vie (exprimée en années) d’un certain type de capteur de lumière peut être modélisée par une variable aléatoire ( qui suit une loi exponentielle de paramètre ( strictement positif), c’est-à-dire que la probabilité que ce capteur tombe en panne avant l’année ( positif) s’exprime par :
= 1( ≤ = 1.0; * =
Prérequis :
a. :lU =mn∩lml (où U et f sont deux évènements tels que :f ≠ 0);
b. :U = 1 − :U (où U est un évènement);
c. :.b; c* = c − b (où b et c sont des nombres réels positifs tels que b ≤ c).
Démontrer que, pour tout nombre réel positif q, on a : :.;..; + q* = + q −
1 − , et que :.;..; + q* est indépendant du nombre réel .
Pondichéry avril 2010, ex 1 :
Soit b et c deux réels tels que b < c et et t deux fonctions continues sur l’intervalle .b; c*. On suppose connus les résultats suivants :
• c + t
b =c
b +ct
b ;
• c`
b = `c
b où ` désigne un réel ;
• Si pour tout ∈ .b; c*, ≥ 0 alorsc
b ≥ 0.
Montrer que :
Si pour tout ∈ .b; c*, ≤ t, alorsc
b ≤ct
b
La Réunion juin 2010, ex 4 :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ]; DEA, @A. Soient U, f et w trois points du plan d’affixes respectives b, c, d.
On suppose que U et f sont distincts, ainsi que U et w. On rappelle que \DEA; UfEEEEEAa = argc − b.25*.
Montrer que \ UfEEEEEA;UwEEEEEAa = arg d − bc − b .25*.
Centres étrangers juin 2009, ex 1 :
Prérequis : On rappelle que deux évènements U et f sont indépendants pour la probabilité : si et seulement si :U ∩ f = :U × :f.
Soient U et f deux évènements associés à une expérience aléatoire.
a. Démontrer que :f = :f ∩ U + :f ∩ U.
b. Démontrer que, si les évènements U et f sont indépendants pour la probabilité :, alors les évènements U et f le sont également.
Amérique du Sud novembre 2008, ex 3 :
On rappelle que la fonction ln est définie et dérivable sur ]0; +∞., positive sur .1 ; +∞., et vérifie :
• ln 1 = 0
• Pour tous réels strictement positifs et ", ln" = ln + ln "
• Pour tout réel strictement positif , .ln* ′ =
• ln2 ≈ 0,69 à 10$ près.
On considère la fonction définie sur ]0 ;+∞[ par = √ − ln .
a. Étudier les variations de et en déduire que admet un minimum sur ]0 ;+∞[.
b. En déduire le signe de puis que, pour tout > 1 : 0 <ln
<√
|. En déduire que lim→ln = 0.
Liban juin 2008, ex 3 :
Prérequis : Définition d’une suite tendant vers plus l’infini :
« Une suite tend vers +∞ si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir d’un certain rang, supérieurs à A ».
Démontrer le théorème suivant : « une suite croissante non majorée tend vers +∞ ».
Asie juin 2008, ex 4 :
On suppose connu le résultat suivant ∶ lim→ = +∞
Démontrer que ∶ lim→= 0
Centres étrangers juin 2008, ex 4 : On rappelle que lim→
= +∞.
. Démontrer que lim
→
ln = 0.
. En déduire que, pour tout entier naturel & non nul, lim→ln ' = 0.
Centres étrangers juin 2007, ex 2 :
1. Démontrer qu’un nombre complexe est imaginaire pur si et seulement si = −. 2. Démontrer qu’un nombre complexe est réel si et seulement si = .
3. Démontrer que pour tout nombre complexe , on a l’égalité : =||$.
La Réunion juin 2007, ex 1 :
On suppose connue la propriété : « Pour tout couple ; " de nombres réels strictement positifs, on a : ln" = ln + ln "
En déduire que, pour tout nombre réel strictement positif, on a : ln\√a =1
2 ln.
Amérique du Sud novembre 2006, ex 2 :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ]; DEA, @A.
On rappelle que : « Pour tout vecteur TEEA non nul, d’affixe on a : || = ‖TEEA‖ et arg = DEA; TEEA.25* ».
Soient , et 1 trois points du plan, d’affixes respectives , & et : tels que ≠ & et ≠ :.
. Démontrer que ∶ arg : −
& − = \ EEEEEEEA; 1EEEEEEAa.25*
. Interpréter géométriquement le nombre : −
& − .
