D165. Trisection dans un triangle pythagoricien
Solution proposé par Quentin LEONE
1 Problème
Soit le triangle rectangle ABC dans lequel AB = 4, BC = 5 et CA= 3. Le cercle inscrit de centre I toucle les côtés BC, CA et AB respectivement en D, E et F. Soient P, Q, R les points du cercle inscrit diamétralement opposés à D, E et F. La droite (CR) rencontre (AB) en V.
Démontrer que :
1. les points A, C, I, P et R sont cocycliques ; 2. les droites (AP) et (CR) se rencontrent en Q ;
3. les points R et Q partagent le segment [CV] en trois segment égaux.
2 Solution
2.1 Préparations
Soit P un plan et R(O;OI, ~~ OJ) un repère orthonormé de P. On place le triangle ABC dans le plan P tel que A(0,0), B(0,4) etC(0,3). Soit C le cercle inscrit du triangle ABC de centreI.
Soit(BA)la bissectrice de BAC[ et(BC) la bissectrice deACB[.ABC est rectangle en A. On a donc :
(BC) : y=x
Calculons l'équation de (BC). Soit M(x, y) ∈ (BC). Mais avant, calculons celle de (AC)et (BC). Pour (AC), on a :
(AC) :y = 0 Soit N(x0, y0)∈(BC). On a −−→
BC(3,−4) et−−→
BN(x0, y0 −4). D'où : (BC) : det(−−→
BC,−−→
BN) = 0 1
⇔ (AC) : 3y0+ 4x0−12 = 0 Pour l'équation de (BC), on a :
d(M,(AC)) =d(M,(BC))
⇔ |y|= |3y+ 4x−12|
5
⇔ (3y+ 4x−12)2−(5y)2 = 0
⇔ (8y+ 4x−12)(2y+ 4x−12) = 0 On a donc les deux équations suivantes :
2y+x−3 = 0 2x−y−6 = 0
Mais les deux équations correspondent aux deux bissectrices des quatre angles de l'intersection de (BC) et de (AC). Donc celle qui nous intéresse coupe (OJ) en une ordonné positive. On constate après calcul que :
(BC) : 2y+x−3 = 0 On sait que I ∈(BA)T(BC). D'où :
y=x
x+ 2y−3 = 0
On a donc I(1,1). De plus, I est équidistant au trois côté du triangle.
C a donc pour rayon 1. (AC), (BC) et (AB) sont tangents à C. Donc (AB)⊥(IF), (IE)⊥(AC) et (ID)⊥(BC). Comme F ∈ (AB), E ∈ (AC) et d(I,(AC)) = d(I,(AC)) = 1, on a E(1,0) etF(0,1).
R ∈ CT
(IF), donc comme F ∈ (AB) et F R = 2, d(R,(AB)) = 2. Comme on a(IF)⊥(AB)et(AB)⊥(AC), on a(IF)//(AC)d'où d(R,(AC)) = 1. Donc on a R(2,1) et, de même,Q(1,2).
Calculons D etP. −−→
BC(3,−4) est un vecteur normal à (ID). Donc : (ID) : 3(x−1)−4(y−1) = 0
⇔ (ID) :3x−4y+ 1 = 0 On a aussi :
C : (x−1)2+ (y−1)2 = 1 Comme D, P ∈ CT
(ID), on obtient le système d'équations suivant : 3x−4y+ 1 = 0
(x−1)2+ (y−1)2 = 1 2
⇔
x= 4y−13
(x−1)2+ (y−1)2 = 1
⇔
x= 4y−13
16
9(y−1)2+ (y−1)2 = 1
⇔
x= 4y−13 (y−1)2 = 259
⇔
x= 4y−13
y= 25 ouy = 85
On obtient donc (15,25) et (95,85). On constate que (95,85)∈ (BC). Donc on a D(95,85) etP(15,25).
2.2 Solution de la première question
SoitR1 le projeté orthogonal de Rsur(AC). On a doncR1(2,0). SoitC1 le projeté orthogonal de C sur(F I). On a doncC1(3,1).
Soit AIC et ARC deux triangles. [AI] est la diagonale du carré F IEA. [RC] est la diagonale du carré RC1CR1. Donc AI = RC car F IEA et RC1CR1 sont égaux.[IC]est la diagonale du rectangleIC1CEet[AR]est la diagonale du rectangle F RR1A. Donc IC =ARcar IC1CE etF RR1Asont égaux. DoncAIC etARC sont isométriques. Donc(−→
IA,−→
IC) = (−→
RA,−→
RC) et on a aussi (−→
IA,−→
IC) = π4 + arctan 2. Calculons(−→
P A,−→
P C). On sait quetan(−→
P A,−→
P C) = det(
−→P A,−→
−→ P C) P A.−→
P C . Or−→
P A(−15,−25) et −→
P C(145 ,−25). D'où tan(−→
P A,−→
P C) = −3. Donc (−→
P A,−→
P C) = arctan−3. tan(a+b−c) = tana+ tana.tanb.tanc+ tanb−tanc
1 + tanb.tanc−tana(tanb+ tanc) D'où
tan(arctan 1 + arctan 2−arctan−3) = 0 Donc π4 + arctan 2 = arctan−3. Donc :
( (−→
IA,−→
IC)≡(−→
P A,−→
P C) (mod π) (−→
IA,−→
IC)≡(−→
RA,−→
RC) (mod π)
Donc A, C,I,P etR sont cocycliques.
CQFD
3
2.3 Solution de la deuxième question
On a −→
CQ(−2,2)et −→
CR(−1,−1). On constate alors que −→
CQ= 2−→
CR. On en déduit donc Q, R et C sont alignés.
On a−→
AP(15,25)et−→
AQ(1,2). On constate de même que−→
AQ= 5−→
AP et donc que Q∈(AP).
Donc(AP) et(AQ) se rencontrent enQ.
CQFD
2.4 Solution de la troisième question
Calculons V. On sait que V ∈ (AB)T
(CR). Déterminons l'équation de (CR). Soit M(x, y). On a−→
CR(−1,1) et−−→
CM(x−3, y). Donc : (CR) : det(−→
CR,−−→
CM) = 0
⇔ (CR) : x+y−3 = 0 On a donc le système d'équations suivant :
x= 0
x+y−3 = 0 D'où V(0,3).
On en déduit que −−→
CV(3,3),−→
RQ(−1,1) et−−→
QV(−1,1)et donc : ( ||−→
RQ||+||−−→
QV||+||−→
CR||=√ 2 +√
2 +√
2 = 3√ 2
||−−→
CV||= 3√ 2
Donc R et Q partage[CV] en trois parties égales.
CQFD
4
