Fin Du Sujet . o Exercice 06 o Exercice 05 Exercice 02 o o Exercice 04 o Exercice 03 o Exercice 01

Lycée Ibn Alyassamine 1ère Bac Sc Maths

Devoir Maison N°04

A.S : 2020-2021

Réalisé par Mr : Abdellah Belkhatir Page : 1/2

o Exercice 01

:

 Soit fla fonction définie sur ^par :f x

 

x³ x x. 1)- Montrer que f n'est ni paire ni impaire .

2)- a)- Montrer que :



^



^{x y,}



^2



^;x2

^

^y1

^

^{xy2y  1 .}

b)- En déduire que f est strictement croissante sur ^.

c)- Montrer que l'équation

 

E ^: f x

 

^3admet une unique solution dans ^que l'on déterminera .

3)- On considère la fonction gdéfinie par : ^{g x}

 

^{ 10x} .

a)- Justifier que Dg ^{ }



^;10



. Puis montrer que ^gest strictement croissante sur l'intervalle



^;10



^.

b)- Prouver que l'équation

 

^{F : f x}

 

^{g x}

 

admet une unique solution que l'on déterminera .

o Exercice 02

:

 On considère la fonction fdéfinie sur par :

 

2

4 3

1

 

 f x x

x . 1)- a)- Soit



^{a b,}



^{2tels que : ab}.

 Montrer que :

   



²



²



25 3 3

2 2

4 2 2

1 1

  

    

    

  

a b

f a f b

a b a b .

b)- En déduire la monotonie defsur chacun des intervalles suivants



^{ ; 2}



¹; 2

 

 

 et 2;¹ 2

 

 

 . Puis dresser son tableau de variation .

2)- Montrer que :

   

1 2 1

, ; ;7 8

2

   

     

   

    

 

a b a b

a b . 3)- a)- justifier que :

 

^{; 1}

 

¹

 x    f x 4. b)- f est-elle surjective ? justifier votre réponse . 4)- a)- Résoudre dans ^,l'équation :

 

¹

2

 f x . b)- f est-elle injective ? justifier votre réponse . 5)- Soit gla restriction de f à l'intervalle 2;¹

2

 

  

I . On pose 1;¹

4

 

  

J .

a)- Soit yJ. Résoudre dans I,l'équation : g x

 

^y.

b)- En déduire que gest une bijection de Ivers Jet donner sa bijection réciproque g^1.

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o Exercice 03

:

 On considère l'application : : 3

1





 

u D D

x x x

Où ^{D }



^1;1



^.

1)- Montrer que uest bijective et donner sa bijection réciproque u^1.

2)- Déterminer toutes les fonctions f D: Dvérifiant la condition suivante :

 

^{; 3 3}

1 1

 

   

     

 

   

x x

x D f f x

x x .

o Exercice 04

:

 On considère l'intervalle ^{I   }



^1;



^{et soit f I: I}une fonction vérifiant les conditions suivantes :

 



^{ a b, I2}



^{;f a}



^

^

^{1a f b}

^{  } 

^{ b}



^{1b f a}

  

Et la fonction :

 

:  f x

x x est strictement croissante sur les intervalles



^1;0



^et



^0;



^.

1)- Montrer que :



^{  t}



^1;0

 

^{ 0;}

 

^{;f t}

 

^{t .}

2)- Prouver que :^f

 

^{0 0et que :}



^{   x}



^1;

 

^{;f x}

^{ }

^₁^_^x_x ^.

o Exercice 05

:

 Soitf une fonction définie sur tels que :

 

^;3

 

²

 

^{5 4 ;si 3}

4 1 ;si

  

     

  



 x x

x f x f x

x x .

 Déterminer f x

 

puis f ^ f x

 

pour tout x.

o Exercice 06

:

 Soit f : une fonction telles que : ^{f  f} est strictement croissante Sur  et f  f f est strictement décroissante sur  .

 Montrer que ^f est strictement décroissante sur ( Raisonner par l'absurde ) .

Fin Du Sujet .