Introduction aux filtres, bases de filtres, ultrafiltres et ses applications

Introduction aux filtres, bases de filtres, ultrafiltres et ses applications

CHAKKAR ABDELMOUNAIM UNIVERSITÉ CADDI AYYAD Faculté des sciences Semlalia Département de mathématiques

Juin 2012

Remerciement

Je tiens à remercier sincèrement Monsieur M.AKKOUCHI professeur à la faculté des sciences Semlalia pour m’avoir accueilli au sein de ses locaux sur une période de trois mois et d’avoir mis à ma disposition l’ensemble des informations nécessaires à la bonne réalisation de mon mémoire.

J’exprime aussi mes sincères reconnaissances à tous ceux qui ont collaboré à l’élaboration de ce travail, spécialement à mes parents, ma femme et ma sœur qui m’ont toujours sou- tenu et encouragé au cours de la réalisation de ce mémoire.

Je remercie Mr : A. Bounabat , professeur à la faculté des sciences Semlalia qui a bien voulu examiner ce travail.

Je remercie Mr : M. Houimdi , professeur à la faculté des sciences Semlalia qui a bien voulu examiner ce travail.

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Introduction

Rappelons les énoncés suivants : Théorème 1:

Soient (E,T) un espace topologique et A⊂E, pour que a∈A il suffit qu’il existe une suite d’éléments de A qui converge vers a.

Si E est métrisable ou plus généralement si tout point de E admet un système fondamental dénombrable de voisinages, cette condition est également nécessaire.

Corollaire 1:

Soit (E, d) un espace métrique. Pour que A⊆E soit fermée il faut et il

suffit qu’elle contienne toutes les limites de ses suites convergentes dans E.

Théorème 2:

Soit f : (E;T₁)7−→ (F;T₂) une application de E vers F.

Pour que f soit continue en a∈ E, il faut que l’image par f de toute suite de point de E convergeant vers a soit une suite de point de F convergeant vers f(a).

On en déduit que dans un espace métrique les suites caractérisent les fermés, et en conséquence certaines propriétés topologiques peuvent aussi s’écrire en termes de suite. Dans un espace topologique général, ce n’est pas le cas. Prenons l’exemple suivant :

Exemple 1:

Sur R, on définit la topologieT₁ :

T₁={A⊂R:A^c fini ou dénombrable ou A=φ}.

Soit (u_n)_n∈N une suite convergente pourT₁ de limite l.

on note :

U ={u_n:n∈N}, V = (R−U)∪ {l}.

V^c⊂U , donc V^c est dénombrable et V est un voisinage del. Mais alors,

∃n_o ∈ N,∀n ≥ n_o ⇒ u_n ∈ V. Comme u_n est aussi élément de U , la suite est stationnaire. (i.e.

constante à partir d’un certain rang).

Munissons maintenant R de la topologie discrète T₂, les suites convergentes pour cette topologie sont là-aussi les suites stationnaires.

Considérons l’injection canonique :

j: (R,T₁)−→(R,T₂).

j n’est pas continue car j⁻¹({l}) ={l} n’est pas ouvert (c.à.d les deux topologies T₁ et T₂ ne sont pas équivalentes). Pourtant pour tout point a de R et pour toute suite (u_n)_n∈N qui tend vers a pour T₁ (donc stationne en a), alors j(u_n) converge aussi vers j(a) =a pourT₂.

conclusion :

- Les suites ne peuvent pas suffir pour caractériser la continuité d’application entre les espace topolo- giques.

-Ces deux topologies ne sont pas équivalentes, pourtant elles ont la même classe des suites convergentes à savoir les suites stationnaires.

2

3

En topologie générale, les suites n’ont plus ce rôle important qu’elles jouent dans le cas d’espaces métriques.

La notion de filtre (et de base de filtre) introduite par H.Cartan (Théorie des filtres, 1937) et utilisée par Nicolas Bourbaki dans le livre III (Toplogie générale) aide à s’affranchir de l’usage des suites. La justification de l’introduction des filtres est que dans certains espaces les points n’ont pas de base dénombrable de voisinages et alors on ne peut plus se contenter d’utiliser des suites pour caractériser les notions habituels de topologie (fonctions continues, ensembles fermées...).

Le but de ce mémoire est essentiellement de faire une introduction aux notions de filtre et base de filtre en étudiant certaines de leurs propriétés importantes, et d’illustrer leur utilité par leurs applications en Topologie et en Analyse mathématique.

Chapitre 1

Étude d’une topologie particulière

1.1 Rappel

Définition 1:

Une topologie T, sur un ensemble E, est une famille de parties de E, qui contient φ et E, et qui est stable par réunions quelconques, et par intersections finies. Les éléments deT sont appelés des ouverts de E. Le complémentaire d’un ouvert de E est appelé un fermé. On dit que E, muni de T , est un espace topologique. On le notera (E;T).

Définition 2:

On appelle base d’une topologieT, toute famille(F_i)_i∈I d’ouverts, telle que tout ouvert deEest réunion d’éléments de(Fi)_i∈I.

Remarque .

Il est équivalent de dire que (Fi)_i∈I est une base de la topologie T, et que, pour tout point x ∈ E, et tout ouvert V_x, contenant x, il existe un ouvert U ∈(F_i)_i∈I, tel que x∈U ⊆V_x.

Définition 3:

Soitxun point de l’espace topologique(E;T). On appelle voisinage dextoute partieV, deE, contenant un ouvert qui lui-même contient le point x.

On désignera parV(x) l’ensemble des voisinages dex.

Définition 4:

Une famille(Fi)_i∈I de sous ensembles d’un espace topologique Eest une base de voisinages en x∈E, si chaque N ∈(F_i)_i∈I est un voisinage dex, et si pour tout voisinage M, dex, il existeN ∈(F_i)_i∈I, tel que N ⊆M.

Définition 5:

Soit A une partie quelconque deE. On appelle intérieur de A, et l’on noteA, le plus grand ouvert de˚ E, contenu dansA. On appelle adhérence de A, et l’on note A, le plus petit fermé deE, contenant A.

On a la relation : ( ˚A)^c= (A)^c. Les points de A sont dits adhérents àA.

Remarque .

Un pointx∈Eest adhérentAsi et seulement si tout ouvert contenantx contient également au moins un point de A.

1.2 Axiomes de dénombrabilité

Définition 6:

Un espace topologique (E;T)

1. Est séparable si Econtient un sous ensemble dénombrable dense.

2. Satisfait le premier axiome de dénombrabilité (D1), si chaque point de E admet une base de voisi- nages, qui est dénombrable.

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Section 1.3 – Exemple d’une topologie particulière 5

3. Satisfait le second axiome de dénombrabilité (D2), si T la topologie deE est à base dénombrable.

Remarque .

- Tout espace métrique satisfait (D1).

- Un espace métrique satisfait (D2) si et seulement si il est séparable.

- Tout espace qui satisfait (D2) est séparable. La réciproque est fausse.

1.3 Exemple d’une topologie particulière

Soit E un ensemble non dénombrable et x₀ ∈E fixé on pose : T_x0 ={A⊆E: (x0 ∈/ A) ou (x0∈A et A^cest au plus dénombrable)}

Montrons que T_x0 est une topologie sur E. on a :

i. φ,E∈ T_x0 (car x₀ ∈/ φ et x₀ ∈E, E^c=φ) ii. SoientA, B ∈ T_x0, 2 cas à envisager :

— six0 ∈A∩B. Or (A∩B)^c=A^c∪B^cdonc (A∩B)^cest au plus dénombrable ainsiA∩B∈ T_x0

— six0 ∈/ A∩B c.à.d A∩B∈ T_x0 iii. Soit (Ai)_i∈I une famille d’élément de T_x0

— si ∃i₀ ∈ I tel que x₀ ∈A_i0 donc x₀ ∈A_i0 ⊆ ^[

i∈I

A_i et on a (^[

i∈I

A_i)^c= ^\

i∈I

A^c_i ⊆A^c_i0 or A^c_i0 est au plus dénombrable, alors ^[

i∈I

A_i ∈ T_x0

— si∀i∈I x0∈/ Ai ainsi x0∈/ ^[

i∈I

Ai i.e. ^[

i∈I

Ai ∈ T_x0

1.3.1 Particularité de cette topologie A- Les suites convergentes

Définition 7:

Soient (E,T) un espace topologique, x ∈ E et (x_n)_n≥0 une suite de points de E. On dit que (x_n)_n≥0 converge vers x dans(E,T) si et seulement si :

∀V ∈ V(x), ∃N_v ∈N, ∀n≥N_v ⇒ x_n∈V. Et on notera : x_n −−−→^(E,T)

n→∞ x.

Proposition 1:

Toute suite qui converge dans (E,T_x0) est une suite stationnaire.

Démonstration. Soit (xn)_n≥0 une suite d’éléments deE telle que : xn

(E,T_x0)

−−−−→

n→∞ x

— Si x6=x₀, alors{x} est un ouvert qui contient xd’où

∃N ∈N, ∀n≥N on ait xn∈ {x}

i.e.∀n≥N xn=x.

— Si x=x₀

supposons par l’absurde que (x_n)_n≥0 n’est pas stationnaire

c.à.d ∀N ∈N, ∃n≥N, xn6=x0 i.e. {n∈N, xn6=x0} est infini.

PosonsF ={x_n: xn6=x₀}

Étant donné que F^c est ouvert qui contient x = x₀ (car x₀ ∈ F^c et F est dénombrable) ; alors ∃N ∈ N, ∀n ≥ N, xn ∈ F^c c.à.d ∃N ∈ N, ∀n ≥ N, xn ∈/ F d’où l’ensemble {n∈N: xn6=x0} est fini⇒ contradiction.

Section 1.3 – Exemple d’une topologie particulière 6

B- La séparation de Hausdorff Définition 8:

Un espace topologie E est dit séparé s’il vérifie la propriété de séparation de Hausdorff : (∀a, b∈E, a6=b, ∃V ∈ V(a), ∃U ∈ V(b)tel que U ∩V =φ)

Proposition 2:

(E,T_x0) est séparé.

Démonstration. Soienta, b∈Etel que a6=b; deux cas à étudier :

— Si a6=x₀

Considérons les deux ouvertsU ={a}etV =E\{a}={a}^c on a :a∈U, b∈V etU∩V =φ.

— Si a=x₀

posonsU =E\{b}={b}^c etV ={b}on a : U, V ∈ T_x0,a∈U, b∈V etU ∩V =φ.

Proposition 3:

(E,T_x0) n’est pas connexe.

Démonstration. Soitx ∈E tel quex 6=x₀ on a {x}et E\{x}={x}^c sont deux ouverts donc{x} est à la fois ouvert et fermé.

C- L’adhérence

Notons F ={x₀}^c on a x0 ∈F en effet :

Si par l’absurde ∃V ∈ V(x₀) tel que V ∩F = φ d’où V ⊂ F^c ={x₀} i.e. V = {x₀} ⇒ absurde car {x₀} n’est pas ouvert.

Pourtant il n’existe pas une suite (xn)_n≥0 d’éléments de F qui converge dans (E,T_x0) versx0 ∈E car sinon (x_n)_n≥0 sera stationnaire ceci prouve que

∃m∈N, ∀n≥m, x_n=x₀ ce qui est faux par hypothèse.

D- La continuité

Soit maintenant T la topologie discrète sur E. Ici encore toute suite convergente dans E est une suite stationnaire. Considérons l’injection canonique j: (E,T_x0)→(E,T).

j n’est pas continue carj⁻¹({x₀}) ={x₀} n’est pas ouvert ; pourtant :

∀a ∈E et pour toute suite (xn)_n≥0 tel que (xn)_n∈N converge dans (E,T_x0) vers a∈ E donc (xn)_n≥0 stationne en a. On aura : j(x_n) =x_n,∀n∈N; d’oùj(x_n) converge dans(E,T) vers j(a) =a.

Chapitre 2

Les Filtres, Les Bases de filtre et Les Ultrafiltres.

Dans ce chapitre, on va présenter quelques résultats élémentaires concernant les filtres et ultrafiltres, qui sont utilisés dans diverses branches mathématiques : topologie, systèmes dyna- miques, géométrie des espaces de Banach...

2.1 Les Filtres.

Définition 9:

Soit E un ensemble non vide, un sous ensemble non vide F ⊂ P(E) est appelé filtre sur E s’il vérifie les points suivants :

1. φ /∈ F.

2. si A, B∈ F, alors A∩B ∈ F. 3. si A∈ F et A⊆B, alors B ∈ F. Un filtre est dit propresi F 6={E}.

Remarque .

pour tout filtre F sur E, E∈ F. Exemples 2:

1. l’exemple le plus simple de filtre sur E estF ={E}.

2. pour tout x∈E, l’ensembleF_x={A⊆E:x∈A} est un filtre sur E.

3. soit A⊆E non vide, alors F_A={B ⊆E:A ⊆B} est un filtre sur E dit filtre associé à A.

4. si Eest infini on a un exemple plus intéressant :

F ={A⊆E:A^c est fini } est un filtre sur E. En effet :

si A, B ∈ F donc (A∩B)^c = A^c∪B^c est fini ;φ est de complémentaire infini, et si A ⊆ B alors B^c ⊆ A^c implique que si A ∈ F et A ⊆B alors B ∈ F. Lorsque E= N; F est appelé filtre de Fréchet.

5. si (E,T) est un espace topologique, xo ∈E, V(xo) l’ensemble des voisinages de xo est un filtre sur E.

Plus généralement si A ⊆ E non vide, on a V(A) l’ensemble des voisinages de A défini par V(A) ={B ⊆E tel que ∃U ∈ T, A⊆U ⊆B} est un filtre sur E.

6. soit (xn)_n≥0 une suite d’éléments de E. On définit Bn={x_k : k≥n}, alors F ={A⊆E : ∃n≥0, B_n⊆A} est un filtre sur E.

7

Section 2.2 – Les Bases de filtre. 8

7. soit (E,6) un ensemble muni d’un ordre partiel filtrant croissant (i.e. si x, y ∈ E,∃z ∈ E tel quez ≥ x et z ≥ y). soit x ∈ E, on définit A_x = {y ∈ E | y ≥ x}; alors l’ensemble F ={B ⊆ E| ∃x ∈E, Ax ⊂ B} est un filtre sur E; si E =N muni de son ordre naturel, on trouve le filtre de Fréchet.

Remarques .

— Un filtre F sur E est dit principal s’il contient un élément minimal non vide M 6=φ, c’est à dire :

∃M ∈ F tel que ^\

A∈F

A=M

M est dit l’élément principal de F ou le centre de F dans ce cas F =F_M ={A∈E: M ⊆A}.

— Remarquons que dans l’exemple 3 si on prend G_A l’ensemble des éléments de P(E) contenant strictement A : G_A={B ⊆E:A B}. AlorsG_A est un filtre si et seulement si E=A∪ {a}, où a∈E−A dans ce cas G_A={E}. En effet si a, b∈A^c, a6=b alors A∪ {a} et A∪ {b}) sont des éléments deG_A mais (A∪ {a})∩(A∪ {b}) =A /∈ G_A.

Définition 10:

Soit F₁ et F₂ deux filtres sur E. On dit que F₁ est plus fin que F₂ si tout élément de F₂ est encore élément deF₁, et nous avons :

F₁ ≥ F₂ ⇔ F₂ ⊆ F₁. C’est donc la relation d’ordre d’inclusion qui est un ordre partiel sur l’ensemble de tous les filtres sur E.

En outre cet ordre est inductif. En effet si (F_i)_i∈I est une famille de filtres sur E tel que ∀i6=j F_i ⊆ F_j ouF_j ⊆ F_i, alors F =Ui∈IF_i est encore un filtre sur E qui majore (est plus fin que) tous les F_i.

La proposition suivante concerne la notion de filtre engendré par une partie non vide.

Proposition 4:

Soit σ une collection de parties de E. Il existe un filtre sur E contenant σ si et seulement si toute intersection finie d’éléments de σ est non vide.

Démonstration. La condition est nécessaire au vu des axiomes 1 et 2 de la définition des filtres.

Réciproquement, soitσ⁰ ={A₁∩...∩A_p:A_i∈σ}alors

F(σ) ={B ∈ P(E) :∃A∈σ⁰tel que A⊆B} est un filtre sur Econtenant σ.

En effet :

1. SiB₁, B₂∈ F(σ⁰), ∃A₁, A₂ ∈σ⁰ tel queA₁⊆B₁ et A₂ ⊆B₂ alors B₁∩B₂ ⊇A₁∩A₂∈σ⁰ d’oùB₁∩B₂∈ F(σ⁰).

2. SiA∈σ alorsA∈ F(σ⁰) et siφ∈ F(σ⁰)alors φ∈σ⁰ ce qui faux par hypothèse.

3. SiA∈ F(σ⁰) et A⊆B, ∃S ∈σ⁰, S⊆A⊆B ⇒B ∈ F(σ⁰).

On en déduit le corollaire suivant : Corollaire 2:

Soient F un filtre sur E, A⊆E non vide; il existe un filtre plus fin que F contenant A si et seulement si ∀F ∈ F, A∩F 6=φ.

2.2 Les Bases de filtre.

Les bases de filtre est une notion plus générale que les filtres, on les utilise fréquemment.

Définition 11:

Soit B ⊆ P(E) non vide. On dit que la collection B est une base de filtre s’il satisfait les deux conditions suivantes :

Section 2.2 – Les Bases de filtre. 9

1. φ /∈B

2. si A, B∈B, alors ∃D∈B tel que D⊆A∩B. Remarque .

Tout filtre est une base de filtre.

Exemples 3:

1. soit A une partie non vide de E; l’exemple le plus simple de base de filtre est B={A}.

2. soit (E,T) un espace topologique pour tout x ∈E, un système fondamental de voisinage de x est une base de filtre.

3. soit (E,T) un espace topologique, A⊆E non vide eta∈A.

On a B={V ∩A:V ∈ V(a)} est une base de filtre.

En effet :∀V ∈ V(a) V ∩A6=φ; et si U₁, U₂ ∈B, doncU₁ = V₁∩A etU₂ = V₂∩ A avec V₁, V₂ ∈ V(a).

Comme V1∩V2 est un voisinage de a, par définition on a :

∃U⁰ ∈ V(a) tel que U⁰ ⊆ V₁∩V₂, d’où

U⁰∩A∈B, etU⁰ ∩A⊆V₁∩V₂∩A= U₁∩U₂.

4. soit E⊆F et F un filtre sur E alors F est une base de filtre sur F.

5. soit I un intervalle non vide et E l’ensemble des parties finies de I, pour a ∈ E, on définit : Ea ={b∈E:a⊆b}. Alors B ={Ea, a∈E} est une base de filtre sur E. Pour cela vérifions les deux conditions :

— φ /∈B. car∀a∈E, Ea est non vide.

— SoientEa,Eb∈B; alors :

Ea∩Eb={c∈E:a⊆c} ∩ {c∈E:b⊆c}

={c∈E: (a∪b)⊂c}

=Ea∪b∈B.

6. On considère E=R, a∈R et soit B ={]a, a + ¹_n[, n∈N^∗}, il est clair que B est une base de filtre.

7. si E=R; B⁺

R ={]a,+∞[, a∈R} et B⁻

R ={]− ∞, a[, a∈R} sont deux bases de filtre.

8. si E=N, on a B_N={]n,+∞[, n∈N} est une base de filtre qui engendre le filtre de Fréchet.

9. soit (x_n)_n∈N une suite de points de E. alors B ={X_p : p ∈ N} où X_p = {x_n : n ≥p}. est une base de filtre.

Proposition 5:

Pour tout base de filtre B, il existe un plus petit filtre contenant B noté F_B et qui est défini par:

F_B={B ⊆E:∃A∈B tel que A⊆B}.

F_B est appelé le filtre engendré par B sur E. Démonstration.

SoitB une base de filtre, l’ensembleF_Bdéfinie ci-dessus contientB et que tout filtreF contenantB doit nécessairement contenirF_B; donc il nous suffit de prouver que F_B est bien un filtre.

On a :

i. φ /∈ F_B.

ii. si B, B⁰ ∈ F_B, alors il existe A, A⁰ ∈B tel que A⊆B etA⁰ ⊆B⁰ or A∩A⁰ ⊆B∩B⁰ il existe S ∈B tel queS ⊂A∩A⁰⊂B∩B⁰; d’oùB∩B⁰ ∈ F_B.

iii. siB ∈ F_B etB ⊆B⁰ alors il existe A∈B tel queA⊆B ⊆B⁰; d’oùB⁰∈ F_B.

Section 2.3 – Les Ultrafiltres. 10

Exemples 4:

1. pour B={A} on trouve F_B=F_A={B ⊆E:A⊆B}.

2. si a ∈Ret B={]a,a+_n¹[,n∈N^∗} on a le filtre engendré par B est défini par : F_B={]a, α[∪M :α∈]a,+∞[, M ∈ P(R)}

2.3 Les Ultrafiltres.

Dans cette partie on va utiliser l’axiome du choix.(voir l’appendice à ce sujet) Définition 12:

On dit qu’un filtre U est un ultrafiltre sur E s’il est maximal pour l’inclusion.

(i.e. pour tout filtre G sur E U ⊆ G ⇒ U =G).

Exemple 5:

- six∈E, U_x={A⊆E:x∈A} est un ultrafiltre sur E.

En effet : s’il existe un filtre G sur E tel que U_x G, donc ∃A∈ P(E) tel que A∈ G − U_x. Il s’ensuit que x /∈A, or {x} ∈ U_x, alors A∩ {x}=φ∈ G ce qui est impossible par hypothèse.

L’ultrafiltreU_x est appelé l’ultrafiltre trivial défini par x.

Remarque .

L’ultrafiltre trivial est le seul exemple que l’on puisse obtenir sans utiliser l’axiome de choix.

Le théorème suivant assure l’existence des ultrafiltres qui ne sont pas triviaux.

Théorème 3:

Étant donné un filtre , il existe toujours un ultrafiltre qui le contienne.

Démonstration. SoitF un filtre et S l’ensemble des filtres plus fin queF.

S est comme on l’a vu, inductif et non vide puisqu’il contient au moins F, donc d’après le théorème de Zorn (voir l’appendice), S possède un élément maximal qui est un ultrafiltre contenantF.

Section 2.3 – Les Ultrafiltres. 11

Exemples 6:

1. (E,T) un espace topologique séparé eta∈Etel que{a}n’est pas ouvert. On sait que B={V∩ {a}^c: V ∈ V(a)}est une base de filtre (voir Exemples 3 ci-dessus). D’après lethéorème(3) il existe un ultrafiltre U non trivial qui contient F_B. En effet :

Supposons que ∃b∈E tel queb∈ ^\

M∈U

M Si b6=a:

Puisque E est séparé, ∃V ∈ V(a) tel que b /∈V (c.à.d b /∈V ∩ {a}^c∈ F_B).

Et si b=aon a

∀M ∈B, a /∈M. Ceci prouve que ^\

M∈U

M =φ.

2. pour F_N le filtre de Fréchet, il existe donc un ultrafiltre non trivial U plus fin queF_N. Ici encore on a :

\

M∈U

M =φ; car ∀n∈N,∃M ∈B_N tel quen /∈M. Théorème 4 (caractérisation des ultrafiltres):

Soit G un filtre sur E. Alors les assertions suivantes sont équivalentes:

1. G est un ultrafiltre sur E.

2. ∀A⊆E, alors A∈ G ou A^c∈ G mais pas les deux.

3. ∀A, B⊆E, A∪B ∈ G ⇒A∈ G ou B ∈ G.

Démonstration. On va montrer les implications suivantes (1⇒2⇒3⇒1).

— (1⇒2) : Soit G un ultrafiltre sur E. supposons par l’absurde que

∃A⊆E tel queA /∈ G etA^c∈ G/ ; on peut remarquer qu’on a l’une des situations suivantes : (∀B ∈ G, B∩A6=φ)ou(∀B ∈ G, B∩A^c6=φ)

car sinon :

∃B₁ ∈ G tel queB₁∩A=φ(i.e.B₁ ⊆A^c) et ∃B₂ ∈ G tel que

B₂∩A^c=φ(i.e.B₂ ⊆A) c.à.d B₁∩B₂ =φ∈ G ce qui est impossible.

On note C=G ∪ {B∩A:B ∈ G},C est une base de filtre, soit donc

F_C le filtre engendré parC. Il est évident de remarquer queA∈ F_C; ceci prouve que F_C est un filtre qui contient par construction strictement G

(car A∈ F_C etA /∈ G).Contradiction.

Si maintenant il existe une partieA de Etel queA, A^c∈ G, alors φ=A∩A^c∈ G. Absurde.

— (2⇒3) : Soit A∪B ∈ G et supposons que A /∈ G.

On a (A∪B)^c∈ G/ i.e. A^c∩B^c∈ G/ et doncB^c∈ G/ car sinon on aurait A^c∩B^c∈ G. impossible.

et par conséquentB ∈ G.

— (3⇒1) : On suppose queG vérifie la condition (3.) mais n’est pas maximal ; considérons donc un ultrafiltre U tel queG U.

Soit A ∈ U − G on aA^c ∈ U/ i.e A^c ∈ G. Mais comme/ E = A∪A^c nécessairement A ∈ G.

Absurde.

Remarque .

- Comme l’est le cas pour un filtre, un ultrafiltre U sur E est dit principal (ou bien central) s’il existe un élément A de U, tel que ∀M ∈ U, A⊆M.

On appelle A le centre de U et on dit queU est centré en A.Dans ce cas on a un résultat très précis.

Section 2.4 – Filtre induit 12

Si U un ultrafiltre sur E centré en A, alors A est réduit à {a} où a un point de E. En effet : Si ∃a, b∈A, tel quea6=b. D’après le critère (2) des ultrafiltres on aurait : {a} ∈ U ou{a}^c∈ U; or A est le centre de U, alors A⊆ {a} ou A⊆ {a}^c. Contradiction.

Corollaire 3:

Si U est un ultrafiltre sur E et si A₁∪ · · · ∪A_n∈ U , alors l’un des A_k∈ U.

Démonstration. Sinon, on aurait par le critère (2) des ultrafiltres, A^c_k ∈ U pour tout k ≤ n; alors φ=A₁^c∩ · · · ∩A_n^c∩(A₁∪ · · · ∪A_n)∈ U ce qui n’est possible.

Remarque .

- Rappelons que le filtre de Fréchet sur E est le filtre F définit par : F ={A⊆E: le complémentaire de A est fini}. On a un autre résultat : Un ultrafiltre non principal contient le filtre de Fréchet sur E.

En effet si un ultrafiltreU contient une partie finieA={j₁;. . .;jn}alors il contient l’un des singletons {j_i} et alors U =F_ji . Par conséquent un ultrafiltre non principal contient le filtre de Fréchet sur E Corollaire 4:

Pour qu’une base de filtre B soit une base d’ultrafiltre, il faut et il suffit que ∀A⊆ E non vide, on ait ∃S∈B tel que S ⊆A ou bien S⊆A^c.

Démonstration. La démonstration en est immédiate à partir du critère (2.) des ultrafiltres.

Proposition 6:

Soit U un ultrafiltre sur E et A⊆E tel que A∩U 6=φ, ∀U ∈ U; alors A∈ U.

Démonstration. Supposons que A /∈ U. Considérons la base de filtre B = {A∩U : U ∈ U }. Nous avons A ∈ F_B, A /∈ U et U ⊆ F_B entraine que U F_B. Contradiction avec le fait que U est un ultrafiltre surE.

2.4 Filtre induit

Proposition 7:

Soient F un filtre sur E, A∈ P(E) non vide. Pour que la trace F_/A de F sur A définie par F_/A = {F ∩A : F ∈ F } soit un filtre sur A, il faut et il suffit que ∀F ∈ F, A∩F 6=φ.

Démonstration. (⇒) Cette implication est immédiate à partir de la définition du filtre.

(⇐) Montrons queF_/A est un filtre sur A.

i on aφ /∈ F_/A

ii si M, N ∈ F_/A i.e. ∃M⁰, N⁰ ∈ F tel queM =M⁰ ∩A etN =N⁰∩A, or

M∩N = (M⁰∩A)∩(N⁰∩A) = (M⁰ ∩N⁰)∩A; alors M∩N ∈ F_/A, carM⁰∩N⁰ ∈ F. iii de même si M ∈ F_/A etM ⊆P ⊆A;

doncM =M⁰ ∩A où M⁰ ∈ F et on a : P =M∪P

= (M⁰∩A)∪P

= (M⁰∩A)∪(P∩A)

= (M⁰∪P)∩A commeM⁰ ∪P ∈ F doncP ∈ F_/A.

Section 2.5 – Image directe et image réciproque d’une base de filtre 13

Définition 13:

Si F_/A={F∩A:F ∈ F } est un filtre sur A, on dit que F_/A est induit par F sur A.

En particulier si A∈ F, alors F_/A est un filtre induit par F sur A.

Exemples 7:

1. soient (E,T) un espace topologique ; A⊆E non vide. et x ∈A; on sait que F =V(x) est un filtre surE

alors F_/A ={V ∩A:V ∈ V(x)} est filtre induit par F sur A.

2. soit F_M ={B ⊆E:M ⊆B} et siM ⊆A donc

F_M/A={B ⊆A:M ⊆B} est un filtre induit par F_M sur A.

2.5 Image directe et image réciproque d’une base de filtre

Soient B une base de filtre sur F et f une application de E dans F, l’image reciproque de B est définie par f⁻¹(B) ={f⁻¹(B) :B∈B}.

Si φ /∈f⁻¹(B) alors : f⁻¹(B) est une base de filtre sur E. En effet : si f⁻¹(M), f⁻¹(N)∈f⁻¹(B); on a :

f⁻¹(M∩N)⊆f⁻¹(M)∩f⁻¹(N)

et f⁻¹(M ∩N)∈f⁻¹(B) car M∩N ∈B.

Définition 14:

Si f⁻¹(B) ={f⁻¹(B) : B ∈B} est une base de filtre sur E f⁻¹(B) est appelée image réciproque de la base de filtre B. Le filtre engendré par f⁻¹(B) est encore appelé image réciproque du filtre engendré par B notéF_f−1(B)

Remarque .

si B est un filtre, f⁻¹(B) n’est en générale qu’une base de filtre.

Exemple 8:

Soient A ⊆ F, j : A → F l’injection canonique et soit B une base de filtre sur F telle que : ∀B ∈ B, A∩B 6=φ(i.e. φ /∈j⁻¹(B))et on a :

F_j−1(B)={M ⊆A:∃B ∈B tel que A∩B ⊆M} notons G le filtre engendré par B sur Falors F_j⁻¹_(B)=G_/A

Définition 15:

Soit B une base de filtre sur E et f :E→ F une application, alors f(B) ={f(B) : B ∈B} est une base de filtre. f(B) est appelée image directe de la base de filtre B.

Le filtre engendré parf(B)est appelé l’image directe du filtre engendré par f(B)notéF_f(B). Exemples 9:

1. On prend E⊆F, j :E→F l’injection canonique etB une base de filtre surE alors F_f(B)= {A⊆F, ∃B∈B tel que B ⊆A}

2. Soit (xn)n≥0 une suite d’élément de E. Soit B_N = {A_p : p ∈ N} où Ap = {n ∈ N; n ≥ p}

B_N est la base de filtre qui engendre le filtre de Fréchet. La suite(xn)_n≥0 est considérée comme l’applicationf :N→E, posons X_p ={x_n, n≥p} alors :

F_f(B

N)={A⊆E: ∃p∈N tel que Xp ⊆A}

F_f(B

N)est appelée le filtre de Fréchet de la suite ou le filtre élémentaire associé à la suite.

Section 2.6 – Opérations sur les Filtres 14

2.6 Opérations sur les Filtres

Notons F(E) l’ensemble des filtres sur E. Proposition 8:

Soit (F_α)_α∈I une famille d’éléments de F(E) alors ^\

α∈I

F_α ∈F(E) et on a:

∀α∈I, ^\

α∈I

F_α ⊆ F_α. Démonstration.

i. on aφ /∈ F_α, ∀α∈I et ^\

α∈I

F_α6=φcarE∈ F_α ∀α∈I. ii. soient A, B ∈ ^\

α∈I

F_α alors∀α∈I, A∈ F_α et B∈ F_α d’où∀α∈I, A∩B ∈ F_α doncA∩B∈ ^\

α∈I

F_α. iii. soitA∈ ^\

α∈I

F_α et soitA⊆B ⊆Eor∀α ∈I, B∈ F_α doncB ∈ ^\

α∈I

F_α

Remarque .

La réunion de deux filtres sur E n’est pas en générale un filtre sur E. Prenons l’exemple de F_A et F_B avec A∩B=φ.

Proposition 9:

Soit (F_i)_i∈I une famille d’éléments de F(E). Alors:

\

i∈I

F_i ={A⊆E:A=^[

i∈I

F_i, F_i ∈ F_i} Démonstration.

- Soit B∈ ^\

i∈I

F_i doncB ∈ F_i, ∀i∈I; ainsi B =^S_i∈IF_i où F_i =B. Et par suite B ∈ {A⊆E:A=^S_i∈IFi, Fi∈ F_i}.

- Soit B∈ {A⊆E:A=^S_i∈IF_i, F_i ∈ F_i} alorsB =^[

i∈I

F_i où F_i ∈ F_i; puisque Fi∈ F_i etFi ⊆B, ∀i∈I alorsB ∈ F_i, ∀i∈I et par conséquentB ∈ ^\

i∈I

F_i.

Proposition 10:

Soit F ∈F(E) alors: F=^\{U : F ⊆ U, U est un ultrafiltre sur E} Démonstration.

— Il est clair que F ⊆^\{U : F ⊆ U, U est un ultrafiltre sur E} .

— Supposons par l’absurde que :

∃A∈^\{U : F ⊆ U, U est un ultrafiltre sur E} et queA /∈ F.

AlorsF ∩A^c6=φ, ∀F ∈ F car sinon∃F ∈ F tel queF ⊆A d’oùA∈ F impossible.

posonsB={F∩A^c:F ∈ F }.B est une base de filtre carB=F_/Ac; on voit que F ⊆ F_B. Soit U un ultrafiltre sur Equi contient F_B. On a F ⊆ U d’où A∈ U, et on a

A^c∈ F_B⊆ U, il en découle que A∩A^c∈ U. Contradiction.

Chapitre 3

Limite de filtre

3.1 Filtres convergents

Définition 16:

Soient Eun espace topologique, F un filtre sur Eet x∈E. On dit que :

- F converge vers x si F contient le filtreV(x) (l’ensemble des voisinages de x).

- x est point d’adhérence de F si x∈ ^\

A∈F

A.

Exemple 10:

Si (x_n)_n≥0 une suite convergente dans (E;T) versa∈E; alors le filtre élémentaire associé à (x_n)_n≥0 converge vers a.

Remarquons que si E est séparé, la limite est nécessairement unique car sinon si x 6= y, ∃U ∈ V(x), V ∈ V(y) tel que U∩V =φdonc U∩V =φ∈ F absurde.

Proposition 11:

Les assertions suivantes sont vérifiées:

i. Si F converge vers x, alors x est point d’adhérence de F. ii. Si x est point d’adhérence de F, alors

il existe un filtre plus fin qui converge vers x.

iii. Si U est un ultrafiltre, si l est un point d’adhérence de U, alors l est limite de U.

Démonstration.

i. Soit A∈ F, alorsA∩V 6=φ, ∀V ∈ V(x) et doncx∈A.

ii. Commex est point d’adhérence deF, d’aprèsla proposition (4) on peut considérer le filtre engendré parF etV(x). Alors ce filtre converge vers x.

iii. On applique le point précédent, sachant queU n’admet pas de filtre strictement plus fin.

Remarque .

Cette proposition est capitale. Remarquons dans le point (ii) la similitude avec les suites qui admettent une valeur d’adhérence et les suites extraites (pour les espaces métriques).

3.2 Filtre image, limite d’une fonction

Définition 17:

Soient E,F deux ensembles, F un filtre sur E et f :E→F une fonction.

Alors {B ⊆F: ∃A∈ F, B=f(A)} est une base de filtre.

On appelle filtre image de F par f le filtre engendré par cette base de filtre qu’on noteraF_f. 15

Section 3.2 – Filtre image, limite d’une fonction 16

Lemme 1:

B appartient au filtre image F_f si est seulement si f⁻¹(B) appartient à F. Démonstration. (⇒) Si B ∈ F_f, alors ∃A∈ F : f(A)⊂B ⇒A⊂f⁻¹(B)

⇒f⁻¹(B)∈ F.

(⇐) sif⁻¹(B)∈ F, alorsf(f⁻¹(B))⊂B ⇒B∈ F_f Proposition 12:

Le filtre image d’un ultrafiltre sur E est un ultrafiltre sur F.

Démonstration.

Soient E,Fdeux ensembles,f :E→F une fonction etU un ultrafiltre sur E.

Fixons une partieA deFtelle que A /∈ U_f, alors f⁻¹(A)∈ U/ par conséquentEf⁻¹(A)∈ U est donc f⁻¹(FA) =f⁻¹(A^c) = (f⁻¹(A))^c∈ U. Ceci montre queA^c∈ U_f et doncU_f est un ultrafiltre.

Proposition 13:

Soient E,F deux espaces topologiques x ∈ E et f : E → F une fonction. Alors f est continue en x si et seulement si F_f converge vers f(x) pour tout filtre F

qui converge vers x.

Démonstration.

Si f est continue, soit F un filtre qui converge vers x et soit V un voisinage def(x). Comme f est continue en x, f⁻¹(V) est un voisinage de x par conséquent f⁻¹(V) ∈ F, d’où V ∈ F_f. Ainsi F_f converge vers f(x).

Réciproquement : soit V un ouvert contenantf(x) et V(x) le filtre des voisinages de x. On sait que f(V(x)) converge vers f(x) par conséquent V ∈ f(V(x)) i.e. f⁻¹(V) ∈ V(x) et donc f⁻¹(V) est un voisinage de x.

Remarque .

On voit l’avantage de pouvoir considérer les filtres et pas seulement les suites. Le théorème(2) est valable pour des espaces topologiques métrisables, La proposition(13) est valable avec des espaces topologiques quelconques.

Pour bien avancer vers les applications des filtres il nous faut comprendre la convergence des filtres dans les espaces produits. Rappelons que la topologie produit sur E = ^Y

i∈I

E_i est la topologie la moins fine rendant toutes les projections ^Q_i :E → Ei continues, une base d’ouverts pour cette topologie est donnée par les ensembles de la forme.

{(x_i)_i∈I,∀j∈J xj ∈Uj} = ^Y

i∈J

Uj×^Y

j /∈J

Ej

où J ⊆I est fini, ∀j∈J, Uj est ouvert dans Ej. Il est alors facile de voir qu’une suite(yn) converge dans E si chaque ^Q_i(yn) converge dans Ei.

Proposition 14:

Soit (Ei)_i∈I une famille d’espaces topologiques, et E=^Q_i∈IEi muni de

la topologie produit, un filtre F sur E est convergent si chacun des filtres images ^Q_i(F) est convergent.

Démonstration.

Puisque chaque projection est continue ^Q_i E → Ei, donc ^Q_i(F) est convergent dés que F l’est.

Supposons maintenant que F est un filtre surE tel que chaque^Q_i(F) converge vers x_i ∈E_i. Fixons un voisinage U de x qu’il est de la forme :

U ={y∈E : ∀j∈J Π_j(y)∈U_j}

où J ⊆I est un ensemble fini et∀j ∈J U_j est un ouvert de E_j qui contientx_j

Par hypothèse, on sait que∀i∈I,Π_i(F) converge versx_i, en particulier, pour toutj∈J on doit avoir

Section 3.3 – Filtres dans les espaces métriques 17

U_j ∈ Π_j(F), c’est à dire qu’il existe V_j ∈ F tel que Π_j(V_j) ⊆ U_j. Introduisons V = ^\

j∈J

V_j, comme F est un filtre on sait que V ∈ F, et de plus on a pour tout j ∈J que Π_j(V) ⊆Π_j(V_j) ⊆ U_j. Ceci prouve queV ⊆U et doncU ∈ F i.e.F converge versx.

Dans ce paragraphe, (Y,T) désigne un espace topologique séparé, et (E,F) un espace filtré. Soit ϕ: (E;F)−→Y une application.

Définition 18:

On dit que ϕ admet pour limitel∈Y selonF siV(l)⊆ F_ϕ. Et on écrit l = lim

F ϕ(x).

(i.e. si l’image directe du filtre F converge versl).

Proposition 15:

ϕ admet pour limite l∈Y selon F si et seulement si:

∀V ∈ V(l), ∃F ∈ F tel que ϕ(F)⊆V

Démonstration. (⇐) Si V ∈ V(l) alors ∃F ∈ F tel que ϕ(F) ⊆ V, on a donc F ⊆ ϕ⁻¹(ϕ(F)) ⊆ ϕ⁻¹(V). Ceci implique queϕ⁻¹(V)∈ F; ce qu’est par définition V ∈ F_ϕ.

(⇒) Si V ∈ V(l), on a en particulier V ∈ F_ϕ i.e.F =ϕ⁻¹(V)∈ F et alors ϕ(F) =V ⊆V.

Exemples 11:

- si E=N ,B_N={[n, +∞[, n≥0}, donc lim

F_B

N

f(x) = lim

n→+∞f(x).

- si E=R ,B_R={[a, +∞[, a∈R}, donc lim

FB R

f(x) = lim

a→+∞f(x).

-soient (E,T) un espace topologique eta∈E, prenons F =V(a), donc lim

F f(x) = lim

x→af(x).

Proposition 16:

Soient (E,F),(Y,T) séparé et f : E7−→Y une application.

Soit a∈E, si a∈^T_S∈FS, alors on a: l = lim_Ff(x)⇒l=f(a).

Démonstration. Si l6=f(a). SoitU un ouvert contenantlmais pas f(a), alors

∃S∈ F tel quef(S)⊆U. Or a∈S doncf(a)∈U; contradiction.

3.3 Filtres dans les espaces métriques

L’objet de ce suit est de montrer comment les filtres peuvent être utile dans un espace métrique pour caractériser la convergence et la complétude.

Définition 19:

Soit (E, d) un espace métrique et soit F un filtre sur E. On dit que F est un filtre de Cauchy si et seulement si :

∀≥0, ∃M ∈ F tel que diam(M)≤. Lemme 2:

L’espace métrique est complet si et seulement si, tout filtre de Cauchy de E converge dans E.

Théorème 5:

Soient F un filtre de Cauchy et x∈E.

Alors les assertions suivantes sont équivalentes:

(i) F converge vers x.

(ii) Pour tout filtre G de E tel que F ⊆ G, on a G converge vers x.

Section 3.3 – Filtres dans les espaces métriques 18

Démonstration. L’implication (i) ⇒ (ii) est claire.

Montrons que (ii) ⇒ (i).

Soit G un filtre deE contenantF qui converge versx.

Soit M ∈ F. Pour tout voisinage U de x, nous avons U, M ∈ G; par suite on a

U∩M 6=φ, ∀U ∈ V(x). On déduit quex∈M et nous avonsd(x, m) ≤ diam(M), ∀m∈M. Puisque six∈M, alors∃(xn)_n≥0 d’éléments de M tel quexn −→ xd’où

d(x_n, m) −→ d(x, m) ; ord(x_n, m)≤diam(M) ; à la limite d(x, m)≤diam(M), ∀m∈M.

Soit >0.

CommeF est un filtre de Cauchy, ∃M ∈ F tel quediam(M)≤.Alors

∀y ∈ M, d(x, y) ≤ diam(M), ainsi M ⊂ B(x, ), où B(x, ) est la boule ouverte de centre x et de rayon.

Par conséquentB(x, )∈ F ce qui montre queF contient le filtreV(x).

On conclut queF converge vers x.

Corollaire 5:

Soit (E, d) un espace métrique compact alors E est complet.

Théorème 6:

Soit (E, d) un espace métrique. Soit Y ⊆E. Alors on a:

(i) Si (Y, d) est complet, alors Y est fermé.

(ii) Si (E, d) est complet et Y est fermé, alors Y est complet.

Démonstration.

(i) SiY n’est pas fermé, alors il existerait un pointx adhérent à Y mais qui n’est pas dans Y. Alors V_x∩Y serait un filtre de Cauchy dansY qui n’a pas de limite dansY, ce qui est une contradiction.

Inversement, supposons que Y est fermé et que (E, d) est complet. Soit G un filtre de Cauchy dans (Y, d), montrons queG converge vers x∈Y.

SoitU le filtre surEengendré par la base de filtreG. CommeE est supposé complet alorsU converge vers x∈E, et on a Y ∈ G ⊆ U, d’oùx∈Y =Y (car Y est fermé).

On conclut que (Y, d) est complet.

Définition 20 (Critère de Cauchy):

Soit (E,F) un ensemble filtré, (Y, d) un espace métrique et f :E7→Y une application.

On dit que f vérifié le critère de Cauchy selon F si et seulement si

∀ >0,∃S∈ F : ∀s, s⁰ ∈S, d(f(s), f(s⁰))< (i.e. diam(f(S))< ) . Si lim_Ff(x) existe , alors f vérifie le critère de Cauchy selon F.

Proposition 17:

Soient (E,F) un ensemble filtré, (Y, d) un ensemble complet et f :E7→Y une application vérifiant le critère de Cauchy selon F.

Alors f admet une limite selon F.

Démonstration. On a :

∀n≥1, ∃S_n∈ F, diam(f(S_n))≤ ¹_n. Posons C_n=f(S_n), donc diam(C_n)≤ _n¹. n= 1, Γ₁=S1∈ F, soit Λ₁ =f(Γ₁).

n= 2, Γ₂∈ F, Γ₂ ⊆S₁∩S₂ soit Λ₂=f(Γ₂).

. . . .

n=k, Γ_k ∈ F, Γ_k ⊆Γ_k−1∩S_k soit Λ_k =f(Γ_k).

Ainsi on construit une suite (Λ_n)_n≥1, tel que : -Λ_n=f(Γ_n), Γ_n∈ F, Γ_n⊆S_n.

-Λ_n⊆C_n, diam(Λ_n)≤ 1 n.

-(Λ_n)n≥1 est une suite décroissante de fermés non vide. Comme (Y, d) est complet, on conclut que

Section 3.3 – Filtres dans les espaces métriques 19

∃l∈Y tel que ^\

n≥1

Λ_n={l}.

Quitte à montrer quel= lim

F f(x).

Soit >0, ∃N : ∀n≥N ⇒ _n¹ < ₂. l∈f(Γ_n)⇒ ∃mn∈Γ_n d(l, f(mn))< ₂ Soit n≥N, j∈Γ_n, alors :

d(f(j), l) ≤ d(f(j), f(mn)) +d(f(mn), l) ≤ ¹_n+₂ <