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Filtres acoustiques
Fr. Canac
To cite this version:
Fr. Canac. Filtres acoustiques. J. Phys. Radium, 1926, 7 (6), pp.161-179. �10.1051/jphys- rad:0192600706016100�. �jpa-00205250�
LE JOURNAL DE PHYSIQUE
ET
LE RADIUM
FILTRES ACOUSTIQUES
par M. Fr. CANAC
Directeur scientifique du laboratoire du Centre d’Etudes de Toulon.
Sommaire. 2014 Il existe de grandes anologies entre les phénomènes qui régissent la propagation d’un courant électrique dans un fil et d’un son dans un tuyau.
A la différence de potentiel électrique, cause du courant, on peut faire correspondre la différence de pression, cause du son.
A l’intensité du courant électrique, on peut faire correspondre la vitesse des molé- cules d’air transmettant un son.
Si l’on compare la loi qui régit une oscillation électrique dans un circuit formé d’une self-induction et d’une capacité, avec celle qui régit un mouvement pendulaire, on
sait que l’on peut faire correspondre : à la self-induction, le coefficient d’inertie; à la résis- tance, le coefficient de frottement ; à la capacitance, le coefficient d’élasticité.
Par analogie, on appellera self-inductance acoustique un organe ayant uniquement de l’inertie : il sera formé d’orifices réunissant le tube conducteur principal à l’extérieur.
On appellera, de même, capacité acoustique un volume fermé communiquant avec le tube principal.
Les combinaisons de self-inductances et de capacités acoustiques permettront de
construire des filtres acoustiques en suivant les schémas connus pour les filtres élec- triques. On arrive ainsi à constituer des filtres passe-bas, des filtres passe-haut, des filtres
passe-moyen.
Ces appareils présentent, au point de vue de l’écoute des signaux, un grand intérêt pratique, car ils permettent d’éliminer les régions duspectre sonores riches en parasites et de faciliter l’audition.
Siaiis VI. TomE VII. JUIN 1926 ~1’° 6.
1. Définition. - Les filtres acoustiques sont des appareils que l’on interpose dans un tuyau conducteur de son et qui ne laissent passer qu’une partie du spectre sonore.
On appelle filtre « passe-bas » ceux qui laissent passer tous les sons dont la
fréquence est inférieure à une fréquence limite; ils arrètent, au contraire, tous les sons plus
hauts que cette fréquence.
On appelle filtres « passe-haut » ceux qui laissent passer tous les sons dont la
fréquence est supérieure à une fréquence limite; ils arrêtent, au contraire, tous les sons plhs
bas que cette fréquence.
- On appelle filtres « passe-moyen », ou filtres cc de bandes », ceux qui ne laissent
passer que les sons compris entre deux fréquences limites; ils arrêtent, au contraire, tous
les sons en deçà et au delà de cette bande de fréquence.
2. Circuits acoustiques, circuits électriques. - Les filtres acoustiques se cons-
truisent suivant les mêrnes princil)es ,que les filtres électriques. Cette analogie provient de l’analogie fondamentale initiale que l’on peut créer entre un « courant électrique» et un
« courant sono)-e ».
On supposera ,tout d’abord que les ditnensions du filtre sont petites vis-à-vis de la
lorzgueur d’onde. Dans ces conditions, toutes les tranches d’air du filtre sont en phase. Le filtre est assimilable à un conducteur.
L-3 JOURNAL DUE PHYSIQUE 13T LUE RADIUM. - SÉRIE VI. -» T. VII. - N° 6. .... JUIN 19~-’6. ii.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:0192600706016100
A la différence cle I)oteiiiiel électrique, nous ferons correspondre la différence de pres- sion
A l’intensité du courant électrique, nous ferons correspondre la vitesse de déplacement
des molécules d’air, multipliée par la section du tube. Cette grandeur correspond au
« débit » dans un courant d’eau. Le rapport de ces deux grandeurs, différence de pression
et intensité du courant sonore, sera « l’impédance acoustique » correspondant à l’impédance électrique.
3. Self-inductions, capacités, résistances. - On peut pousser plus loin les ana- logies et tâcher de faire correspondre aux self-inductions et capacités électriques des self-
inductions est capacités acoustiques.
Pour cela, il faut se rappeler la grande analogie qu’il y a entre les phénomènes élec- triques et les phénomènes mécaniques.
Trois propriétés fondamentales de la matière entrent en jeu dans les phénomènes mécaniques : ce sont l’inertie, l’élasticité et la viscosité.
L’inertie est la propriété qu’a la matière de réagir à tout changement de vitesse.
On sait que si l’on veut appliquer à un corps un changement de vitesse il faut lui appliquer
une force proportionnelle à la rapidité de ce changement, c’est-à-dire à la dérivée de la ,
vitesse par rapport au temps, ou encore à la dérivée seconde du déplacement par rapport
au temps. Les forces d’inertie sont de la forme
L’élasticité est la propriété qu’a la matière de réagir non plus aux changements
de vitesse, mais aux changements de position. Pour déformer une membrane, il faut lui
appliquer une force qui, en première approximation, est proportionnelle au déplacement.
Cette force est de la forme lix.
Enfin, la viscosité ou le frottement est la propriété qu’a la matière de réagir à une
vitesse. Pour déplacer d’un mouvement uniforme un corps dans un milieu visqueux ou
d .
résistant, il faut lui appliquer une force proportionnelle à sa vitesse : f v ou f. d .dt*
Si, enfin, un corps est animé d’un mouvement oscillatoire, en écrivant qu’à chaque
instant les forces d’inertie équilibrent des autres forces : force de°viscosité, force d’élasticité,
force appliquée, on obtient une relation de la forme suivante :
Il étant la somme des forces extérieures appliquées au corps.
Cette équation est de la même forme que celle qui régit un courant électrique dans un
circuit ayant de la self-induction, de la capacité et de la résistance.
E étant la force électromotrice appliquée au conducteur; à l’inertie, correspond la self- induction ; à la viscosité ou au frottement, correspond la résistance; à l’élasticité, corres- pond l’inverse de la capacité. Enfin, au déplacement correspond la quantité d’électricité ; à
la vitesse correspond l’intensité
à l’accélération, correspond la grandeur
’~. Self-induction acoustique. z Il est maintenant facile de voir comment nous
pourrons réaliser uue self-induction acoustique. Elle sera constituée par une tranche d’air ’
ayant ujti~ueme~2t de l’inertie. Si, dans le tuyau sonore, nous perçons un trou latéral A B
(fig. i a) ayant un certain bord, la lame d’air A B vibrera comme une membrane douée uniquement
d’inertie. En effet, les molécules d’air de cette
lame, sous l’effet de l’augmentation de pression Fig. 1 a.
due au son, peuvent se déplacer sans eprouver, de z
la part de l’atmosphère extérieure, une résistance élastique notable.
Si cette membrane d’air est soumise à la pression alternative P, nous aurons la relation :
.S étant la surface du trou A B.
Cette équation est de la même forme que celle d’un circuit ayant uniquement de la
self-induction :
ou
Mais nous avons dit plus haut que l’intensité du courant sonore était le produit
de la surface du conducteur par la vitesse de déplacement des molécules.
L’équation (3) devient, dans ces conditions :
La self-induction acoustique constituée par la membrane d’air A B est donc égale à :
p étant la densité de l’air, et 1, la hauteur du petit cylindre A B.
En fait, la masse d’air mise en mouvement est un peu plus grande que celle contenue dans le cylindre A R. En se reportant au calcul fait par lord Rayleigh dans le cas d’un réso- nateur, on doit augmenter la longueur 1 de la quantité -,. R12. La formule (4) devient alors :
~. Capacité acoustique. - De même, si nous supposons un circuit électrique ayant uniquement de la capacité, nous aurons à chaque instant la relation :
Cette relation sera analogue à celle qui donne le mouvement d’une membrane douée
uniquement d’élasticité ,
Une petite cavité adjacente à un tuyau peut, physiquement, jouer le rôle d’une telle membrane (fig. 1 b). A une pression qui arrive,
l’air de la cavité se comprime comme un ressort.
L’effet d’élasticité l’emporte de beaucoup sur
l’effet d’inertie; les déplacements sont d’ailleurs
Fiâ, t b.
petits.
Dans ces conditions, la capacité acoustique sera définie par la relation :
On peut donner à cette relation une forme intéressante, faisant intervenir le volume de la cavité. Assimilons celle-ci à un petit piston de volume V : -.
En remarquant que : et que
(~’ ~ module d’Young), on obtient :
Or, E est lié à la vitesse du son par la formule bien connue : -.
(a, vitesse du son dans l’air; p, densité de l’air). Donc :
6. Résistance acoustique. - En poursuivant les analogies précédentes, on voit que la résistance acoustique sera constituée par le frottement que le tuyau exerce sur l’air en
mouvement. Sur de petits trajets et pour les tuyaux de diamètres suffisamment grands,
cette résistance est négligeable. z
7. Inertance et capacitance d’un tube. - Considérons la tranche d’air comprise
entre deux points A et B d’un tube (fig. 1 c). Nous supposerons greffées en ces points des
Fig. 1 6.
capacités ou des self-inductances. La tranche d’air contenue entre A et B étant douée à la fois d’inertie et d’élasticité présente évidemment de la self-induction et de la capacité,
Deux questions se posent alors :
i 0 Quel est le rôle prédominant dE chacune d’elles ?
g® Devons-nous les considérer comme étant en parallèle ou en série
Si elles sont en série, elles sont indépendantes les unes des autres :
or, la pression totale dans la section du tube agit sur la masse de l’air. De plus, la capacitance provient de l’action des parois du tube environnant. Celle-ci se fait plus sentir
dans la périphérie que dans la partie centrale. Donc inertance et capacitance agissent
évidemment tout le long du tube et non pas l’une après l’autre. Ceci conduit à supposer
qu’un élément de tube est assimilable à une capacitance et à une inertance en parallèle.
Son impédance est, en définitive, 1
Il importe de voir la valeur relative de l’inertance et de la capacitance, afin de simplifier les calculs.
Nous déterminerons leur importance en examinant plus loin les différentes combinaisons qui s’offrent.
8. Filtres acoustiques. - D’après ce qui vient d’être dit, l’analogie entre les circuits
électriques et les circuits acoustiques n’est donc pas seulement une analogie de mots mais
une analogie physique. Les phénomènes qui entrent en jeu dans la propagation d’un
courant électrique dans un fil, ou d’un son dans un tuyau, se traduisent par des actions de même ordre (intensité, action proportionnelle à l’intensité, action proportionnelle à
la vitesse de variation de l’intensité, etc.).
Nous avons trouvé en acoustique des équivalents des capacités et des self-inductances
en électricité. En combinant ces capacités et ces self-inductances acoustiques, on doit
trouver des résultats identiques à ceux obtenus en combinant de la même façon les organes
correspondants en électricité.
En particulier, on peut construire des ensembles constituant des filtres acoustiques qui rappellent en tous points les filtres électriques. Ceux-ci ont été signalés la première fois par Stewart (’~ qui a établi directement leurs formules de constitution.
9. Filtres électriques. - Les filtres électriques correspondent aux 3 schémas
suivants : Passe-haut :
Leur limite de filtration est :
Passe-bas ~ :
Leur limite de filtration est :
Fig. i.
Passe-nzoyen :
°
Leurs limites de filtration sont :
Fig. 2.
10. Réalisation de filtres acoustiques.
fig. 3.
cherchons à réaliser, avec les organes dont nous avons parlé plus haut, des
filtres acoustiques des 3 types précé-
dents :
Passe-Izaut : ces filtres seront formés par le tube conducteur prin- cipal percé de trous jouant le rôle de self-inductance.
Ils seront donc du schéma donné par la fig. 4.
Fi-. 4. Il faut remarquer ici que les élé-
"" "
ments du tube principal compris entre
2 self-inductances devraient être uniquement des capacités, alors que nous avons dit (1) STBWAIRT, Physical Reviett,,, t. 20 (1922), p. 528. _
plus haut qu’une fraction de tube pouvait être assimilée à une capacité et à une self-
inductance en parallèle (fig. 5). ,
Fig. :,.
Le filtre acoustique correspond donc au filtre électrique suivant :
L’impédance C1 1 des éléments de la ligne principale est remplacée par : 1W
La, limite de filtration, au lieu d’être
est déterminée par la relation :
d’où l’on tire :
Remplaçons, dans ces formules, les valeurs des self-inductances et des capacités par les expressions déjà trouvées, à savoir :
ou et
P, densité de l’air; a, vitesse du son dans l’air; 1, hauteur du tube formant self-
inductance; 5, section du tube formant self-inductance; V, volute de la capacité.
Soit R,, le rayon du tube central conducteur du son; R2, le rayon des trous adjacents
formant self-inductance.
Affectons de l’indice i les paramètres relatifs au tube principal, et de l’indiee 2, ceux
relatifs aux tubes adjacents.
La fréquence limite sera donnée par la relation :
Dans le cas où le rayon de la self-inductance n’est pas négligeable devant sa longueur,
7t R2
n remplacera, dans la formule précédente, 12 par 1, + 20132013. °
tuf. Détermination expérimentale des régions de la filtration et de son
intensité. - Pour faire ces déterminations, nous avons pris comme source sonore :
1° des diapasons préalablement étalonnés ; 2° la membrane d’un téléphone actionné par un
hétérodyne à fréquence musicale. Celle-ci était étalonnée chaque fois à l’oreille par compa- raison avec les diapasons ou les notesid’uii piano.
9 ° Jlét/zode du téléphone shunté. - L’hétérodyne à fréquence musicale actionne 2 téléphones identiques placés en série Tt et Ts 2 (fig. 6). Le
deuxième, T2’ est shunté par une résistance l~.
Devant le premier téléphone est disposé un tube de 2 m de long comportant le filtre vers son milieu. Devant le second télé-
phone est disposé un tube de même longueur que le premier. Un
commutateur C permet, en E, de faire l’écoute avec ou sans filtre.
- 8... ..
La mesure consiste à régler la résis- tance de façon à obtenir des sons de
rnême intensité.
Admettons que l’intensité sonore soit proportionnelle au carré de l’in- tensité du courant électrique traver- sant les 2 téléphones ; soit T le coef-
ficient de transmission du filtre, et r,
Fig. 6.
la résistance des 2 téléphones : IF, le ô
courant électrique dans le téléphone alimentant le filtre, et ls, le courant électrique dans le téléphone shunté.
Au moment de l’égalité des sons :
Cette méthode présente deux inconvénients principaux.
Les courants dans les téléphones ayant des intensités différentes, les amplitudes de
vibration des membranes ne scnt pas les mêmes et la membrane qui se déforme le plus peut
introduire des sons supérieurs parasites qui iiiodifient le timbre de la note.
Le téléphone shunté a, d’autre part, un a1Î1or1isse»ie>it différent de l’autre, ce qui peut modifier la note du son rendu. Nous avons pu ainsi observer des écarts (le 1/2, ton. Néan-
moins, avec une certaine habitude et contrairement à ce qui arrive avec les couleurs, on peut
bien apprécier les intensités de sons peu différents
Dans cette méthode, les 2 tuyaux de conduite de son doivent avoir méme longueur, de façon que les atténuations de son qu’ils produisent se compensent.
Il convient aussi de mettre les téléphones i ou 2 cm en arrière de l’extrémité des
tuyaux. Ils se comportent alors comme s’ils étaient en atmosphère libre et il y a moins à craindre les effets de réflexion du son à l’extrémité opposée des tuyaux ou dans les éléments du filtre.
Le tableau suivant donne les résultats obtenus avec un filtre constitué par un tube de 20/22 mm de diamètre percé tous les centimètres par 3 trous de 3 mm de dia- mètre.
La résistance du téléphone était r= 3 000 ohms. La troisième colonne donne les
résistances R observées, la quatrième donne la valeur de
Pour mi3 et surtout pour sol,, la mesure a été rendue impossible par suite de la pré-
sente du premier harmonique que l’on n’a pas pu éliminer.
2° Méthode du couplage électromagraétiq~ue. - L’hétérodyne alimente les 2 téléphones précédents Ti et T2 et une bobine B1 placée en série. A celle-ci est couplée une bobine B,
en sérk avec un téléphone T8.
Un commutateur à 3 directions
permet d’écouter successivement les 3 téléphones (fig. 7).
La mesure consiste à déter- miner les distances D et d de
B, B2 pour lesquelles le son
dans T3 a même intensité que dans T,, puis dans T~.
Un étalonnage préalable per-
met, d’autre part, d’avoir les valseurs du coefficient d’induc- tion mutuelle des deux bobines
en fonction de leur distance.
Soient M et ni ces valeurs, correspondant aux distances D et d. Les courants dans T3 sont Fig.7.
proportionnels à M et à ni; en effet, l’impédance du circuit T3 est pratiquement indépen-
dante de M et de m, qui sont toujours très petits (R . r 3000 ohms,
L = 2 henrys, JI 0,3 henry).
Si l’on admet, comme précédemment, que l’intensité sonore de Ts
est proportionnelle au carré de l’intensité du courant électrique, on a
successivement :
La courbe de la fig. 8 donne la valeur du coefficient Men fonction de la distance des 2 bobines qui avaient respectivement pour coefficient
de self-induction i et 2 henrys.
Voici, d’autre part, pour le même filtre que précédemment et pour diffé- rentes notes, les valeurs des distances D et d observées entre les bobines pour
produire l’égalité des écoutes avec ou
sans filtre, la valeur des mutuelles- inductions correspondantes exprimées Fig. 8.
en millièmes d’henry, et enfin la valeur du coefficient de transmission.
Avec cette méthode, on obtient une excellente constance de la note entendue avec ou sans filtre.
La figure 9 indique les résultats obtenus avec les 2 méthodes. On a porté en ordonnées
les racines carr’ées des transmissions afin de rendre plus nettes les observations faites quand
’elles sont faibles.
On voit que le filtre arrête tous les sons inférieurs au sol3 (VT 0,1 ). Puis la trans-
mission augmente et, à l’ut~, vi T==0,5. La transmission est égale à l’unité à partir du cin- quième octave.
Fig. 9.
La méthode de mesure par couplage électromagnétique donne des nombres un peu
plus petits que ceux obtenus par la méthode du téléphone shunté, mais la limite de filtra- tion est nettement marquée dans les deux cas.
3° Méthode de l’appréciation à l’oreille. - Cette méthode n’est pas à rejeter a priori
si l’on remarque que l’oreille est, en définitive, le dernier juge de la valeur de la filtration.
Si l’on ne peut pas traduire en courbe son appréciation, on a cependant, d’une façon toujours nette, le point où la filtration commence et, avec un peu d’habitude, on peut se
faire une idée de la rapidité avec laquelle elle se produit ainsi que de son importance.
Deux commutateurs Ci et C2 permettent à l’observateur d’entendre avec les deux oreilles le son de la source S, soit directement, soit à travers le filtre,
Les résultats obtenus avec cette méthode sont indiqués dans le tableau 1.
TABLEAU 1
On voit que la limite de filtration est la même que précédemment, et que les indi- cations de l’oreille sont tout à fait conformes aux mesures.
12. Etude expérimentale des filtres passe-haut. - Nous avons constitué toute
une série de filtres formés de tubes de laiton percés de trous. Sur ceux-ci peuvent s’appli-
quer des petits tubes de longueur variable allant de 0,5 cm à 3 cm (fig. 5).
Nous avons étudié l’influence des divers paramètres qui peuvent agir sur la limite. de filtration. Nous avons ainsi obtenu des familles de courbes.
Nous avons désigné ces paramètres par les lettres suivante
R t, rayon du tube conducteur ; RI, rayon du tube adjacent (self-inductance); l1, distance
des trous; 12, hauteur des trous.
13. Accords de l’expérience et de la théorie. - Pour chaque famille de courbes
considérée, nous avons compal é les résultats expérimentaux avec ceux que donne la théorie.
On peut faire, à ce sujet, plusieurs hypothèses :
Il Le tube conducteur possède de la self-induction : Li # ~o ;
2° La longueur des self-inductances doit être augmentée, suivant la formule de lord
Rayleigh, de la quantité 7t R2/-2.. D’où quatre hypothèses principales :
L’expérience montre que, pour un type de filtre donné, c’est une de ces quatre hypo-
thèses qui convient seule.
171 14. Loi des diamètres du tube. - Nous avons examiné quatre catégories de filtres A, B, C, D, correspondant aux caractéristiques suivantes :
Pour chacune de ces catégories, nous avons construit des filtres ne différant entre eux
que par le diamètre.
Les courbes de la fige t 0
donnent les résultats expéri-
mentaux.
Les tableaux suivants
indiquent, pour chaque type
et dans chaque catégorie, les
limites de filtration observées et les limites calculées dans les quatre hypothèses indi- quées précédemment. Les
nombres en caractères gras sont ceux en accord avec
l’expérience. Dans deux cas, il s’est trouvé que l’épaisseur
du tube, c’est-à-dire la lon- gueur des self-inductances,
n’était pas constante pour
une même catégorie. Nous
-
Fig. 10.
~ ~ - -
avons indiqué cette diffé- Fig. 10.
rence dans la deuxième colonne des filtres B et C et en avons tenu compte dans le calcul.
15. Loi de la distance entre self-inductances. - Trois catégories de filtres A, B, C
ont été étudiées. Elles correspondent aux caractéristiques suivantes :
Dans chacune de ces catégories, nous avons comparé entre eux des filtres ne différant que par la distance entre les selfs-inductances. Celle-ci était successivement de 10, 50, 100, 200 et 300 mm.
Les courbes de la fig. il donnent les résultats expérimentaux.
Fig. 11.
’
Le tableau suivant donne les limites de filtration observées et calculées dans les 2 cas :
et
Ce tableau montre que la première hypothèse :
est vérifiée quand les self-inductances sont de grand diamètre, e’est-à-dire : f 0 quand la
masse vibrante qu’elles mettent en jeu est relativement grande ; 2° quand
l’effet de sect£onnenlent produit par
ces self-inductances sur le tube
principal est, par suite, mieux pro- noncé.
Si le tube principal est aussi de grand diamétre, la self-induction de chacune de ces sections doit dépas-
ser la masse comprise entre 2 trous,
et cela d’autant plus que ces trous sont petits et que leur effet de sec- tionnement est, par suite, moins marqué. C’est ainsi que, pour les filtres C, la 21 et la 4° colonne (L, ==00)
donnent des nombres en bon accord
avec l’expérience.
16. Loi de la longueur des
’ Fig. 12.
self-inductances. -- Sept catégo- ’
ries de filtrés ont été étudiées. Elles correspondent aux caractéristiques suivantes :
Pour faire varier les self-inductions, nous avons fabriqué de petits tubes pouvant s’appliquer sur le tube principal et s’y fixant (fig. 1~).
Les courbes 1 à VII de la fig. 13 donnent les résultats expérimentaux correspondant respectivement aux catégories A à G.
Fig. 13.
Le tableau suivant donne les limites de filtration observées et calculées dans les 2 cas
et
1 i . Filtres passe-bas. - La limite de filtration calculée d’après le schéma électrique
(fig. 14) est : .
l~’ig. 14.
Mais, dans le filtre acoustique, la fenêtre qui fait communiquer le tuyau central avec
la capacité possède de la self-induction. Dans ce cas, celle-ci doit être considérée comme en
série avec la capacité (fig. 15).
Fig. 1 ’i.
L’impédance du circuit adjacent J n’est pas 1 , P mais Dans la formule
précédente, il faut remplacer
d’où l’on tire, après réduction :
Remplaçons Li, 1,~, Cz par leurs valeurs acoustiques données par les formules 5 et 6;
la fréquence limite sera : -.
