4.5.1 définitions préliminaires
Dans un espace métrique E, l’adhérence d’une partie A, de E, peut se décrire comme l’ensemble des limites des suites convergentes de points de A. Cela reste vrai, plus généralement, si l’espace E satisfait l’axiome (D1). Dans le cas général, les suites ne sont plus suffisantes. On utilise alors des suites généralisées, ou nets. La différence essentielle avec les suites étant que l’ensemble des indices de la suite n’est plus supposée dénombrable, ni totalement ordonnée. Un ordre partiel reste cependant indispensable.
Définition 22 (Ordre partiel.):
SoitI un ensemble. Un ordre (partiel) surI est la donnée d’un sous-ensemble G, de I×I, satisfaisant les conditions suivantes :
On considère le plus souvent la relation sur I, associée au graphe G.
On note cette relation , avec i1 i2⇔(i1;i2)∈G.
Définition 23 (Ordre filtrant croissant):
Soit(I;) un ensemble partiellement ordonné. On dit que l’ordreest filtrant croissant si pour toute paire(i1;i2), d’éléments deI, il existe une élémenti∈I, tel que ii1, etii2. On dit que i est un majorant de {i1;i2}.
Définition 24 (Nets):
Soit E un espace topologique. Un net (ou suite généralisée) dans E est la donnée d’un couple (x ; I), dans lequel I est un ensemble muni d’un ordre filtrant croissant, et x est une application de I dans E. On notera souvent xi l’élément x(i), et(xi)i∈I le net x.
Définition 25 (Sous-net):
Soit(xi)i∈I un net dansE. Un sous-net de(xi)i∈I , est un net(yj)j∈J dansE, dans lequel J ⊆I, avec l’ordre hérité de I, et tel que pour tout i∈I, il existe j∈J, avec ji.
Remarque .
SiI est l’ensemble des entiers naturels, avec l’ordre usuel, ces définitions coïncident avec les définitions de suites et de sous-suites.
Soient E un espace topologique et A une partie de E. Un point x est adhérent à A si et seulement si il existe un net dans A, convergeant vers x.
Démonstration.
Supposons d’abord que xest adhérent àA. SoitBx une base de voisinages en x.
Soit V ∈Bx, un voisinage de x. Alors V contient (au moins) un point de A que l’on notera aV. On ordonne Bx par inclusion inverse. (C’est à dire :V1V2⇔V1⊆V2)
Le net (aV)V∈Bx converge vers x.
La réciproque est évidente.
- Le net(xi)i∈Iconverge versx∈Esi et seulement si(xi)i∈I est finalement dans chacun des voisinages ouverts de x.
- Un pointx∈Eest une valeur d’adhérence du net(xi)i∈I, si et seulement si(xi)i∈I est fréquemment dans chacun des voisinages ouverts de x.
Lemme 4:
Soit x:I 7→E un net dans E. Soient A et B deux parties de E.
Alors x est fréquemment dans A∪B si et seulement si x est fréquemment dans A, ou fréquemment dans B.
Démonstration. Supposons que x est fréquemment dans A∪B, et que x n’est fréquemment ni dans A, ni dans B. Il existe iA et iB, éléments de I, tels que ∀i0 ∈ I, on ait : i0 iA ⇒ xi0 ∈/ A, et
Dans la plupart des cas, l’application h pourra être choisie monotone croissante. Il suffira alors de vérifier que pour chaque i∈I, il existem∈M, tel que h(m)i.
Définition 29 (Net universel):
Un net (xi)i∈I, dans un espace E est dit universel si, pour toute partie A ⊆ E, le net (xi)i∈I est finalement dans A, ou est finalement dans(A)c.
Remarques .
- Un net universel converge vers chacun de ses points d’accumulation.
- Si E est un espace de Hausdorff, un net universel possédé au plus une valeur d’adhérence, qui est alors sa limite.
Lemme 5:
Soit B une famille de parties de E, qui est filtrante croissante pour l’inclusion inverse. Soit (xi)i∈I un net qui est fréquemment dans chacune des parties B ∈B. Il existe un sous-net (xh(µ))µ∈M, de (xi)i∈I , qui soit finalement dans chacun des B ∈B.
Démonstration. SoitM ={(i;B)∈I×B;xi ∈B}. On munitM de l’ordre produit surI×B, c’est à dire : (i1;B1)(i2;B2) si et seulement sii1 i2, etB2 ⊆B1. On vérifie queM, muni de cette ordre, est filtrant croissant. On définit h : M 7→ I, par h(i;B) = i, alors le net (xh(µ))µ∈M est finalement dans chacune des parties B∈B.
Définition 30 (Filtre pour un net):
Les filtres pour un net (xi)i∈I sont ordonnées partiellement par l’inclusion. On dira que F1 F2, ou encore, que F1 est plus fin que F2, si F2 ⊆ F1. L’ ensemble des filtres de (xi)i∈I est non vide ({E} est toujours un filtre de(xi)i∈I ). De plus, tout famille de filtres {Fj;j∈J}, totalement ordonnée par l’inclusion admet un majorant (la réunion des filtres {Fj;j ∈ J} est encore un filtre pour (xi)i∈I .) Par le lemme de Zorn, il existe donc un filtre maximal F, pour (xi)i∈I .
Lemme 6 (Lemme technique):
Tout net (xi)i∈I admet un sous-net universel.
Démonstration. SoitF un filtre maximal pour (xi)i∈I . Fixons une partieY ⊆E. SoientE∈ F etF ∈ cas), ou finalement dans (Y)c(second cas.)
4.5.3 Espaces compacts Théorème 10:
Soit (E;T) un espace topologique.
les conditions suivantes sont équivalentes :
1. Tout recouvrement ouvert de E contient un sous-recouvrememnt fini de E. 2. Si Ω est une famille de fermés de E, telle que toute intersection
finie d’éléments de Ω soit non vide, alors l’intersection de tous les éléments de Ω est non vide.
3. Tout net dans E possède une valeur d’adhérence.
4. Tout net universel dans E est convergent.
5. Tout net dans E admet un sous-net convergent.
Démonstration. On va montrer les implications suivantes : (1)⇒(2)⇒(3)⇒(4)⇒(5)⇒(3)⇒(1)
(1) ⇒ (2) : Soit Ω une famille de fermés de E telle que toute intersection finie d’éléments de Ω soit non vide, et supposons que \ x est adhèrent à chacun des sous ensembles {xj;ji}, lorsqueiparcourt I,Ox rencontre chacun de ces sous ensembles. Le net (xi)i∈I est donc fréquemment dans Ox. Comme cela est vrai quel que soit le voisinage ouvert dex,xest une valeur d’adhérence de (xi)i∈I.
(3)⇒(4) : Un net universel converge vers chacun de ses valeurs d’adhérence.
(4)⇒(5) : Utiliser le lemme technique 6.
(5)⇒(3) : Évident.
(3)⇒ (1) : Soit ∆ un recouvrement ouvert deE, dont on ne peut extraire aucun sous-recouvrement fini. Soit Λ un sous ensemble fini de ∆. Il existe un point xΛ ∈ E, n’appartenant pas à S{O ∈ Λ}.
On ordonne les sous ensembles finis Λ⊆∆ par l’inclusion (Λ1 Λ2 si tout ouvert appartenant à Λ2 appartient aussi Λ1). Cet ordre est filtrant croissant. Utilisant l’axiome du choix, on peut donc former le net (xΛ)Λ, indexé par les parties finies Λ, de ∆. Par (3) (qui est une conséquence de (1)), (xΛ)Λ possède une valeur d’adhérence x ∈E. Soit U ∈∆. Soit Ox un voisinage ouvert quelconque de x. Il existe Λ0, partie finie de ∆, telle quexΛ∈Ox, pour toute partie finie Λ⊆∆, contenant Λ0.
En particulier,xΛ0∪{U} ∈Ox. A fortiori,Uc∩Ox 6=φ. Ceci étant vrai pour tout voisinage ouvertOx, de x, on en déduit x ∈ Uc (car Uc est fermé). En répétant l’argument pour chacun des U ∈ ∆, on conclut que x n’appartient à aucun des ouverts de ∆, et que ∆ ne recouvre donc pas E, ce qui est contradictoire.
Bibliographie
[1] Henry Cartan (Théorie des filtres), (1937).
[2] N. Bourbaki (1940), Topologie générale. Chapitre 1 et 2. Actualites Sci.Ind.,858
[3] Laurent Schwartz, Analyse Topologie générale et analyse fonctionnelle. Chapitre 6,7 et 8. Her-mann, Paris 1970.
[4] Abdellatif Dasser B.S.University of central florida, 2002. The use of filters in Topology. Florida.
2004
[5] Richard Zekri. Cours de Topologie, Master 1, Année 2010/2011. 9 septembre 2010.
[6] David Maclver. Filters in Analysis and Topologie. July 1, 2004 [7] www.bibmath.net/dossiers/dossier0/tychonov.pdf.
Théorème de Tychonov
[8] www.math.wichita.edu/ pparker/classes/handout/netfilt.pdf.
Nets and filters.
[9] www.makmath.com/kebbab/PDFTheque/These/Exposes-Preprints/Ordres-Ultrafiltres.pdf. Les ordres sur les variétés réelles et les ultrafiltres
[10] www.li.perso.math.cnrs.fr/textes/AF/dualite.pdf.
Chapitre 8. Dualité
28
Table des matières
Introduction 2
1 Étude d’une topologie particulière 4
1.1 Rappel . . . . 4
1.2 Axiomes de dénombrabilité . . . . 4
1.3 Exemple d’une topologie particulière . . . . 5
1.3.1 Particularité de cette topologie . . . . 5
A- Les suites convergentes . . . . 5
B- La séparation de Hausdorff . . . . 6
C- L’adhérence . . . . 6
D- La continuité . . . . 6
2 Les Filtres, Les Bases de filtre et Les Ultrafiltres. 7 2.1 Les Filtres. . . . 7
2.2 Les Bases de filtre. . . . . 8
2.3 Les Ultrafiltres. . . . . 10
2.4 Filtre induit . . . . 12
2.5 Image directe et image réciproque d’une base de filtre . . . . 13
2.6 Opérations sur les Filtres . . . . 14
3 Limite de filtre 15 3.1 Filtres convergents . . . . 15
3.2 Filtre image, limite d’une fonction . . . . 15
3.3 Filtres dans les espaces métriques . . . . 17
4 Les applications des filtres 20 4.1 Filtres et compacité . . . . 20
4.2 Le théorème de Tychonov . . . . 20
4.3 Application à la sommabilité . . . . 21
4.3.1 Famillle sommable . . . . 21
Appendice 23 4.4 Axiome de l’ultrafiltre . . . . 23
4.5 Les suites généralisées . . . . 24
4.5.1 définitions préliminaires . . . . 24
4.5.2 Nets et filtres . . . . 25
4.5.3 Espaces compacts . . . . 26
Bibliographie 28
29