Chapitre dernier : Probabilités : probabilités conditionnelles T STG
I. Test sur les probabilités en première
Tableau à double entrée : Une administration emploie 250 salariés classés en trois catégories : A, B et C. Il y a 32% d'hommes et 20% de salariés en catégorie C. Le tableau ci-dessous décrit la répartition du personnel. Les pourcentages sont calculés par rapport au nombre total d'employés.
A B C Total
Femmes 38
Hommes 30 10
Total 250
A B C D
1. Le nombre de salariés « hommes » est 32 80 40 8
2. Le nombre d'hommes appartenant à B est 76 80 40 15
3. Le nombre de femmes appartenant à C est 40 50 20 16
4. Le nombre de salariés appartenant à A est 92 32 50 122
5. Le pourcentage de salariés appartenant à B est environ 76% 31% 80% 15%
6. Le pourcentage de femmes appartenant à A est environ 50% 54% 37% 75%
Probabilités vues en première : On lance deux dés cubiques parfaitement équilibrés. L'un des dés est noir, l'autre est rouge. Un résultat possible est le couple formé par le numéro porté par le dé noir et le numéro porté par le dé rouge.
A B C D
7. Le nombre de résultats possibles est 6 12 21 36
8. La probabilité d'obtenir deux numéros identiques est
1 6
5 6
1 2
1 36
9. La probabilité d'obtenir deux numéros pairs est
1 6
1 4
1 3
1 2
10. La probabilité d'obtenir deux numéros différents est
35 36
5 6
1 6
1 2
11. La probabilité pour que la somme des numéros soit
égale à 6 est
1
6
1 4
5 36
7 36
12. La probabilité pour que la somme des numéros soit
paire est
1
2
1 4
1 6
1 3
II. Vocabulaire et propriétés de la classe de première a. Définitions
1. Expérience aléatoire Expérience dont on ne peut pas prévoir l'issue à l'avance ( liée au hasard )
2. Univers Une expérience aléatoire étant fixée, l'univers est l'ensemble des issues possibles.
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3. Événement élémentaire C'est une issue possible de l'univers.
4. Événement C'est une issue composée de plusieurs évènements élémentaires.
5. Probabilité Soit un univers fini lié à une expérience aléatoire.
A tout événement
A
, on associe un nombre, notép A
appelé probabilité de A tel que0 p A 1
.La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des évènements élémentaires qui le composent.
P() = 1. est l'événement certain b. Exemples:
On lance un dé truqué. Les probabilités d'apparition de chaque numéro sont regroupées dans le tableau suivant :
Numéro 1 2 3 4 5 6
probabilité 0,2 0,18 0,16 0,18 0,16 0,12
Déterminer la probabilité des événements suivants : A : « Obtenir un numéro pair »
(quelle relation pouvez-vous obtenir entre
p A
etp A
?) B : « obtenir un numéro strictement supérieur à 3 »C : « obtenir un numéro pair et 3 » D : « obtenir le numéro 3 »
E : « obtenir un numéro pair ou le numéro 3 ».
6. Équiprobabilité Cette situation correspond au cas où les évènements élémentaires de l'univers ont tous la même probabilité.
Reprendre les questions de l'exercice précédent avec des probabilités identiques pour chaque face du dé ( dé équilibré )
Théorème
En situation d'équiprobabilité, si l'on appelle cardinal de ( noté card( ) ) le nombre d'évènements élémentaires de l'univers, on a :
La probabilité d'un événement élémentaire est : 1 cardΩ La probabilité d'un événement est :
card A
card Ω
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Chapitre dernier : Probabilités : probabilités conditionnelles T STG Exemple :
Une roue de loterie est divisée en six secteurs égaux ayant chacun la même probabilité de s'arrêter devant un repère.
2 secteurs sont jaunes ; 3 secterus sont rouges ; 1 secteur est bleu.
Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : A: « Le secteur gagnant est rouge. »
B: « Le secteur gagant n'est pas bleu. » C: Le secteur gagant est jaune ou bleu. »
7. Propriétés A et B deux évènements,
p A ∪ B= p A p B − p A ∩ B
A et B incompatibles ( ne peuvent pas se réaliser en même temps )
p A ∪ B= p A p B
(p A ∩B =0
)
p A=1− p A
(A
événement contraire ) III. Probabilités conditionnelles1. Activité :
A l'épreuve pratique du permis de conduire, on a observé les résultats suivants sur un échantillon de 503 candidats se présentant pour la première fois.
Candidats Ayant pratiqué la
conduite accompagnée. N'ayant pas pratiqué la conduite accompagnée. Tota
l Ayant réussi à la
première présentation 68 205 273
Ayant échoué à la
première présentation 19 211 230
Total 87 416 503
On choisit au hasard un candidat dans cet échantillon.
On considère les événements C : « le candidat a pratiqué la conduite accompagnée »;
R
: « le candidat a réussi à la première présentation ».On donnera les résultats sous forme de fractions.
1. Calculer les probabilités
p C
,p R
etp C ∩R
.2. Le candidat déclare qu'il a pratiqué la conduite accompagnée.
Déterminer la probabilité qu'il ait obtenu son permis à la première présentation. A quelle fréquence conditionnelle correspond ce résultat ?
Remarquer que le quotient
p C ∩R
p C
donne le même résultat.3. Le candidat déclare qu'il a obtenu son permis à la première présentation.
Déterminer la probabilité qu'il ait pratiqué la conduite accompagnée..
A quelle fréquence conditionnelle correspond ce résultat ?
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Remarquer que le quotient
p C ∩R
p R
donne le même résultat.Définition :
A
etB
sont deux évènements avecp B≠ 0
La probabilité sachant
B
de l'évènementA
, notéeP
B A
, est définie par :P
B A = p A∩ B
p B
C'est une nouvelle probabilité est dite probabilité conditionnelle de A sachant B . Remarque : « Sachant B » signifie que l'événement B est réalisé.
Exercices :
1) Un institut de sondage a interrogé 800 personnes qui résudent soit en zone rurale R, soit en zone urbaine U. Ce sondage a lieu par téléphone T ou par un entretien E. Le tableau ci-dessous donne la répartition obtenue. On choisit une personne au hasard parmi les 800 personnes.
R U Total
T 150 330 480
E 50 270 320
Total 200 600 800
1. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : U: « La personne habite en zone urbaine. »
E: « La personne a été sondée par entretien. »
2. Quelle est la probabilité pour qu'une personne habite en zone urbaine sachant qu'elle a été sondée par entretien ?
3. On choisit une personne habitant en zone urbaine. Quelle est la probabilité pour qu'elle ait été sondée par téléphone ?
2) Un sondage réalisé parmi les élèves d'un lycée a montré que 40% d'entre eux pratiquent un sport et 30% sont fumeurs. En outre, 21% des élèves sont fumeurs et ne pratiquent pas de sport. On choisit un élève au hasard.
1. Calculer la probabilité qu'il soit fumeur sachant qu'il pratique un sport.
2. Calculer la probabilité qu'il soit non fumeur sachant qu'il pratique un sport.
