Chapitre n°3 : Probabilités conditionnelles et loi binomiale.Objectifs :

(1)

Chapitre n°3 : Probabilités conditionnelles et loi binomiale.

Objectifs :

Niveau a eca n

C3.a ¹ Savoir utiliser les formules de probabilité C3.b 1 Savoir déterminer si deux événements sont

indépendants

C3.c ¹ R.O.C sur l'indépendance

Activité d'approche n°1 : probabilités conditionnelles (Source d'inspiration : Déclic)

Dans une entreprise, le nombre d'employés, de cadres et de cadres supérieurs est donné dans le tableau ci-dessous :

Employés Cadres Cadres supérieurs

Femmes 220 38 12

Hommes 200 62 38

On choisit un salarié au hasard, et on considère les événements suivants : E : « le salarié est un employé »

C : « le salarié est un cadre »

S : « le salarié est un cadre supérieur » H : « le salarié est un homme »

F : « le salarié est une femme »

1. Donner la probabilité des événements E,C,S,H et F.

...

………..

2. On choisit au hasard un homme dans cette entreprise. Quelle est la probabilité que ce soit un cadre supérieur ?

...

……….

Cette probabilité est une probabilité ……….. : on cherche la probabilité qu'un employé soit un carde supérieur, sachant que l'on sait déjà que c'est un homme .

Elle est notée : ……...

3. Calculer P

H

(E) et P

H

(C).

...

……….

(2)

4. Calculer P(E  H) .

...

………..

5. Calculer P(H).

...

……….

6. Établir la relation entre P

H

(E), P(EH) et P(H).

...

...……..

…………..

7. Compléter les deux arbres pondérés ci-dessous :

8. Comment retrouver P(E) avec le deuxième arbre ?

...

………...

9. Comment retrouver P(H) avec le premier arbre ?

...

……….

Cours n°1 : Probabilités conditionnelles I) Probabilités conditionnelles

Définition n°1 (probabilité conditionnelle)

La probabilité de l’événement B sachant que l'événement A est réalisé se note

…... et s'appelle la probabilité conditionnelle.

(3)

Propriété n°1 (Probabilité conditionnelle)

Soit A et B deux événements, A étant de probabilité non nulle. La probabilité de l'événement B sachant que l'événement A est réalisé s'obtient par la formule : P

A

(B)

= ...

... et P(AB) = …...

Exemple n°1

Deux ateliers produisent des paires de chaussures. Le premier atelier produit 6000 paires. Le deuxième produit 4000 paires. 120 paires sont défectueuses et

proviennent du premier atelier.

1. Quelle est la probabilité qu'une paire soit défectueuse sachant qu'elle provient du premier atelier ?

…...

...

...…

2. Compléter l'arbre pondéré :

Propriété n°2 (propriétés des arbres pondérés) Dans un arbre pondéré :

● la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut ….

● la probabilité d'un chemin vaut le …... des probabilités qui compose ce chemin.

Définition n°2 (Partition d'un ensemble)

Un ensemble de parties d'un ensemble  est une partition de cet ensemble si :

● aucune de ces parties est vide.

● l'union de toutes les parties redonne  .

(4)

● l'intersection de chacune des partie avec n'importe quelle autre partie est vide.

Exemple n°2 :

Dans un jeu de 32 cartes, si l'on répartit les cartes suivant les couleurs, on fait une partition du jeu.

Proposer une autre partition :

...

Propriété n°3 (formule des probabilités totales) Soit A

1

, A

2

,.., A

n

une partition de l'ensemble 

Alors la probabilité d'un événement B vaut :

P(B)=P(A

1

 B)+………...+...+P………+P………

Exemple n°3 :

On reprend l'exemple n°1. On sait maintenant que, si on ne prélève que des paires venant du deuxième atelier, la probabilité qu'une paire soit défectueuse est de 0,3.

1. Quelle est la probabilité qu'une paire soit défectueuse et provienne du deuxième atelier ?

…...

...

………...

2. Quelle est la probabilité qu'une paire soit défectueuse ?

…...

...

………...

Se tester – Test n°1

Deux ateliers produisent des paires de chaussures. Le premier atelier produit /t{1000;2000;3000;4000;5000;6000;7000;8000;9000} paires. Le deuxième produit /t{1000;2000;3000;4000;5000;6000;7000;8000;9000} paires.

/t{110;120;130;140;150;160;170;180;190} paires sont défectueuses et proviennent du premier atelier.

1(/1). Quelle est la probabilité qu'une paire soit défectueuse sachant qu'elle provient du premier atelier ?

…...

...

...………..

………...

2(/2). Compléter quand c'est possible l'arbre pondéré :

(5)

3(/1). On sait maintenant que, si on ne prélève que des paires venant du deuxième atelier, la probabilité qu'une paire soit défectueuse est de

/t{0,1;0,2;0,3;0,4;0,5;0,6;0,7;0,8;0,9}.

Quelle est la probabilité qu'une paire soit défectueuse et provienne du deuxième atelier ?

…...

...

………...

4(/1). Compléter l'arbre pondéré.

5(/1). Quelle est la probabilité qu'une paire soit défectueuse ?

…...

...

………...

Interrogation n°1 Objectifs

C3.a_Niv1 :Savoir utiliser les formules de probabilité.

Exercice n°1 Ex.1 p.302 Exercice n°2

Ex.9 p.302 Exercice n°3

Ex.13 p.303

(6)

Exercice n°4*

Ex.44 p.306

Activité d'approche n°2 : indépendance d'événements Dans une urne, on a 4 boules vertes et 3 boules rouges.

1. On tire au hasard une première boule, on note sa couleur, on la remet dans l'urne, et on tire au hasard une deuxième boule.

a. Compléter l'arbre pondéré ci-dessous :

b. Que peut-on dire de P

V1

(R

2

) et de P(R

2

) ?

...

c. À quoi est égal P(R

1

 V

²

) ?

...

d. Comparer P(R

1

 V

²

) et P(R

1

) × P(V

2

).

...…

La réalisation ou non de l'événement V

2

ne ………... la probabilité de l'événement R

1

: on dit qu'ils sont indépendants.

2. On recommence l'expérience, mais sans remise : on tire au hasard une première boule, on note sa couleur, on la met de côté, et on tire au hasard une deuxième boule.

a. Compléter l'arbre pondéré ci-dessous :

R 2

….

V ₁ …..

R 1

P(R

₁

)=...

P(V

1

)=...

P

_...

(...)=...

P

_...

(...)=...

P

_...

(...)=...

P

_...

(...)=... …..

R ₂

….

V ₁ …..

R 1

P(R

₁

)=...

P(V

1

)=...

P

_...

(...)=...

P

...

(...)=...

P

_...

(...)=...

P

_...

(...)=... …..

(7)

b. Que peut-on dire de P

V1

(R

2

) et de P(R

2

) ?

...

...…

c. À quoi est égal P(R

1

 V

²

) ?

...

d. Comparer P(R

1

 V

²

) et P(R

1

) × P(V

2

).

...…

e. Conclusion ?

………..

Cours n°2 : évènements indépendants II) Événements indépendants

Définition n°3

Deux événements A et B sont indépendants si …... =...… (et non

………..) Exemple n°4

On tire successivement deux cartes sans remise d'un jeu de 32 cartes. A est l'événement : « les deux cartes tirées sont des as ». T est l'événement « les deux cartes tirées sont noirs». Calculer P(A) et P(T). Les événements A et T sont-ils indépendants ?

...

………

(8)

Propriété n°4

Soient A et B deux événements de probabilité non nulle.

Dire que A et B sont indépendants revient à dire que P

...

(...)=P(...) (ou que P

...

(...)=P(...))

Démonstration :

Dire que A et B sont indépendants revient à dire que P(AB)=...×...

     P(A)×P

A

(B) =...×...

     …... =...

Propriété n°5

Soient A et B deux événements indépendants.

Alors A et B sont indépendants.

Démonstration : R.O.C.

P(AB)=P(B)×P

B

(A)=P(B)×(1 – P

...

(....)).

Mais A et B sont indépendants, donc : P

...

(....) =P(.…) Donc 1 – P

...

(....)= 1 – …...

Et 1 – P(...)=P(....),

Donc P(AB)=...

Donc A et B sont indépendants.

Exemple n°5

Dans un jeu de 32 cartes, on procède à deux tirages successifs avec remise, de la façon suivante :

Si, au premier tirage, on tire un roi, alors, au deuxième tirage, on tire une carte parmi les cartes rouges.

Sinon, au deuxième tirage, on tire une carte parmi les cartes rouges.

Soit les événements :

A : « Je tire un roi au premier tirage » B : « Je tire un cœur au second tirage ».

Les événements A et B sont-ils indépendants ? Justifier.

...

……….

Se tester – Test n°2

Dans un jeu de 32 cartes, on procède à deux tirages successifs avec remise, de la

façon suivante :

(9)

Si, au premier tirage, on tire /t{un roi;une reine;un valet}, alors, au deuxième tirage, on tire une carte parmi les cartes rouges.

Sinon, au deuxième tirage, on tire une carte parmi les cartes /t{noires;rouges}.

Soit les événements :

A : « Je tire #5 au premier tirage »

B : « Je tire un /t{carreau;cœur} au second tirage ».

Les événements A et B sont-ils indépendants ? Justifier.

...

Pr.5 (/1)

Soient A et B deux événements indépendants.

Alors A et …...

Dém. (/2) :

...

………..

Interrogation n°2 Objectifs

C3.b_Niv1 :Savoir déterminer si deux événements sont indépendants C3.c_Niv1 :R.O.C sur l'indépendance

Exercice n°5 Ex.20 p.303 Exercice n°6*

Sujet C p.315 Exercice n°7**

Sujet D p.316 Exercice n°8***

Ex.98 p.319

(10)

**Exercice n°9* (Antilles-Guynes Sept 2015)**

Dans un supermarché, on réalise une étude sur la vente de bouteilles de jus de fruits sur une période d’un mois.

• 40 % des bouteilles vendues sont des bouteilles de jus d’orange ;

• 25 % des bouteilles de jus d’orange vendues possèdent l’appellation « pur jus ».

Parmi les bouteilles qui ne sont pas de jus d’orange, la proportion des bouteilles de

« pur jus » est notée x , où x est un réel de l’intervalle [0 ; 1].

Par ailleurs, 20 %des bouteilles de jus de fruits vendues possèdent l’appellation « pur jus ».

On prélève au hasard une bouteille de jus de fruits passée en caisse. On définit les évènements suivants :

R : la bouteille prélevée est une bouteille de jus d’orange ; J : la bouteille prélevée est une bouteille de « pur jus ».

1. Représenter cette situation à l’aide d’un arbre pondéré.

2. Déterminer la valeur exacte de x .

3. Une bouteille passée en caisse et prélevée au hasard est une bouteille de « pur jus ».

Calculer la probabilité que ce soit une bouteille de jus d’orange.

(11)

Résultats ou indices

Remarques importantes :

Ces résultats permettent :

- de savoir si vous avez juste ou faux. En cas d’erreur, refaites la question. En cas de troisième tentative infructueuse, appelez le professeur.

- de montrer que ce sont les raisonnements qui importent, pas les solutions ci- dessous. Si vous vous êtes contenté de la même rédaction succincte, c’est que vous n’avez pas fait le travail de réflexion nécessaire pour assimiler les notions.

- Parfois, vous n’avez pas les mêmes résultats que votre voisin : c’est NORMAL : les documents sont « aléatoirisés » . En revanche, les résultats ci-dessous sont bien justes et en rapport avec vos énoncés. Si vous voulez vous entraider, c’est toujours possible, mais il vous faudra expliquer votre raisonnement.

Test.1 : 1. P

A1

(D)=/fs{#3;#1} 2. P(A

1

)=/fs{#1;#1+#2} ; P(A

2

)=/fs{#2;#1+#2} ; P

A1

(D)=/fs{#1-#3;#1} 3. P(A

2

∩ D)=/fs{#4*#2;#1+#2} 4. P(A

2

∩ D)=/fs{(1-

#4)#2;#1+#2} 5. P(D)=/fs{#4#2+#3;#1+#2}

Ex.1 (1 p.302) : 1. Non, P(V). 2. Oui, P

U

(V). 3. Oui, P

V

(U). 4. Non P(U∩V) Ex.2 (9 p.302) : 1. 2. P(A)=0,55 ; P(A∩B)=0,2

3. P

_B

(A)=0,6.P

A

(B)=/f{4;11} .

Ex.3 (13 p.303) : 1. P(A∩B)=0,45 2. P(A∩B)=0,12 2. P(B)=0,57

Ex.4 (44 p.306) : 1. 2.a. P(D∩R)=0,12 ; b. P(F∩R)=0,02 c. P(R)=0,68 3.P

_R

(M)=0,375

4.P

_R

(F)= 19 34 .

Test.2 : /si{#6=rouges;Oui;Non}.

Ex.5 (20 p.303) : 1.0,9215 2. Idem.

Ex.6 (C p.315) : 2.a. P(R∩S)=0,045 ; b. P(R∩S)=0,855 ; c. 0,91854

Ex.7 (D p.318) : 1.a. b.P

_A

(B)=0,6 et P

_A

(B)=0,9 2.a.P(A∩B)=0,08 ; b.P(B)=0,16 3. P

_B

(A)=0,5

Ex.8 (98 p.319) : 1.a. p

1

=0,821;p

2

=, b.

2.a. P(O)≈P(Rh+∩O)+P(Rh-∩O)... = 0,44 2.b.P

O

(Rh+)= 0,35

0,44 3. P(O)=0,44 et P

Rh+

(O)≈0,426.

Donc...

4.a. p

n

=1

–

0,56

ⁿ

b. Pour n12.

(12)

Ex.9 : 1. 2. x=/f{1;6} 3. /f{1;2}

(13)

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C. ;C. ;C. ;C.

* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…