Objectifs du chapitre :C3.a_Niv

(1)

Chap.3 : Probabilités conditionnelles et loi binomiale.

Objectifs du chapitre :

C3.a_Niv 1 - Savoir utiliser les formules de probabilité.

C3.b_Niv1 - Savoir utiliser la loi binomiale.

C3.c_Niv1 - Savoir déterminer si deux événements sont indépendants C3.d_Niv1 - R.O.C sur l'indépendance

Activité n°1 : probabilités conditionnelles

Dans une entreprise, le nombre d'employés, de cadres et de cadres supérieurs est donné ci-dessous :

Femmes : employées : 220, cadres : 38, cadres supérieures : 12 Hommes : employés : 200, cadres : 62, cadres supérieurs : 38

On choisit un salarié au hasard, et on considère les événements suivants : E : « le salarié est un employé »

C : « le salarié est un cadre »

S : « le salarié est un cadre supérieur » H : « le salarié est un homme »

F : « le salarié est une femme »

1. Donner les probabilités des événements E,C,S,H et F.

...

2. On choisit au hasard un homme dans cette entreprise. Quelle est la probabilité que cet homme soit un cadre supérieur ?

...

Cette probabilité est une probabilité ……….. : on cherche la probabilité qu'un employé soit un carde supérieur, sachant que l'on sait déjà que c'est un homme .

Elle est notée : ……...

3. Calculer P

H

(E) et P

H

(C).

...

4. Calculer P(E  H) .

...

5. Calculer P(H).

...

6. Établir la relation entre P

H

(E), P(E  H) et P(H).

...

(2)

2/17 -

7. Construire deux arbres pondérés, l’un commençant par les employés, cadres, et cadres supérieurs, et l’autre commençant par les femmes et les hommes :

...

8. Comment retrouver P(E) avec le deuxième arbre ?

...

9. Comment retrouver P(H) avec le premier arbre ?

...

FIN de l’activité n°1

Cours n°1 : Probabilités conditionnelles C3.a_Niv 1 - Savoir utiliser les formules de probabilité

Définition n°1 (probabilité conditionnelle)

La probabilité de l’événement B sachant que l'événement A est réalisé se note

…... et s'appelle la probabilité conditionnelle.

Propriété n°1 (Probabilité conditionnelle)

Soit A et B deux événements, A étant de probabilité non nulle. La probabilité de l'événement B sachant que l'événement A est réalisé s'obtient par la formule : P

A

(B) = ...

... et P(AB) = …...

Exemple n°1

2/17

(3)

Deux ateliers produisent des paires de chaussures. Le premier atelier produit 6000 paires. Le deuxième produit 4000 paires. 120 paires sont défectueuses et

proviennent du premier atelier.

1. Quelle est la probabilité qu'une paire soit défectueuse sachant qu'elle provient du premier atelier ?

...

2. Construire un arbre pondéré dont les deux premières branches seront les évènements « est issue de l’atelier A ₁ » et « est issue de l’atelier A ₂ ».

...

Propriété n°2 (propriétés des arbres pondérés) Dans un arbre pondéré :

la somme des probabilités des branches

● issues d'un même nœud vaut ….

la probabilité

● d'un chemin vaut le …... des probabilités qui compose ce chemin.

Définition n°2 (Partition d'un ensemble)

Un ensemble de parties d'un ensemble E est une partition de cet ensemble si : aucune de ces parties est vide.

● l'union de toutes les parties redonne E .

● l'intersection de chacune des parties avec n'importe quelle autre partie est vide.

● Exemple n°2 :

Dans un jeu de 32 cartes, si l'on répartit les cartes suivant les couleurs, on fait une partition du jeu.

Proposer une autre partition :

...

Propriété n°3 (formule des probabilités totales) Soit A

1

, A

2

,.., A

n

une partition de l'ensemble 

Alors la probabilité d'un événement B vaut :

P(B)=P(A

1

 B)+………...+...+P………+P………

Exemple n°3 :

(4)

4/17 -

On reprend l'exemple n°1. On sait maintenant que, si on ne prélève que des paires venant du deuxième atelier, la probabilité qu'une paire soit défectueuse est de 0,3.

1. Quelle est la probabilité qu'une paire soit défectueuse et provienne du deuxième atelier ?

...

2. Quelle est la probabilité qu'une paire soit défectueuse ?

...

FIN du cours n°1

Premier ‘Se tester’ du cours n°1 : Se tester n°1

(Se tester n°1) - Exercice n°1

Deux ateliers produisent des paires de chaussures. Le premier atelier produit 1000 paires. Le deuxième produit 6000 paires. 190 paires sont défectueuses et

proviennent du premier atelier.

1.[1] Quelle est la probabilité qu'une paire soit défectueuse sachant qu'elle provient du premier atelier ?

2.[2]. Compléter quand c'est possible l'arbre pondéré :

3.[1] On sait maintenant que, si on ne prélève que des paires venant du deuxième atelier, la probabilité qu'une paire soit défectueuse est de 0,6.

4/17

(5)

Quelle est la probabilité qu'une paire soit défectueuse et provienne du deuxième atelier ?

4.[1] Compléter l'arbre pondéré.

5.[1] Quelle est la probabilité qu'une paire soit défectueuse ?

(6)

6/17 -

Résultats du Se tester 1. 19

100 2. de gauche à droite et de haut en bas : 1 7 ^,

19 100 ^,

81 100 ^,

6 7 , inconnu, inconnu 3.

18 35 4. de gauche à droite et de haut en bas : 1 7 ^,

19 100 ^,

81 100 ^,

6 7 ^, 0,6 , 0,4 .

FIN du Se tester n°1

Fin Premier ‘Se tester’ du cours n°1

Deuxième ‘Se tester’ du cours n°1 : Se tester n°1

(Se tester n°1) - Exercice n°2

Deux ateliers produisent des paires de chaussures. Le premier atelier produit 6000 paires. Le deuxième produit 3000 paires. 120 paires sont défectueuses et

proviennent du premier atelier.

1.[1] Quelle est la probabilité qu'une paire soit défectueuse sachant qu'elle provient du premier atelier ?

2.[2]. Compléter quand c'est possible l'arbre pondéré :

3.[1] On sait maintenant que, si on ne prélève que des paires venant du deuxième atelier, la probabilité qu'une paire soit défectueuse est de 0,4.

Quelle est la probabilité qu'une paire soit défectueuse et provienne du deuxième atelier ?

4.[1] Compléter l'arbre pondéré.

5.[1] Quelle est la probabilité qu'une paire soit défectueuse ?

6/17

(7)

Résultats du Se tester 1. 1

50 2. de gauche à droite et de haut en bas : 2 3 ^,

1 50 ^,

49 50 ^,

1 3 , inconnu, inconnu 3. 2 15

4. de gauche à droite et de haut en bas : 2 3 ^,

1 50 ^,

49 50 ^,

1 3 ^, 0,4 , 0,6 .

FIN du Se tester n°1

Fin Deuxième ‘Se tester’ du cours n°1

Interrogation n°1 :

Objectif : C3.a_Niv 1 - Savoir utiliser les formules de probabilité.

Exercices du cours n°1 (Cours n°1) - Exercice n°3

Ex.1 p.302

(Cours n°1) - Exercice n°4

Ex.9 p.302

(Cours n°1) - Exercice n°5

Ex.13 p.303

(Cours n°1) - Exercice n°6

Ex.44 p.306

Résultats :

1

^er

Ex. : 1. Non, P(V). 2. Oui, P

_U

(V). 3. Oui, P

_V

(U). 4. Non P(U∩V)

2

^ème

Ex. : 1. De gauche à droite et de haut en bas : 0,3;0,2;0,5;0,15;0,35;0,5;0,45;0,55;1 2.

P(A)=0,55 ; P(A∩B)=0,2 3. P

B

(A)=0,6.P

A

(B)= 4 11 ^.

3

^ème

Ex. : 1. P(A∩B)=0,45 2. P(A∩B)=0,12 2. P(B)=0,57

4

^ème

Ex. : 1. De gauche à droite et de haut en bas : 0,4;0,95;0,05;0,3;0,6;0,4;0,3;0,4;0,6 2.a.

P(D∩R)=0,12 ; b. P(F∩R)=0,02 c. P(R)=0,68 3.P

_R

(M)=0,375 4.P

_R

(F)= 19 34 ^. FIN des exercices du cours n°1

Activité n°2 : loi binomiale

On met en place une expérience aléatoire à deux issues, à l’aide d’un dé à 6 faces : Si le nombre obtenu est 1,2,3 ou 4, on a un succès.

Dans le cas contraire, on a un échec.

1. Donner la probabilité d’un succès.

2. On décide de faire cette expérience 4 fois de suite. Quelle est la probabilité d’obtenir un Succès, suivi d’un Succès, suivi d’un Echec, suivi d’un succès (on note cette succession SSES) ?

3. Quelle est la probabilité d’avoir SESS ?

4. Quelle est la probabilité d’avoir ESSS ? SSSE ? Que constate-t-on ?

5. Chercher le nombre de « mots » de 4 lettres, comportant uniquement des « S » et des « E » .

6. Retrouver cette valeur sur la calculatrice :

Casio : Touche OPTN, puis PROB, puis nCr

(8)

(9)

TI : Touche MATH, puis PRB, puis Combinaison

7. En déduire quelle est la probabilité d’avoir 3 succès parmi 4 essais dans l’expérience aléatoire décrite précédemment.

ON NOTE CETTE PROBABILITE P(X=k), où k est LE NOMBRE DE SUCCES.

ICI : P(X=3)

8. Sur la calculatrice, on peut retrouver cette probabilité . Vérifiez-le en suivant le mode d’emploi :

P(X=k) :

Casio : Touche OPTN, puis STAT, puis DIST, puis BINM, puis Bpd TI : Menu distrib (2nd VAR), puis binomFdp

P(X ≤ k) :

Casio : Touche OPTN, puis STAT, puis DIST, puis BINM, puis Bcd TI : Menu distrib (2nd VAR), puis binomFrép

9. Toujours dans le cadre de l’expérience ci-dessus, chercher les probabilités suivantes :

P(X=0), P(X=1), P(X=2).

10. En déduire la probabilité d’avoir au maximum 3 succès dans l’expérience.

ON NOTE CETTE PROBABILITE P(X≤k) . ICI : P(X ≤ 3).

11. Retrouvez ce résultat sur la calculatrice.

12. On cherche maintenant la probabilité d’obtenir AU MOINS 3 succès. Quelles sont les deux situations possibles ? En déduire la probabilité demandée.

13. Comparez à P(X ≤ 2) (ou P(X<3)). De manière plus générale, quelle égalité peut- on écrire ?

FIN de l’activité n°2

Cours n°2 : Loi binomiale

C.b - Niv1 - Savoir utiliser la loi binomiale.

Définition n°1

Un schéma de Bernoulli est une expérience aléatoire à ……….

Propriété n°1

La loi binomiale est la loi que suit la variable aléatoire qui, pour une expérience aléatoire qui suit un schéma de Bernoulli, associe la probabilité du nombre de

……….

Les conditions d’application de cette loi sont (règle des trois « i ») : - Les évènements sont i ………

- l’expérience est à chaque fois i………..

- L’expérience est à chaque fois constituée de deux i………

L’espérance d’une loi binomiale de paramètre n (le nombre d’essais) et p (la probabilité d’un succès) vaut ………..

Exemple n°1

Dans une région pétrolifère, la probabilité qu’un forage conduise à une nappe de pétrole est de 0,1 .

1. L’évènement « atteindre une nappe de pétrole en forant » est-il un schéma de Bernoulli ? Justifier.

...

2. On effectue 9 forages.

a. Les conditions d’application de la loi binomiale sont-elles respectées ?

...

(10)

(11)

...

b. Calculer la probabilité qu’au moins un forage conduise à une nappe de pétrole.

On arrondira la valeur à 10

^-3

près.

...

FIN du cours n°2

Premier ‘Se tester’ du cours n°2 : Se tester n°2

(Se tester n°2) - Exercice n°7

Dans une région pétrolifère, la probabilité qu’un forage conduise à une nappe de pétrole est de 0.2 .

1. L’évènement « atteindre une nappe de pétrole en forant » est-il un schéma de Bernoulli ? Justifier.

2. On effectue 11 forages.

a. Les conditions d’application de la loi binomiale sont-elles respectées ?

b. Calculer la probabilité qu’au moins un forage conduise à une nappe de pétrole.

On arrondira la valeur à 10

^-3

près.

Résultats :

1. Oui. 2.a. Oui 2.b. 0,914

Fin Premier ‘Se tester’ du cours n°2

Deuxième ‘Se tester’ du cours n°2 : Se tester n°2

(Se tester n°2) - Exercice n°8

Dans une région pétrolifère, la probabilité qu’un forage conduise à une nappe de pétrole est de 0.3 .

1. L’évènement « atteindre une nappe de pétrole en forant » est-il un schéma de Bernoulli ? Justifier.

2. On effectue 9 forages.

a. Les conditions d’application de la loi binomiale sont-elles respectées ?

b. Calculer la probabilité qu’au moins un forage conduise à une nappe de pétrole.

On arrondira la valeur à 10

^-3

près.

Résultats :

1. Oui. 2.a. Oui 2.b. 0,96

Fin Deuxième ‘Se tester’ du cours n°2

Interrogation n° 2 :

Objectif : C.b - Niv1 - Savoir additionner, multiplier, et diviser des fractions

numériques.

(12)

10/17 -

Exercices du cours n°2 (Cours n°2) - Exercice n°9

Un constructeur de composants produit des résistances. La probabilité qu’une résistance soit défectueuse est égale à 5 × 10 ^-3 .

Dans un lot de 1000 résistances, on suppose que le fait de détecter la défectuosité d’une résistance n’influe pas sur le test suivant.

a. Les conditions d’application de la loi binomiale sont-elles respectées ? b. Quelle est la probabilité d’avoir exactement deux résistance défectueuse ? c. Au plus deux résistances défectueuses ?

d. Au moins deux résistances défectueuses ?

(Cours n°2) - Exercice n°10*

On considère une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale de paramètre 20 et

0,2 .

a. Calculer P(X = 3) , P(X = 17 ) et P( X = 10) . b. Calculer P(X ≤ 1) , P(X ≥ 18) , et P( 10 ≤ X ≤ 15) . c. Calculer l’espérance de X .

Résultats :

1

^er

Ex. : 8,39286262749708E-02 et 0,959908999634935

2

^ème

Ex. : a. 0,205364139182889,7,65041234850021E-10 et 2,03141393004201E-03 b. 6,9175286196192E-02, 0,0000000000327259330745733 et

0,00259481389991001

FIN des exercices du cours n°2

Activité n°3 : Évènements indépendants.

Dans une urne, on a 4 boules vertes et 3 boules rouges.

1. On tire au hasard une première boule, on note sa couleur, on la remet dans l'urne, et on tire au hasard une deuxième boule.

a. Compléter l'arbre pondéré ci-dessous :

b. Que peut-on dire de P

V1

(R

2

) et de P(R

2

) ?

...

...…

c. À quoi est égal P(R

1

 V

2

) ?

...

10/17

R ₂

….

V …..

1

R ₁

P(R

1

)=...

P(V

1

)=...

P

...

(...)=...

P

_...

(...)=...

P

_...

(...)=...

P …..

...

(...)=...

(13)

d. Comparer P(R

1

 V

2

) et P(R

1

) × P(V

2

).

...…

La réalisation ou non de l'événement V

2

ne ……… ……... la probabilité de l'événement R

1

: on dit qu'ils sont indépendants.

2. On recommence l'expérience, mais sans remise : on tire au hasard une première boule, on note sa couleur, on la met de côté, et on tire au hasard une deuxième boule.

a. Compléter l'arbre pondéré ci-dessous :

b. Que peut-on dire de P

V1

(R

2

) et de P(R

2

) ?

...

c. À quoi est égal P(R

1

 V

2

) ?

...

d. Comparer P(R

1

 V

2

) et P(R

1

) × P(V

2

).

...

e. Conclusion ?

...

FIN de l’activité n°3

Cours n°3 : évènements indépendants

C3.c_Niv1 - Savoir déterminer si deux événements sont indépendants.

C3.d_Niv1 - R.O.C sur l'indépendance.

Définition n°1

Deux événements A et B sont indépendants si …... =...… (et non

………..) Exemple n°1

On tire successivement deux cartes sans remise d'un jeu de 32 cartes. A est

l'événement : « les deux cartes tirées sont des as ». T est l'événement « les deux cartes tirées sont noirs». Calculer P(A) et P(T). Les événements A et T sont-ils

indépendants ?

R 2

….

V ₁ …..

R ₁

P(R

1

)=...

P(V

₁

)=...

P

_...

(...)=...

P

_...

(...)=...

P

_...

(...)=...

P …..

...

(...)=...

(14)

12/17 -

...

Propriété n°1

Soient A et B deux événements de probabilité non nulle.

Dire que A et B sont indépendants revient à dire que P

...

(...)=P(...) (ou que P

...

(...)=P(...))

Démonstration :

Dire que A et B sont indépendants revient à dire que P(AB)=...×...

     P(A)×P

A

(B) =...×...

     …... =...

Propriété n°2

Soient A et B deux événements indépendants.

Alors A et B sont ………...

Démonstration : R.O.C.

P(AB)=P(B)×P

B

(A)=P(B)×(1 – P

...

(....)).

Mais A et B sont indépendants, donc : P

...

(....) =P(.…) Donc 1 – P

...

(....)= 1 – …...

Et 1 – P(...)=P(....),

Donc P(AB)=...

Donc A et B sont indépendants.

Exemple n°5

On dispose de trois dés à 6 faces, deux d'entre eux étant normaux et le troisième étant pipé. Un dé est normal si chaque face a la même probabilité d'apparition, alors qu'un dé est pipé si la face 6 est 2 fois plus probable que les faces 1, 2, 3, 4 et 5.

On note A l'évènement « le dé pipé fait partie des deux dés choisis » et B

l'évènement "la somme des résultats des deux dés lancés vaut 7 ".

1 [1] . Calculer la probabilité que le dé pipé donne 6 . 2 [3] . En déduire P A (B) , et P A (B) , puis P(A) .

3 [2] . Calculer P(B) .

4 [1] . Les évènements A et B sont-ils indépendants ?

...

12/17

(15)

...

Fin du cours n°3

Premier ‘Se tester’ du cours n°3 : Se tester n°3

(Se tester n°3) - Exercice n°11

On dispose de trois dés à 6 faces, deux d'entre eux étant normaux et le troisième étant pipé. Un dé est normal si chaque face a la même probabilité d'apparition, alors qu'un dé est pipé si la face 6 est 2 fois plus probable que les faces 1, 2, 3, 4 et 5.

On note A l'évènement « le dé pipé fait partie des deux dés choisis » et B

l'évènement "la somme des résultats des deux dés lancés vaut 6 ".

1 [1] . Calculer la probabilité que le dé pipé donne 6 . 2 [3] . En déduire P A (B) , et P A (B) , puis P(A) .

3 [2] . Calculer P(B) .

4[1 ] . Les évènements A et B sont-ils indépendants ?

Soient A et B deux événements indépendants.

Alors A et …...

Démontrer cette propriété.

(16)

14/17 -

Résultat :

1. 2 7 ^2.

1 7 ^,

1 6 ^,

2 3 ^3.

19 126

Fin Premier ‘Se tester’ du cours n°3

Deuxième ‘Se tester’ du cours n°3 : Se tester n°3

(Se tester n°3) - Exercice n°12

On dispose de trois dés à 6 faces, deux d'entre eux étant normaux et le troisième étant pipé. Un dé est normal si chaque face a la même probabilité d'apparition, alors qu'un dé est pipé si la face 6 est 4 fois plus probable que les faces 1, 2, 3, 4 et 5.

On note A l'évènement « le dé pipé fait partie des deux dés choisis » et B

l'évènement "la somme des résultats des deux dés lancés vaut 6 ".

1 [1] . Calculer la probabilité que le dé pipé donne 6 . 2 [3] . En déduire P A (B) , et P A (B) , puis P(A) .

3 [2] . Calculer P(B) .

4[1 ] . Les évènements A et B sont-ils indépendants ?

Soient A et B deux événements indépendants.

Alors A et …...

Démontrer cette propriété.

14/17

(17)

Résultat :

1. 4 9 ^2.

1 9 ^,

1 6 ^,

2 3 ^3.

7 54

Fin Deuxième ‘Se tester’ du cours n°3

Interrogation n° 3 :

Objectif : C3.c_Niv1 - Savoir déterminer si deux événements sont indépendants.

Objectif : C3.d_Niv1 - R.O.C sur l'indépendance.

Exercices du cours n°2 (Cours n°3) - Exercice n°13

Ex.20 p.303

(Cours n°3) - Exercice n°14

Sujet C p.315

(Cours n°3) - Exercice n°15

Sujet D p.316

(Cours n°3) - Exercice n°16

Ex.98 p.319

(Cours n°3) - Exercice n°17

Dans un supermarché, on réalise une étude sur la vente de bouteilles de jus de fruits sur une période d’un mois.

• 40 % des bouteilles vendues sont des bouteilles de jus d’orange ;

• 25 % des bouteilles de jus d’orange vendues possèdent l’appellation « pur jus ».

Parmi les bouteilles qui ne sont pas de jus d’orange, la proportion des bouteilles de

« pur jus » est notée x , où x est un réel de l’intervalle [0 ; 1].

Par ailleurs, 20 %des bouteilles de jus de fruits vendues possèdent l’appellation « pur jus ».

On prélève au hasard une bouteille de jus de fruits passée en caisse. On déﬁnit les évènements suivants :

R : la bouteille prélevée est une bouteille de jus d’orange ; J : la bouteille prélevée est une bouteille de « pur jus ».

1. Représenter cette situation à l’aide d’un arbre pondéré.

2. Déterminer la valeur exacte de x .

3. Une bouteille passée en caisse et prélevée au hasard est une bouteille de « pur jus ».

Calculer la probabilité que ce soit une bouteille de jus d’orange.

Résultats :

1

^er

Ex. : (20 p.303) : 1.0,9215 2. Idem.

2

^eme

Ex. : C p.315) : 2.a. P(R∩S)=0,045 ; b. P(R∩S)=0,855 ; c. 0,91854

3

^eme

Ex. : (D p.318) : 1.a. de gauche à droite et de haut en bas : 0,2;0,4;0,6;0,8;0,1;0,9 b.P

A

(B)=0,6 et P

A

(B)=0,9 2.a.P(A∩B)=0,08 ; b.P(B)=0,16 3. P

B

(A)=0,5.

4

^eme

Ex. : (98 p.319) : 1.a. p

1

=0,821; b. De gauche à droite et de haut en bas : 0,821;0,426;0,464;0,076;0,034;0,179;0,503;0,402;0,067;0,028 2.a. P(O) ≈ P(Rh+∩O) +P(Rh-∩O)... = 0,44 2.b.P

O

(Rh+)= 0 ,35

0 ,44 3. P(O)=0,44 et P

Rh+

(O)≈0,426. Donc...

4.a. p

n

=1 – 0,56

ⁿ

(18)

16/17 -

5

^eme

Ex. : : 1. De gauche à droite et de haut en bas : 0,4;0,25;0,75;0,6;x;1-x 2. x= 1 6 ^3.

1 2 .

16/17

(19)

NE PAS FAIRE de travail au-delà d’un cours non complété.

Date d’aujourd’hui : ...……….

Prénom et classe :...………

---

* REPASSES D’INTERROGATIONS (Cn°chap.n°cours) : C. ;C. ;C. ;C.

--- TRAVAIL PERS. (2 travaux min.) :

- Chap n° … , Résumé du Cours n° (min 5 lig): …..

- Chap n°…, Exercices n° : … / … / … - Chap n°…, Exercices n° : … / … / …

- Chap n°… , Cours n° : … , Exemple n°… / … / … / …, - Chap n°… , Activ n° : … , Questions : …/…/…/…/

NE PAS FAIRE de travail au-delà d’un cours non complété.

Date d’aujourd’hui : ...……….

Prénom et classe :...………

---

* REPASSES D’INTERROGATIONS (Cn°chap.n°cours) : C. ;C. ;C. ;C.

--- TRAVAIL PERS. (2 travaux min.) :

- Chap n° … , Résumé du Cours n° (min 5 lig): …..

- Chap n°…, Exercices n° : … / … / … - Chap n°…, Exercices n° : … / … / …

- Chap n°… , Cours n° : … , Exemple n°… / … / … / …, - Chap n°… , Activ n° : … , Questions : …/…/…/…/

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