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Chapitre n°3 : Probabilités conditionnelles et loi binomiale.
Objectifs :
Niveau a eca n
C3.a 1 Savoir utiliser les formules de probabilité C3.b 1 Savoir déterminer si deux événements sont
indépendants
C3.c 1 R.O.C sur l'indépendance
Activité d'approche n°1 : probabilités conditionnelles (Source d'inspiration : Déclic)
Dans une entreprise, le nombre d'employés, de cadres et de cadres supérieurs est donné dans le tableau ci-dessous :
Employés Cadres Cadres supérieurs
Femmes 220 38 12
Hommes 200 62 38
On choisit un salarié au hasard, et on considère les événements suivants : E : « le salarié est un employé »
C : « le salarié est un cadre »
S : « le salarié est un cadre supérieur » H : « le salarié est un homme »
F : « le salarié est une femme »
q1. Donner la probabilité des événements E,C,S,H et F.
...
...
...
...
...
………..
q2. On choisit au hasard un homme dans cette entreprise. Quelle est la probabilité que ce soit un cadre supérieur ?
...
...
...
……….
Cette probabilité est une probabilité ……….. : on cherche la probabilité qu'un employé soit un carde supérieur, sachant que l'on sait déjà que c'est un homme .
Elle est notée : ……...
q3. Calculer P
H(E) et P
H(C).
...
...
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……….
q4. Calculer P(E H) .
...
...
………..
q5. Calculer P(H).
...
...
……….
q6. Établir la relation entre P
H(E), P(EH) et P(H).
...
...……..
…………..
q7. Compléter les deux arbres pondérés ci-dessous :
q8. Comment retrouver P(E) avec le deuxième arbre ?
...
...
...
………...
q9. Comment retrouver P(H) avec le premier arbre ?
...
...
...
...
...
……….
Cours n°1 : Probabilités conditionnelles I) Probabilités conditionnelles
Définition n°1 (probabilité conditionnelle)
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La probabilité de l’événement B sachant que l'événement A est réalisé se note
…... et s'appelle la probabilité conditionnelle.
Propriété n°1 (Probabilité conditionnelle)
Soit A et B deux événements, A étant de probabilité non nulle. La probabilité de l'événement B sachant que l'événement A est réalisé s'obtient par la formule : P
A(B)
= ...
... et P(AB) = …...
Exemple n°1
Deux ateliers produisent des paires de chaussures. Le premier atelier produit 6000 paires. Le deuxième produit 4000 paires. 120 paires sont défectueuses et
proviennent du premier atelier.
1. Quelle est la probabilité qu'une paire soit défectueuse sachant qu'elle provient du premier atelier ?
…...
...
...…
2. Compléter l'arbre pondéré :
Propriété n°2 (propriétés des arbres pondérés) Dans un arbre pondéré :
● la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut ….
● la probabilité d'un chemin vaut le …... des probabilités qui compose ce chemin.
Définition n°2 (Partition d'un ensemble)
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Un ensemble de parties d'un ensemble est une partition de cet ensemble si :
● aucune de ces parties est vide.
● l'union de toutes les parties redonne .
● l'intersection de chacune des partie avec n'importe quelle autre partie est vide.
Exemple n°2 :
Dans un jeu de 32 cartes, si l'on répartit les cartes suivant les couleurs, on fait une partition du jeu.
Proposer une autre partition :
...
...
...
Propriété n°3 (formule des probabilités totales) Soit A
1, A
2,.., A
nune partition de l'ensemble
Alors la probabilité d'un événement B vaut :
P(B)=P(A
1 B)+………...+...+P………+P………
Exemple n°3 :
On reprend l'exemple n°1. On sait maintenant que, si on ne prélève que des paires venant du deuxième atelier, la probabilité qu'une paire soit défectueuse est de 0,3.
1. Quelle est la probabilité qu'une paire soit défectueuse et provienne du deuxième atelier ?
…...
...
...
...
………...
2. Quelle est la probabilité qu'une paire soit défectueuse ?
…...
...
...
...
………...
Se tester C3.1 (sur 6) Objectifs :
Niveau a eca n
C3.a 1 Savoir utiliser les formules de probabilité Ex.1
Deux ateliers produisent des paires de chaussures. Le premier atelier produit 8000 paires. Le deuxième produit 2000 paires. 180 paires sont défectueuses et
proviennent du premier atelier.
q1(/1). Quelle est la probabilité qu'une paire soit défectueuse sachant qu'elle provient du premier atelier ?
…...
...
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...
...………..
………...
q2(/2). Compléter quand c'est possible l'arbre pondéré :
q3(/1). On sait maintenant que, si on ne prélève que des paires venant du deuxième atelier, la probabilité qu'une paire soit défectueuse est de 0,9.
Quelle est la probabilité qu'une paire soit défectueuse et provienne du deuxième atelier ?
…...
...
...
...………...
q4(/1). Compléter l'arbre pondéré.
q5(/1). Quelle est la probabilité qu'une paire soit défectueuse ?
…...
...
...
...………
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Indices et résultats Ex.1 : q1. 9
400 q2. P(A 1 )= 4 5 ; P(A 2 )= 1 5 ; P A1 (D)= 400 9 ; P A1 (D)= 391 400 ; P A2 (D)=? ; P A2 (D)=?
q3. 9
50 q4. P A2 (D)=0,9 ; P A2 (D)= 1$10 –01 $ ; q5. 99 500 .
Interrogation n°1 Objectifs
C3.a_Niv1 :Savoir utiliser les formules de probabilité.
Exercice n°1 Ex.1 p.302 Exercice n°2
Ex.9 p.302 Exercice n°3
Ex.13 p.303 Exercice n°4*
Ex.44 p.306
Activité d'approche n°2 : indépendance d'événements Dans une urne, on a 4 boules vertes et 3 boules rouges.
1. On tire au hasard une première boule, on note sa couleur, on la remet dans l'urne, et on tire au hasard une deuxième boule.
a. Compléter l'arbre pondéré ci-dessous :
b. Que peut-on dire de P
V1(R
2) et de P(R
2) ?
...
...
...
c. À quoi est égal P(R
1 V
2) ?
...
d. Comparer P(R
1 V
2) et P(R
1) × P(V
2).
...…
La réalisation ou non de l'événement V
2ne ………... la
R 2
….
V …..
1
R 1
P(R
1)=...
P(V
1)=...
P
...(...)=...
P
...(...)=...
P
...(...)=...
P …..
...
(...)=...
probabilité de l'événement R
1: on dit qu'ils sont indépendants.
2. On recommence l'expérience, mais sans remise : on tire au hasard une première boule, on note sa couleur, on la met de côté, et on tire au hasard une deuxième boule.
a. Compléter l'arbre pondéré ci-dessous :
b. Que peut-on dire de P
V1(R
2) et de P(R
2) ?
...
...
...…
c. À quoi est égal P(R
1 V
2) ?
...
d. Comparer P(R
1 V
2) et P(R
1) × P(V
2).
...…
e. Conclusion ?
………..
Cours n°2 : évènements indépendants II) Événements indépendants
Définition n°3
Deux événements A et B sont indépendants si …... =...… (et non
………..) Exemple n°4
On tire successivement deux cartes sans remise d'un jeu de 32 cartes. A est l'événement : « les deux cartes tirées sont des as ». T est l'événement « les deux cartes tirées sont noirs». Calculer P(A) et P(T). Les événements A et T sont-ils indépendants ?
...
...
...
...
...
R 2
….
…..
V 1
R 1
P(R
1)=...
P(V
1)=...
P
...(...)=...
P
...(...)=...
P
...(...)=...
P …..
...
