2) Lien avec la géométrie analytique Pour tous points A et B du plan complexe, d’affixes zA

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2) Lien avec la géométrie analytique

Pour tous points A et B du plan complexe, d’affixes z

et z

, pour tous vecteurs Å w et Ä w’ d’affixes z

et z

,

pour tout réel k,

1) L’affixe du vecteur Ä AB est z

− z

2) L’affixe du vecteur Å w + Ä w’ est z

+ z

3) L’affixe du vecteur k Å w est k z

4) Si I est le milieu du segment [AB] alors z

= 2

B

A

z

z +

 1) Soit A(x

; y

) et B(x

; y

) Alors Ä AB (x

− x

; y

− y

)

et z

= (x

− x

) + i(y

− y

) = (x

+ iy

) − (x

+ iy

) = z

− z

. 3) si Å w(x ; y) alors kÅ w(kx ; ky) donc z

= kx + iky = k(x + iy) = k z

2 et 4) ASDL Exemple

3 + i, 2 − 2i, 2i et 1 + 5i sont les affixes respectives de quatre points A, B, C et D.

Montrer que ABCD est un parallélogramme.

Quelle est l’affixe du centre I du parallélogramme ABCD ?

Déterminer l’affixe du point E tel que ACDE soit un parallélogramme, et montrer que les points B, A et E sont alignés.

o

A

B C

D

I

• Ä AB a pour affixe :

z

− z

= (2 − 2i) − (3 + i) = − 1 − 3i.

Ä DC a pour affixe :

z

− z

= 2i − (1 + 5i) = − 1 − 3i.

Ainsi Ä AB = Ä DC

et ABCD est un parallélogramme.

• Son centre I est donc le milieu de [AC].

On en déduit que : z

=

2

C

A

z

z + = 2

2 ) 3

( + i + i = 3

2 + 3 2 i.

• Soit zE l’affixe du point E.

ACDE est un parallélogramme , Ä AC = Ä ED

, z

z

z

z

, z

z

z

+ z

(1+5 i)

2i +(

+i )

4+4i .

• Enfin, z

z

z

1+3i et z

z

z

2+6i.

On a : z

= 2z

, donc Ä BE = 2 Ä BA , et ainsi les

points B, A et E sont alignés.

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3) Module d'un nombre complexe

Définition

On appelle module du nombre complexe z = a + ib le nombre réel positif :

b z a

z

z = =

+

Exemples

| ¹⁺²ⁱ | ^{= 1}

⁺²

^{= 5 .}

| ^{4−3 i} | ^{= 4}

^+(-3)

^{= 25 = 5.}

| | ^{-7 =} | ^-7+0 i | = (-7)

+0

= 49 = 7.

| | 6 i = | ⁰⁺⁶ⁱ | ^{= 0}

⁺⁶

^{= 36 = 6.}

Interprétation géométrique

• Si M( x ; y) est le point d’affixe z = x+ i y, alors z = x

+ y

= OM.

• Si A et B sont deux points d’affixes z

et z

, alors z

− z

est l'affixe du vecteur Ä AB .

Mais d'autre part si z

= z

−z

alors z

− z

= z

− z

et donc Ä OM = Ä AB et M est la quatrième sommet du parallélogramme ABMO.

Ainsi | ^z

^−z

| ⁼ | | ^z

= OM = AB.

On retiendra donc que :

Si z

est l'affixe d'un point M, alors | | ^z

= OM.

Si z

et z

sont les affixes de deux points A et B, alors | ^z

^−z

| ^{= AB.}

| | ^z

| ^z

^{− z}

|

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Exemple

Soit A, B et C les points d’affixes z

= -2− i, z

= 2+2i et z

= 8−6i.

.

Montrons que le triangle ABC est rectangle en B.

AB = | ^z

^{− z}

| ⁼ | ^{4+3 i} | ^{= 5 ; AC =} | ^z

^−z

| ⁼ | ^{10−5 i} | ^{= 125 et BC =} | ^z

^{− z}

| ⁼ | ^{6−8 i} | ^{= 100 .}

Or d’une part AC

= 125 et d’autre part AB

+ BC

= 25+100 = 125.

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est donc rectangle en C.

Remarque : on pouvait aussi procéder sans calcul de longueur.

En effet Ä AB a pour affixe z

− z

= 4+3 i donc Ä AB   

 



. Ä BC a pour affixe z

− z

= 6−8i donc Ä BC   

 



.

Mais alors Ä AB · Ä BC = 4×6+3×(-8) = 24−24 = 0 et donc (A B ) $ (BC ).

Le triangle A BC est donc rectangle en B.

Remarques

• Si x ∈ R , alors le module de x est égal à sa valeur absolue.

En effet, dans ce cas le module de x est | ^{x+0 i} | ^{= x}

⁺⁰

^{= x}

qui est bien la valeur absolue | | x de x.

Le fait que les deux notations coïncident est donc tout sauf un hasard : le module est l'extension à C de la valeur absolue de R .

D'ailleurs géométriquement, la valeur absolue | | x d'un réel est bien la distance entre le point d'abscisse x sur l'axe des abscisses (des réels) et l'origine.

• z = 0 , OM = 0 , O = M , z = 0.