uur uur

(1)

Exercice n°1 :

Sur un cercle trigonométrique C , on considère deux points A et B tels que : (

^,

)

⁵

^{[ ]}

²

OI OA 6p p

L

uur uur

º

et (

^,

)

²

^{[ ]}

²

OI OB 3p p

L

uur uur

º -

.

Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants :

(

^{OA OJ}

^{uur uuur}

^, ^'

) ^, (

^{OJ OB}

^{uur uur}

^,

) ^, (

^{OA OB}

^{uur uur}

^,

) ^, ( ^{uuur uur}

^{AO OB}^,

) ^, (

^{OA BO}

^{uur uur}

^,

) ^, ( ^{uuur uur}

^{AO BO}^,

) ^, ( ²

^OA

^{uur uur}

^{, 3}^- ^OB

) ^.

Exercice n°2 :

ABC est un triangle et I le milieu de [BC]. On sait que : (

^,

) ^{[ ]}

²

IA IB p3 p

L

ur uur

º

. Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants :

(

^{AI IB}

^{uur uur}

^,

) ^, ( ^{uur uur}

^{AI IC}^,

) ^et (

^{IA CB}

^{ur uur}

^,

) ^.

Exercice n°3 : ©

Le plan étant orienté dan le sens direct.

ABCD est un parallélogramme de centre O.

1. Démontrer que : ( ^{uur uuur}

^{AB AD}^,^L

) ⁺ ( ^{CB CD} ^{uuur uuur} ^,

^L

)

^º^{0 2}

^{[ ]}

^p

^.

2. Quelle propriété du parallélogramme a – t – on démontré ? 3. On suppose que (

^,

) ^{[ ]}

²

AB AD^L

p 4

p

uur uuur

º

.

Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants : (

^{CD CB}

^{uur uur}

^,

) ^, (

^{BA DA}

^{uur uur}

^,

) ^, (

^{DC DA}

^{uuur uur}

^,

) ^, (

^{BC DA}

^{uur uur}

^,

) ^.

Exercice n°4 : ©

On considère dans le plan orienté , un triangle ABC isocèle de sommet principal A tel que

^, ²

[ ]

²

3 AB AC p

p

L

® ®

æ ö

º

ç ÷

è ø .

On désigne par I le milieu de [BC].

1. Donner la mesure principale de

BA BC,

® ®

æ ö

ç ÷

è ø

.

2. a) Placer le point E de la droite (AI) tel que

⁷ 2

p

soit une mesure de

BA BE,

® ®

æ ö

ç ÷

è ø

b) Déterminer une mesure de

BE BC,

® ®

æ ö

ç ÷

è ø

. En déduire la nature du triangle BEC.

c) Donner en radian la mesure principale de chacun des angles orientés suivants :

AC BE,

® ®

æ ö

ç ÷

è ø

,

AI EC,

® ®

æ ö

ç ÷

è ø

,

AE BC,

® ®

æ ö

ç ÷

è ø

Angles orientés

3^ème année Sciences expérimentales

Novembre 2009 A. LAATAOUI

(2)

Exercice n°5 : ©

Etant donnés deux points A et B du plan orienté dans le sens direct tels que AB = 3 cm.

1. Déterminer et construire l’ensemble

^C¹⁼

^ì ^í

^M^Î^P^/

(

^{MA MB}^,^L

)

^º^p₄

^{[ ]}

²^p

^ü ^ý

î þ

uuur uuur

. 2. On désigne par

^C² =

{

^MÎ^P^/^MAMB=²

} .

a) On note G le barycentre des points pondérés (A, 1) et (B, - 4).

Montrer que

C₂

est l’ensemble des points M du plan tels que :

² ¹

(

² ⁴ ²

)

MG =3 GA - GB

. b) En déduire que

C₂

est un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.

3. Utiliser les résultats précédents pour construire le triangle ABC vérifiant : (

^{CA CB}

^{uur uur}

^,^L

)

^º^p₄

^{[ ]}

²^p

^et

^CA⁼²^CB

^.

(3)

Exercice n°3 :

1. (

^{AB AD}

^{uur uuur}

^,^L

) ⁺ ( ^{CB CD} ^{uuur uuur} ^,

^L

)

^º

(

^{DC BC}

^{uuur uur}

^,^L

) ⁺ ( ^{CB CD} ^{uuur uuur} ^,

^L

) ^{[ ]} ² ^p ^º (

^{CD CB}

^{uur uur}

^,^L

) ⁺ ( ^{CB CD} ^{uuur uuur} ^,

^L

) ^{[ ]} ² ^p ^º ( ^{CD CD} ^{uuur uuur} ^,

^L

) ^{[ ]} ² ^p ^º

^{0 2}

^{[ ]}

^p

2. D’après la question 1. On a : ( ^{uuur uuur} ^{AB AD} ^,

^L

) ^{[ ]} ² ^p ^º ( ^{CD CB} ^{uuur uuur}

^L

^, ) ^{[ ]} ² ^p

Dans un parallélogramme, deux angles opposés sont isométriques.

3. (

^{AB AD}

^{uur uuur}

^,^L

)

^º

^p ₄ ^{[ ]}

²^p

· (

^{CD CB}

^{uur uur}

^Ù^,

) ( ^º ^{uur uuur}

^{AB AD}^,^Ù

) ^{[ ]} ² ^p ^º ^{p p} ₄ ^{[ ]} ² ^et ^p ₄ Î ]- p, p] Þ 4

p est la mesure principale de

(

^{CD CB}

^{uur uur}

^,

)

· (

^{BA DA}

^{uur uur}

^,^Ù

) ^º ( ^{uur uuur}

^{AB AD}^,^L

) ^{[ ]}

²^p ^º

^p ₄ ^{[ ]}

²^p

^Þ ^p ₄ est la mesure principale de (

^{BA DA}

^{uur uur}

^,

)

· (

^{DC DA}

^{uuur uur}

^Ù^,

) ( ^º

^{AB DA}

^{uur uur}

^,^Ù

) ^{[ ]} ² ^p ^{º +} ^p (

^{AB AD}

^{uur uuur}

^,^Ù

) ^{[ ]} ² ^p ^º ^{[ ]} ² ⁵ ^{[ ]} ²

4 4

p p

p + p º p ³ [ ] ²

4 p p º -

³ ] ^, ]

4 p p p

- Î - Þ 3 4

- p est la mesure principale de (

^{DC DA}

^{uuur uur}

^,

)

· (

^{BC DA}

^{uur uur}

^Ù^,

) ( ^º

^{AD DA}

^{uuur uur}

^,^Ù

) ^{[ ]} ² ^p ^º ^{p p} ^{[ ]} ² Þ p la mesure principale de (

^{BC DA}

^{uur uur}

^,

)

Angles orientés Corrigé

3^ème année Section : Sciences

Novembre 2009 A. LAATAOUI

(4)

Exercice n°4 :

1. La mesure principale de

BA BC,

® ®

æ ö

ç ÷

è ø

:

Cherchons tout dabord la mesure de l’angle géométrique

2 3

2 2 6

ABC BAC

p p

p

^Ù

p

Ù

- -

= = =

, BA BC

® ®

æ ö

ç ÷

è ø

est orienté dans le sens négatif Þ ^, [ ] ²

BA BC p 6 p

® Ù ®

æ ö º -

ç ÷

è ø

2. a)

BA BE,

® Ù ®

æ ö º

ç ÷

è ø ⁷ [ ] ² [ ] ²

2 2

p p º - p p et E Î (AI).

b)

^{BE BC}^® ^, ^® ^{BE BA}^® ^, ^® ^{BA BC}^®^, ^®

[ ] ² ^p

Ù Ù Ù

æ ö æ º ö æ + ö º

ç ÷ ç ÷ ç ÷

è ø è ø è ø [ ] ² [ ] ²

2 6 3

p p p

p p

- º

E Î (AI) = méd[BC] Þ EB = EC, de plus

BE BC,

® Ù ®

æ ö º

ç ÷

è ø [ ] ²

p p 3 Þ BEC est équilatéral.

c)

[ ] [ ]

, , ,

2

, ,

2

AC BE^® ^® AC AB^® ^® AB BE^® ^®

p

AC AB^® ^® BA BE^® ^®

p p

Ù Ù Ù Ù Ù

æ ö æ º ö æ + ö º æ ö æ + ö +

ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷

è ø è ø è ø è ø è ø

² [ ] ² ⁷ [ ] ² ⁵ [ ] ²

3 2 6 6

p p p p

p p p

º - - º - º

[ ] [ ] [ ] [ ]

, , ,

5 2 2 2 2

6 6

AI EC^® ^® AE EC^® ^®

p p

EA EC^® ^®

p p p p p p

Ù Ù Ù

æ ö æ º ö º + æ ö º - º

ç ÷ ç ÷ ç ÷

è ø è ø è ø

[ ] [ ]

, ,

2

,

2

AE BC^® ^® AI IC^® ^®

p p

IA IC^® ^®

p

Ù Ù Ù

æ ö æ º ö º + æ ö º

ç ÷ ç ÷ ç ÷ ^p ^- ^p [ ] ² ^p ^º ^p [ ] ² ^p

(5)

Exercice n°5 :

1.

^C¹⁼

^ì ^í

^M^Î^P^/

(

^{MA MB}^,^L

)

^º^p₄

^{[ ]}

²^p

^ü ^ý

î þ

uuur uuur

C

1

est l’arc d’un cercle z passant par A et B et tangent à la demi-droite [At) telle que ( ^{uur uuur} ^{At AB} ^,

^Ù

) ^º ^p ₄ ^{[ ]} ² ^p

Cet arc est situé dans le demi-plan de frontière (AB) ne contenant pas [At) et il est privé des points A et B.

2.

^C² =

{

^MÎ^P^/MB^MA=²

}

a) G le barycentre des points pondérés (A, 1) et (B, -4).

M Î C

₂

Û MA 2

MB = Û MA = 2MB Û MA² - 4 MB² = 0 Û MA uuur

²

- 4 MB uuur

²

= 0 Û ( ^MG ^{uuuur uuur} ⁺ ^GA ) (

²

^- ⁴ ^MG ^{uuuur uuur} ⁺ ^GB )

²

⁼ ⁰

Û MG

²

+ 2 MG GA uuuur uuur × + GA

²

- 4 MG

²

- 8 MG GB uuuur uuur × - 4 GB

²

= 0

Û

² ² ²

0

3 MG 2 MG æ GA 4 GB ö GA 4 GB 0

- + × ç ç è -

^r

÷ ÷ ø + - = uuuur uuur uuur

14243 Û

² ¹

(

² ⁴ ²

)

MG = 3 GA - GB

.

b) 4 4 4

1 4 3 3 4

AG = - AB = AB Þ GA = ´ AB = -

uuur uuur uuur

1 1 1

1 4 3 3 1

BG = BA = - BA Þ GB = ´ AB = -

uuur uuur uuur

M Î C

₂

Û

² 1

(

² ²

) ⁽ ⁾

( ^,2)

4 3

1 16 4 4 2

3

^G

MG = GA - GB

= - = Û MG = Û M Î z 3. (

^,

) ^{[ ]}

²

CA CB p4 p

L

uur uur

º

et

CA=2CB

Û C Î C

₁

Ç C

₂

.

uur uur

Exercice n°1 :

Sur un cercle trigonométrique C , on considère deux points A et B tels que : (

)

[ ]

uur uur

et (

)

[ ]

uur uur

.

Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants :

(

uur uuur

) , (

uur uur

) , (

uur uur

) , ( uuur uur

) , (

uur uur

) , ( uuur uur

) , ( 2

uur uur

) .

Exercice n°2 :

ABC est un triangle et I le milieu de [BC]. On sait que : (

) [ ]

ur uur

. Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants :

(

uur uur

) , ( uur uur

) et (

ur uur

) .

Exercice n°3 : ©

Le plan étant orienté dan le sens direct.

ABCD est un parallélogramme de centre O.

1. Démontrer que : ( uur uuur

) + ( CB CD uuur uuur ,

)

[ ]

.

2. Quelle propriété du parallélogramme a – t – on démontré ? 3. On suppose que (

) [ ]

p 4

uur uuur

.

Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants : (

uur uur

) , (

uur uur

) , (

uuur uur

) , (

uur uur

) .

Exercice n°4 : ©

On considère dans le plan orienté , un triangle ABC isocèle de sommet principal A tel que

[ ]

æ ö

ç ÷

è ø .

On désigne par I le milieu de [BC].

1. Donner la mesure principale de

.

2. a) Placer le point E de la droite (AI) tel que

soit une mesure de

b) Déterminer une mesure de

. En déduire la nature du triangle BEC.

c) Donner en radian la mesure principale de chacun des angles orientés suivants :

,

,

Angles orientés

Exercice n°5 : ©

Etant donnés deux points A et B du plan orienté dans le sens direct tels que AB = 3 cm.

1. Déterminer et construire l’ensemble

ì í

(

^{[ ]}

^{[ ]}

^{uur uuur}

) ^, (

^{uur uur}

) ^, (

^{uur uur}

) ^, ( ^{uuur uur}

) ^, (

^{uur uur}

) ^, ( ^{uuur uur}

) ^, ( ²

^{uur uur}

) ^.

) ^{[ ]}

^{uur uur}

) ^, ( ^{uur uur}

) ^et (

^{ur uur}

) ^.

1. Démontrer que : ( ^{uur uuur}

) ⁺ ( ^{CB CD} ^{uuur uuur} ^,

^{[ ]}

^.

) ^{[ ]}

^{uur uur}

) ^, (

^{uur uur}

) ^, (

^{uuur uur}

) ^, (

^{uur uur}

) ^.

^ì ^í

^{[ ]}

^ü ^ý

^{uur uur}

^{[ ]}

^et

^.

^{uur uuur}

) ⁺ ( ^{CB CD} ^{uuur uuur} ^,

^{uuur uur}

) ⁺ ( ^{CB CD} ^{uuur uuur} ^,

) ^{[ ]} ² ^p ^º (

^{uur uur}

) ⁺ ( ^{CB CD} ^{uuur uuur} ^,

) ^{[ ]} ² ^p ^º ( ^{CD CD} ^{uuur uuur} ^,

) ^{[ ]} ² ^p ^º

^{[ ]}

2. D’après la question 1. On a : ( ^{uuur uuur} ^{AB AD} ^,

) ^{[ ]} ² ^p ^º ( ^{CD CB} ^{uuur uuur}

^, ) ^{[ ]} ² ^p

^{uur uuur}

^p ₄ ^{[ ]}

^{uur uur}

) ( ^º ^{uur uuur}

) ^{[ ]} ² ^p ^º ^{p p} ₄ ^{[ ]} ² ^et ^p ₄ Î ]- p, p] Þ 4

^{uur uur}

^{uur uur}

) ^º ( ^{uur uuur}

) ^{[ ]}

^p ₄ ^{[ ]}

^Þ ^p ₄ est la mesure principale de (

^{uur uur}

^{uuur uur}

) ( ^º

^{uur uur}

) ^{[ ]} ² ^p ^{º +} ^p (

^{uur uuur}

) ^{[ ]} ² ^p ^º ^{[ ]} ² ⁵ ^{[ ]} ²

p + p º p ³ [ ] ²