MQ1 – Approche ondulatoire de la mécanique quantique A – Travaux dirigés MQ11 – Energie minimale d’un oscillateur harmonique

MQ1 – Approche ondulatoire de la mécanique quantique

A – Travaux dirigés

MQ11 – Energie minimale d’un oscillateur harmonique

1°) Si � < 𝑝𝑝 _𝑥𝑥 > = 0

< 𝑥𝑥 > = 0 alors < 𝑝𝑝 _𝑥𝑥 ² > = Δ𝑝𝑝 _𝑥𝑥 ² et < 𝑥𝑥 ² > = (Δ𝑥𝑥) ² Or :

Δ𝑝𝑝 _𝑥𝑥 Δ𝑥𝑥 ≥ ℏ 2

⇒ _{< 𝑝𝑝 𝑥𝑥} ² _{> ≥} ^{ℏ 2} 4(Δ𝑥𝑥) ² D’où :

< 𝐸𝐸 _𝑐𝑐 > ≥ ℏ ²

8𝑚𝑚(Δ𝑥𝑥) ² 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝐸𝐸 _𝑐𝑐 = 𝑝𝑝 _𝑥𝑥 ² Or 𝐸𝐸 = 𝐸𝐸 _𝑐𝑐 + 𝑉𝑉 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐 𝑉𝑉(𝑥𝑥) = ¹ ₂ 𝑚𝑚𝜔𝜔 ₀ ² 𝑥𝑥 ² 2𝑚𝑚

⇒ _{< 𝐸𝐸 > =< 𝐸𝐸 𝑐𝑐 > +} ¹

2 𝑚𝑚𝜔𝜔 ₀ ² < 𝑥𝑥 ² >

⇒ _{< 𝐸𝐸 > =< 𝐸𝐸 𝑐𝑐 > +} ¹

2 𝑚𝑚𝜔𝜔 ₀ ² (Δ𝑥𝑥) ²

⇒ _{< 𝐸𝐸 > ≥} ^{ℏ 2}

8𝑚𝑚(Δ𝑥𝑥) ² + 1

2 𝑚𝑚𝜔𝜔 ₀ ² (Δ𝑥𝑥) ²

2°) Calculons la dérivée de l’expression de droite pour trouver la valeur de Δ𝑥𝑥 qui la minimise :

𝑑𝑑 < 𝐸𝐸 _{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚} >

𝑑𝑑(Δ𝑥𝑥) = −2 × ℏ ² 8𝑚𝑚(Δ𝑥𝑥) ³ + 2

2 𝑚𝑚𝜔𝜔 ₀ ² (Δ𝑥𝑥)

La première valeur correspond à un maximum et la seconde valeur donne : 𝐸𝐸 _{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚} = ℏ ²

8𝑚𝑚 � ℏ 2𝑚𝑚𝜔𝜔 ₀ � + 1

2 𝑚𝑚𝜔𝜔 ₀ ² � ℏ 2𝑚𝑚𝜔𝜔 ₀ �

⇔ _{𝐸𝐸 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 =} ^ℏ

4 𝜔𝜔 ₀ + ℏ 4 𝜔𝜔 ₀

⇔ _{𝐸𝐸 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 =} ^ℏ 2 𝜔𝜔 ₀ Pour obtenir 𝐸𝐸 _{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚} il faut : Δ𝑥𝑥 = � _{2𝑚𝑚𝜔𝜔} ^ℏ

0

3°) a)

Cherchons 𝑇𝑇 _𝑐𝑐 telle que :

Δ𝑥𝑥 = � ℏ

2𝑚𝑚𝜔𝜔 ₀ = Δ𝑥𝑥 _𝑇𝑇 = � 𝑘𝑘 _𝐵𝐵 𝑇𝑇 𝑚𝑚𝜔𝜔 ₀ ²

⇔ ^ℏ

2 = 𝑘𝑘 _𝐵𝐵 𝑇𝑇 _𝑐𝑐 𝜔𝜔 ₀

⇔ _{𝑇𝑇 𝑐𝑐 =} ^{ℏ𝜔𝜔 0} 2𝑘𝑘 _𝐵𝐵 3°) b)

Posons 𝑓𝑓 ₀ = 10𝐻𝐻𝐻𝐻 ⇒ _{𝜔𝜔 0} = 20𝜋𝜋 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑 · 𝑠𝑠 ⁻¹

⇒ _{𝑇𝑇 𝑐𝑐 = 2.10} ⁻¹⁰ _𝐾𝐾

Donc les fluctuations quantiques sont négligeables pour un oscillateur harmonique classique car on ne peut pas réaliser de telles températures en laboratoire.

Posons 𝑓𝑓 ₀ = 6,0 𝐺𝐺𝐻𝐻𝐻𝐻 ⇒ _{𝑇𝑇 𝑐𝑐 = 0,14 𝐾𝐾} , ainsi ils ont pu observer des

fluctuations quantiques car 𝑇𝑇 < 𝑇𝑇 _𝑐𝑐 .

MQ12 - Superposition de fonctions d’ondes

1°) On pose : Ψ(𝑥𝑥, 0) = 1

√2 �𝜙𝜙 ₁ (𝑥𝑥) + 𝜙𝜙 ₂ (𝑥𝑥)� ⇒ _{Ψ(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) =} ¹

√2 �Ψ ₁ (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) + Ψ ₂ (𝑥𝑥, 𝑡𝑡)�

⇒ _{Ψ(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) =} ¹

√2 �𝜙𝜙 ₁ (𝑥𝑥)𝑎𝑎 ^{−𝑚𝑚𝜔𝜔}

^𝑡𝑡 + 𝜙𝜙 ₂ (𝑥𝑥)𝑎𝑎 ^{−𝑚𝑚𝜔𝜔}

^𝑡𝑡 �

⇒ _{Ψ(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) =} ¹

√2 𝑎𝑎 ^{−𝑚𝑚𝜔𝜔}

^𝑡𝑡 �𝜙𝜙 ₁ (𝑥𝑥) + 𝜙𝜙 ₂ (𝑥𝑥)𝑎𝑎 ^{−𝑚𝑚(𝜔𝜔}

^−𝜔𝜔

^)𝑡𝑡 �

⇒ _{Ψ(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) =} ¹

√2 𝑎𝑎 ^{−𝑚𝑚𝜔𝜔}

^𝑡𝑡 �𝜙𝜙 ₁ (𝑥𝑥) + 𝜙𝜙 ₂ (𝑥𝑥)𝑎𝑎 ^{−𝑚𝑚𝜔𝜔𝑡𝑡} � 𝑜𝑜ù 𝜔𝜔 = 𝜔𝜔 ₂ − 𝜔𝜔 ₁ 2°)

Calculons : |Ψ(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)| ²

|Ψ(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)| ² = Ψ(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)Ψ ^∗ (𝑥𝑥, 𝑡𝑡)

⇔ _{|Ψ(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)|} ² _{= Ψ(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)Ψ} ^∗ _{(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)}

⇔ _{|Ψ(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)|} ² ₌ ¹

2 �𝜙𝜙 ₁ (𝑥𝑥) + 𝜙𝜙 ₂ (𝑥𝑥)𝑎𝑎 ^{−𝑚𝑚𝜔𝜔𝑡𝑡} ��𝜙𝜙 ₁ (𝑥𝑥) + 𝜙𝜙 ₂ (𝑥𝑥)𝑎𝑎 ^{+𝑚𝑚𝜔𝜔𝑡𝑡} �

⇔ _{|Ψ(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)|} ² ₌ ¹

2 �𝜙𝜙 ₁ ² (𝑥𝑥) + 𝜙𝜙 ₂ ² (𝑥𝑥) + 𝜙𝜙 ₁ (𝑥𝑥)𝜙𝜙 ₂ (𝑥𝑥)�𝑎𝑎 ^{−𝑚𝑚𝜔𝜔𝑡𝑡} + 𝑎𝑎 ^{+𝑚𝑚𝜔𝜔𝑡𝑡} ��

⇔ _{|Ψ(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)|} ² ₌ ¹

2 �𝜙𝜙 ₁ ² (𝑥𝑥) + 𝜙𝜙 ₂ ² (𝑥𝑥) + 2cos (𝜔𝜔𝑡𝑡)𝜙𝜙 ₁ (𝑥𝑥)𝜙𝜙 ₂ (𝑥𝑥)�

La particule part de la gauche à t=0 et se déplace vers la droite, elle rebondit en x=a pour 𝑡𝑡 = 𝑡𝑡 ₂ . On remarque que pour 𝑡𝑡 = 𝑡𝑡 ₁ le maximum de probabilité n’est pas en ^𝑎𝑎 ₂ mais plutôt en ^𝑎𝑎 ₄ 𝑎𝑎𝑡𝑡 ^3𝑎𝑎 ₄ .

3°) On calcule la valeur moyenne de x.

< 𝑥𝑥 > = � 𝑥𝑥|𝜓𝜓| ^{𝑎𝑎 2}

𝑥𝑥=0 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑐𝑐

2 − 16𝑐𝑐

9𝜋𝜋 ² cos(𝜔𝜔𝑡𝑡)

On retrouve le principe du résultat précédent : - Pour t=0 la particule est proche de x=0.

- Pour 𝑡𝑡 = 𝑡𝑡 ₂ , la particule est proche de x=a.

- Pour 𝑡𝑡 = 2𝑡𝑡 ₂ , la particule revient à proximité de x=0.

On cherche une estimation de l’intervalle de temps Δ𝑡𝑡 au bout duquel le système a évolué de façon appréciable.

Initialement cos(𝜔𝜔𝑡𝑡) = 1 , on peut alors définir Δ𝑡𝑡 par : cos(𝜔𝜔Δ𝑡𝑡) = −1

⇒ _{Δ𝑡𝑡 = 𝑡𝑡 2 =} ^𝜋𝜋

𝜔𝜔

MQ13 – Particule libre et paquet d’ondes

Dans le cas général, l’équation de Schrödinger s’écrit : 𝑖𝑖ℏ 𝜕𝜕𝜓𝜓

𝜕𝜕𝑡𝑡 = 𝐸𝐸𝜓𝜓

⇔ _𝑖𝑖ℏ 𝜕𝜕(𝜙𝜙(𝑥𝑥)𝑓𝑓(𝑡𝑡))

𝜕𝜕𝑡𝑡 = 𝐸𝐸𝜙𝜙(𝑥𝑥)𝑓𝑓(𝑡𝑡)

⇔ _{𝑖𝑖ℏ𝜙𝜙(𝑥𝑥)} ^{𝜕𝜕(𝑓𝑓(𝑡𝑡))}

𝜕𝜕𝑡𝑡 = 𝐸𝐸𝜙𝜙(𝑥𝑥)𝑓𝑓(𝑡𝑡)

⇔ _𝑖𝑖ℏ ^{𝜕𝜕(𝑓𝑓(𝑡𝑡))}

𝜕𝜕𝑡𝑡 = 𝐸𝐸𝑓𝑓(𝑡𝑡) 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝜙𝜙(𝑥𝑥) = 0 On garde la première solution car sinon 𝜓𝜓 = 0 :

⇔ ^{𝜕𝜕�𝑓𝑓(𝑡𝑡)�}

𝜕𝜕𝑡𝑡 − 𝐸𝐸

𝑖𝑖ℏ 𝑓𝑓(𝑡𝑡) = 0 qui se résout en :

𝑓𝑓(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑎𝑎 ^{+𝐸𝐸 𝑚𝑚ℏ𝑡𝑡}

⇔ _{𝑓𝑓(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑎𝑎} ^{−𝑚𝑚𝐸𝐸ℏ𝑡𝑡}

En général on pose 𝐴𝐴 = 1 afin de normaliser 𝜙𝜙(𝑥𝑥) d’où :

⇔ _{𝑓𝑓(𝑡𝑡) = 𝑎𝑎} ^{−𝑚𝑚𝐸𝐸ℏ𝑡𝑡} _{= 𝑎𝑎} ^{−𝑚𝑚𝜔𝜔𝑡𝑡} Or :

− ℏ ² 2𝑚𝑚

𝜕𝜕 ² 𝜙𝜙

𝜕𝜕𝑥𝑥 ² + 𝑉𝑉𝜙𝜙 = 𝐸𝐸𝜙𝜙 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐 𝑉𝑉 = 0

⇔ ^{𝜕𝜕 2 𝜙𝜙}

𝜕𝜕𝑥𝑥 ² + 2𝑚𝑚𝐸𝐸

ℏ ² 𝜙𝜙 = 0 Qui se résout, avec E>0, en :

𝜙𝜙 = 𝐴𝐴𝑎𝑎 ^{𝑚𝑚𝑖𝑖𝑥𝑥} + 𝐵𝐵𝑎𝑎 ^{−𝑚𝑚𝑖𝑖𝑥𝑥} 𝑜𝑜ù 𝑘𝑘 = � 2𝑚𝑚𝐸𝐸 ℏ ²

⇒ _{Ψ = 𝐴𝐴𝑎𝑎} 𝑚𝑚(𝑖𝑖𝑥𝑥−𝜔𝜔𝑡𝑡) + 𝐵𝐵𝑎𝑎 −𝑚𝑚(𝑖𝑖𝑥𝑥+𝜔𝜔𝑡𝑡)

2°) Vu que V(x)=0, on a alors 𝐸𝐸 = 𝐸𝐸 > 0

Ce qui n’est physiquement pas acceptable. Le modèle de l’OPPH ne correspond pas à la description quantique d’une particule, il faut faire appel au paquet d’ondes.

3°) D’après l’énoncé :

𝜓𝜓(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝐵𝐵 �𝑎𝑎

+ 1

2 𝑎𝑎

+ 1

2 𝑎𝑎

�

⇔ _{𝜓𝜓(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝐵𝐵𝑎𝑎}

_{�1 +} ¹

2 𝑎𝑎

+ 1

2 𝑎𝑎

�

⇔ _{𝜓𝜓(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝐵𝐵𝑎𝑎}

_{�1 + cos �} ^{𝛥𝛥𝑘𝑘}

2 𝑥𝑥 − 𝛥𝛥𝜔𝜔 2 𝑡𝑡��

Pour un instant 𝑡𝑡 ₀ on calcule les valeurs de x qui annulent 𝜓𝜓 : cos � 𝛥𝛥𝑘𝑘

2 𝑥𝑥 − 𝛥𝛥𝜔𝜔

2 𝑡𝑡 ₀ � = −1

⇒ ^{𝛥𝛥𝑘𝑘}

2 𝑥𝑥 − 𝛥𝛥𝜔𝜔

2 𝑡𝑡 ₀ = 𝜋𝜋 + 2𝑝𝑝𝜋𝜋

⇒ _{𝑥𝑥 𝑝𝑝 =} ^{𝛥𝛥𝜔𝜔}

𝛥𝛥𝑘𝑘 𝑡𝑡 ₀ + 2

Δ𝑘𝑘 (𝜋𝜋 + 2𝑝𝑝𝜋𝜋)

Si on choisit deux valeurs de p successives alors : Δ𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 _𝑝𝑝+1 − 𝑥𝑥 _𝑝𝑝 = 4𝜋𝜋

Δ𝑘𝑘

⇒ _{Δ𝑥𝑥Δ𝑘𝑘 = 4𝜋𝜋} On vérifie bien que : Δ𝑥𝑥Δ𝑘𝑘 ≥ 2𝜋𝜋

La particule se déplace à la vitesse de groupe : 𝑎𝑎 _𝑔𝑔 = ^Δ𝜔𝜔 _Δ𝑖𝑖

4°) Le paquet d’ondes étant d’expansion finie, il est normalisable.

� |Ψ|𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1

+𝑥𝑥

−𝑥𝑥

Cela fonctionne même pour une OPPH tronquée dans l’espace. Or :

𝐸𝐸 = 𝑝𝑝 ²

2𝑚𝑚 = ℏ ² 𝑘𝑘 ² 2𝑚𝑚

⇔ _{ℏ𝜔𝜔 =} ^{ℏ 2 𝑘𝑘 2} 2𝑚𝑚

⇔ _{𝑎𝑎 𝜙𝜙 =} ^𝜔𝜔

𝑘𝑘 = ℏ𝑘𝑘

Pour calculer la vitesse de groupe on différentie la relation précédente : 2𝑚𝑚 𝑑𝑑𝜔𝜔 = ℏ ² 2𝑘𝑘𝑑𝑑𝑘𝑘

2𝑚𝑚

⇒ _{𝑎𝑎 𝑔𝑔 =} ^{𝑑𝑑𝜔𝜔}

𝑑𝑑𝑘𝑘 = ℏ ² 𝑘𝑘

𝑚𝑚 = 2𝑎𝑎 _𝜙𝜙

La vitesse de groupe représente la vitesse de la particule classique telle que : 𝑝𝑝 = 𝑚𝑚 𝑎𝑎 _𝑔𝑔

5°) Le milieu est bien dispersif car 𝑎𝑎 _𝜙𝜙 ≠ 𝑎𝑎 _𝑔𝑔 . On remarque que :

⇔ _{𝑎𝑎 𝜙𝜙 =} ^ℏ𝑘𝑘

2𝑚𝑚 = ℎ

2𝑚𝑚𝑚𝑚 ⇒ _{𝑎𝑎 𝑝𝑝ℎ𝑚𝑚 (𝑚𝑚 2 ) < 𝑎𝑎 𝑝𝑝ℎ𝑚𝑚 (𝑚𝑚 1 ) 𝑠𝑠𝑖𝑖 𝑚𝑚 2 > 𝑚𝑚 1}

Par conséquent le paquet d’ondes va se rétrécir puis se dilater, par

exemple :

B – Exercices supplémentaires

MQ14 – Longueurs d’onde de De Broglie

MQ15 - L’atome d’hydrogène

MQ16 - Fonction d’onde d’une particule dans un puits infini