annéescolaire2018-2019 Mécaniquedesuides Dynamiquedesuides

(1)

Introduction Forces exercées sur une particule de uide Fluides parfaits Ecoulements Exercice

Dynamique des uides

Mécanique des uides

Saint Louis PC*1

année scolaire 2018-2019

(2)

Comment s'écoulent les liquides dans les tuyaux ?

(3)

Problématique Plan

1) établir l'équation de Navier-Stokes

(4)

2) se demander si la viscosité est à prendre en compte

(5)

Problématique Plan

3) étudier les écoulements parfaits

(6)

Force volumique ou massique de pesanteur

un petit élément de volumed³τa un poidsd³~P=µ.~g d³τ,

(7)

Forces volumiques Pression Viscosité

Équation de Navier Stokes

Force volumique ou massique de pesanteur on peut donc associer au poids :

( une force volumique : −→

f v =µ ~g une force massique : −→

f _m=~g

(8)

Force volumique ou massique de Coriolis :

si l'étude se fait dans un référentielRnon galiléen, il faut considérer aussi la force de Coriolis à laquelle est soumisd³τ. Celle-ci estd³~f_iC=−2.µ.d³τ.~Ω∧~v, où

~Ω_R/Rg est le vecteur rotation deRpar rapport aux référentiels galiléens et~vla vitesse locale du uide (dansR).

(9)

Force volumique ou massique de Coriolis : On peut donner pour la force de Coriolis :

( une force volumique : −→

f _v =−2µ ~Ω_R/R_g ∧~v une force massique : −→

f _m=−2Ω~_R/R_g ∧~v

(10)

Forces surfaciques

un volumeV de uide délimité par une surface fermée Σressent des forces de surface de la part de son environnement. Sur l'élément innitésimald²Σs'exerce−−→

d²F qui a une composante normale, liée à la pressionP, et une composante tangentielle, la force de viscosité.

(11)

Force volumique ou massique de pression

la résultante des forces de surface exercées sur un volumeVde uide délimité par une surface ferméeΣest

ZZ −P.

−−→ d²Σ ={

Σ

−Pd²Σ =y V

−−→ grad(−P)d³τ

(12)

Force volumique ou massique de pression on associe aux forces de surfaces pour un uide parfait (sans viscosité) :

( une force volumique :−→

f v =−−−→

grad(P) une force massique : −→

f m =−

−−→grad(P) µ

(13)

Ecoulements barotropes

Si l'on réussit à trouver une relationµ=f(P), on parlera d'écoulement barotrope. Dans ce cas, on pourra écrire :

−−→grad(P)

µ =−−→

grad(ϕ(P))

(14)

Constatations expérimentales de la viscosité

si l'on jette de l'eau sur une table, celle-ci glisse puis s'arrête. Ainsi, il existe des forces tangentielles (dites forces de viscosité ou de cisaillement) exercées par les couches de uides les unes sur les autres. De même, si l'on réitère l'expérience avec de l'huile, ou mieux encore avec du miel, la distance parcourue par le uide sur la table est plus courte : ces forces de viscosité dépendent de la nature du uide.

Plus généralement, toutes les expériences montrent que :

• la vitesse d'écoulement d'un uide est une fonction continue du temps mais aussi de l'espace,

• la vitesse relative du uide au contact d'un solide est toujours nulle,

ce qui n'était pas vrai dans le cas du uide parfait.

Il nous faut donc prendre en compte la viscosité du uide pour s'approcher du comportement réel d'un uide.

(15)

Forces exercées entre veines de uide dans le cas d'un écoulement unidimensionnel

(16)

Expression des forces de viscosité pour un écoulement unidimensionnel (dénition)

on peut écrire que la force de viscosité exercée par la veine lente (poury <y₀) sur la surfaceS de cote y₀ qui la sépare de la veine rapide (poury >y₀) est

F_x =−ηS∂v_x

∂y

où η est par dénition, le coecient de viscosité dynamique du uide.

(17)

Interprétation

la force de viscosité tend à accélérer les veines lentes et à ralentir les veines rapides. On parle aussi de force de cisaillement. Elles tendent à homogénéiser la vitesse.

NB : les forces de viscosité sont donc nulles pour un uide au repos. La viscosité ne joue donc aucun rôle dans l'état d'équilibre d'un uide, contrairement à la pression.

(18)

Fluide newtonien

on se restreindra aux uides newtoniens, pour lesquels la viscosité ne dépend pas du champ des vitesses (seulement de la nature du uide et de sa température).

(19)

Viscosités dynamique et cinématique (dénition) la viscosité dite dynamique se noteη. Elle est positive et s'exprime dans le système international en poiseuille

1 Pl=1 Pa·s

La viscosité cinématique est le rapport de la viscosité dynamique sur la masse volumique :

ν = η

µ s'exprime en m²·s⁻¹ a la dimension d'un coecient de diusion.

(20)

Exemples de valeurs de viscosités

uide air eau glycérine graisse

η en Pl 18×10⁻⁶ 1,0×10⁻³ 0,870 10³ ν en m²·s⁻¹ 15×10⁻⁶ 1,0×10⁻⁶ 635×10⁻⁶ 1 Table Quelques viscosités dynamiquesη et cinématiquesν à 20^◦C et P=1atm

(21)

La viscosité dépend de la température

température 10^◦C 20^◦C 30^◦C 40^◦C 50^◦C 60^◦C 70^◦C

huile de ricin 2420 986 451 231 125 74 43

huile d'olive 138 84 52 36 24,5 17 12,4 Table Quelques viscosités dynamiquesη (enmPl) en fonction de la température

(22)

Forces de cisaillement dans le cas d'un écoulement unidimensionnel

le système est un parallélépipède rectangle d'épaisseurdy suivant Oy et de surface S pour les plans de cotey₀ et y₀+dy.

(23)

Équivalent volumique des forces de viscosité pour un uide newtonien globalement, la force de cisaillement est :

~F_cis=η.S.

∂v_x(y₀+dy)

∂y −∂v_x(y₀)

∂y

.~u_x=η.S∂²v_x

∂y2dy~u_x=η.S.dy∆v_x~u_x Pour un écoulement unidimensionnel,~v=v_x~u_x, la force de cisaillement exercée sur un volume élémentaire d³τ=Sdyest

~F_cis=ηSdy∆v_x~u_x

On généralise

(24)

Équivalent volumique des forces de viscosité pour un uide newtonien

L'équivalent volumique des forces de viscosité pour un uide newtonien en écoulement incompressible est :

F~cis =~fcis d³τ avec :f~cis =η∆~v

(25)

Equation de Navier Stokes dans le cas d'un référentiel galiléen

en écrivant le théorème de la résultante cinétique appliqué à un petit élément de volumed³τ, on trouve :

µD~v Dt = Σ~f_v

Dans le cas de l'étude dans un référentiel galiléen, seuls le poids et les forces de contact (pression et viscosité) interviennent a priori. On peut donc transformer la précédente expression en

(26)

Equation de Navier Stokes dans le cas d'un référentiel galiléen

µD~v

Dt =µ ~g −−−→

grad(P) +η∆~v NB :

D~v Dt =

=

∂−→v

∂t +−→v ·−−→

grad−→v

∂−→v

∂t +−−→

grad v²

2

+−→

rot −→ v

∧ −→ v

(27)

Equation de Navier Stokes dans le cas d'un référentiel non galiléen

si l'étude se fait dans un référentielR non galiléen, avec Ω~_R/R_g le vecteur rotation deR par rapport aux référentiels galiléens, il faut ajouter dans le second membre de l'équation d'Euler la force de Coriolis. Soit :

µ.D~v

Dt =µ.~g −−−→

grad(P) +η.∆~v−2.µ.~Ω_R_/R_g ∧~v

(28)

Interprétation des diérents termes dans l'équation de Navier Stokes

on reconnaît

• ^∂_∂t⁻^→^v : le terme d'inertie dit instationnaire dû à la variation temporelle du champ des vitesses ;

• −→v.−−→

grad

.−→v : le terme d'inertie de convection dû au transport de quantité de mouvement par l'écoulement (terme qui confère à l'équation de Navier - Stokes un caractère non linéaire) ;

• −

−−→grad(P)

µ : le terme dû au champ de pression ;

• ~g : le terme dû au champ de pesanteur,

• ν.∆~v : le terme dû à la viscosité, rendant compte de la diusion de la quantité de mouvement.

(29)

Comparaison entre les équations d'Euler et de Navier Stokes on trouve l'équation d'Euler à partir de l'équation de Navier Stokes si on considère le uide comme parfait, c'est à dire sans viscosité.

(30)

Caractéristiques de l'équation de Navier Stokes l'équation de Navier Stokes est une équation diérentielle

vectorielle (c'est à dire qu'elle donne trois équations diérentielles scalaires). De plus, cette équation est non linéaire (à cause du terme env² apporté par−→v.−−→

grad

.−→v).

On pourra souvent, lors de l'étude de petites perturbations (ondes...), négliger ces termes non linéaires.

(31)

Équation d'Euler Relation de Bernoulli

Applications de la relation de Bernoulli

Fluide parfait (dénition)

Un uide parfait est un uide sans viscosité.

L'évolution des particules de uide est alors isentropique.

L'équation de Navier Stokes sans viscosité s'appelle alors équation d'Euler.

(32)

Equation d'Euler dans le cas d'un référentiel non galiléen si l'étude se fait dans un référentielR non galiléen, avec Ω~_R/R_g le vecteur rotation deR par rapport aux référentiels galiléens, il faut ajouter dans le second membre de l'équation d'Euler la force de Coriolis. Soit :

D~v

Dt =~g −

−−→grad(P)

µ −2~Ω_R/R_g ∧~v

(33)

Equation d'Euler dans le cas statique

si~v =~0, l'équation d'Euler redonne la relation fondamentale de l'hydrostatique :

~0=~g −

−−→grad(P) µ

(34)

Equation d'Euler dans le cas d'un "petit" écoulement

On peut négliger la force de Coriolis devant le terme convectif−→ v.−−→

grad .−→

v.

(35)

Equation d'Euler dans le cas d'un "petit"

écoulement

dans le cas où la taille de l'écoulement est faible (moins d'un kilomètre), même si le référentiel terrestre est non galiléen, l'équation d'Euler s'écrira :

D~v

Dt =~g −

−−→grad(P) µ

(36)

Equilibre géostrophique

Dans le cas où on néglige la pesanteur (en se plaçant dans un plan horizontal), et où l'écoulement est permanent et de grande envergure (un océan), l'équation d'Euler donne une relation d'équilibre géostrophique :

~0=−

−−→ grad(P)

µ −2.~Ω_R/Rg∧~v

où le gradient de pression est suivant la force d'inertie de Coriolis horizontale, donc orthogonal à la vitesse.

(37)

Equilibre géostrophique

Dans le cas où on néglige la pesanteur (en se plaçant dans un plan horizontal), et où l'écoulement est permanent et de grande envergure (un océan), les lignes de courant et les courbes isobares sont confondues.

Le uide tourne dans le sens trigonométrique autour des dépressions dans l'hémisphère nord, dans le sens horaire autour des anticyclones.

(38)

Lignes de courant et courbes isobares de l'atmosphère dans l'hémisphère nord.

les lignes de courant et courbes isobares de l'atmosphère dans l'hémisphère nord : les deux sont confondues dans le cas de l'équilibre géostrophique et le uide tourne dans le sens

trigonométrique autour des dépressions dans l'hémisphère nord,

Mécanique des uides Dynamique des uides

(39)

Relation de Bernoulli

(40)

Relation de Bernoulli

On se souviendra que dans le cas de l'écoulement parfait, stationnaire, incompressible homogène,

v² 2 +P

µ +g z =cste le long d'une ligne de courant Si, en plus, l'écoulement est irrotationnel,

v² 2 +P

µ +g z =cste dans tout le uide

(41)

Interprétation des termes présents dans la formule de Bernoulli

On peut comprendre la relation de Bernoulli comme une loi de conservation énergétique. Les termes présents dans la formule sont autant de types d'énergie :

• Energie cinétique massique : ^v₂².

• Energie potentielle massique de pesanteur :g.z.

• Travail massique des forces de pression :∆

P µ

.

(42)

Vidange d'un récipient

l'écoulement d'un uide incompressible depuis un récipient.

(43)

Loi de Torricelli

L'écoulement entreAà la surface libre du uide etBà l'orice peut être considéré comme stationnaire. On peut appliquer la formule de Bernouilli le long de la ligne de courant entreAetB: ^v₂^A²+g.z_A+^PA_µ =^v₂^B²+g.z_B+^PB_µ.

OrP_A=P_B=P_atmetz_A−z_B=h. On av_A≈0, etv_B=v.

Aussi,g.h=^v₂², d'où :

v=p 2.g.h

(44)

Loi de Torricelli

Un récipient de hauteur h rempli d'un uide parfait qui s'écoule par un orice très petit devant la section du récipient situé dans le fond de celui-ci a pour vitesse d'écoulementv =√

2.g.h.

(45)

Vérication de la loi de Torricelli

(46)

Principe de l'eet Venturi

la vitesse du uide augmente à cause de la conservation du débit. Cette augmentation de la vitesse se double, d'après la relation de Bernoulli appliquée le long d'une ligne de courantA−Bpar une dépression dans la zone d'étranglement :

(47)

Principe de l'eet Venturi

l'écoulement d'un uide dans une conduite (mais ce peut être tout tube de courant) qui se resserre voit la vitesse du uide augmenter. Cette augmentation de la vitesse se double par une dépression dans la zone d'étranglement :

S_B <S_A ⇒v_B >v_A ⇒P_B <P_A

(48)

Principe de l'eet Venturi.

le principe de l'eet Venturi.

(49)

L'eet venturi

(50)

Mesure des débits avec un tube de Venturi

le principe d'un tube Venturi. Le tube de venturi (horizontal) permet de mesurer un débit connaissant la diérence de pression entreAet B.

(51)

Le tube de Pitot

un tube de Pitot. Le tube de Pitot (Henri Pitot, ingénieur français, 1695 1771) est utilisé en aérodynamique pour mesurer la vitesse v d'un écoulement d'air uniforme et stationnaire. C'est un double tube très n que l'on place parallèlement aux lignes de courant du

(52)

Le tube de Pitot

l'écoulement du uide crée une diérence de pression entre les deux entrées du tube.

(53)

Principe de la trompe à eau

(54)

Principe des vaporisateurs

le principe et une photographie d'un vaporisateur.

(55)

Nombre de Reynolds

Ecoulements laminaires et turbulents Couche limite

Conditions aux limites Quelques écoulements visqueux

Diusion et convection

L'équation de Navier Stokes si la pression suit la loi de l'hydrostatique (−−→

grad P =µ ~g) est :

∂−→v

∂t +−→v ·−−→

grad−→v =ν∆~v L'évolution de la vitesse peut être due à

• la diusion (à cause de la viscosité) :

∂−→v

∂t ≈ν∆~v

• la convection (si la viscosité est négligeable) :

(56)

Nombre de Reynolds (dénition)

si la dimension caractéristique du problème estL, la vitesse vaut approximativement V, la viscosité cinématiqueν, on peut dénir le nombre de Reynolds sans dimension :

Re = convection diusion ≈ V L

ν

Il compare les eets inertiels aux eets de viscosité.

(57)

Nombre de Reynolds

Exemples de nombres de Reynolds

exemple Re gros poisson dans l'eau 10⁸

oiseau dans l'air 10⁶ nageur dans l'eau 10⁵ bille dans du miel 10⁻² spermatozoïde dans liquide séminal 10⁻³ bactérie dans l'eau 10⁻⁵ glacier 10⁻¹¹ manteau terrestre 10⁻²⁰ Table Quelques exemples de nombre de Reynolds

(58)

Interprétation du nombre de Reynolds

On peut distinguer deux grands types d'écoulements, diérenciés par la valeur de leur nombre de Reynolds :

• siRe 1 : la diusion est prédominante (le temps de transport de la quantité de mouvement par diusion est beaucoup plus court que par convection) ;

• siRe 1 : la convection est prédominante (le temps de transport de la quantité de mouvement par diusion est beaucoup plus long que par convection).

Notons qu'un uide parfait correspond àRe =∞.

(59)

Nombre de Reynolds

Inuence du nombre de Reynolds sur l'écoulement autour d'une sphère immobile

(60)

Écoulement laminaire (dénition)

Ecoulements à bas nombre de Reynolds, où le terme diusif prédomine :

Re<2000

(61)

Nombre de Reynolds

un écoulement laminaire.

un exemple d'écoulement laminaire. Il s'agit d'un écoulement stable : les lignes de courants sont bien dessinées et évoluent lentement au cours du temps. Il peut être permanent ou non permanent, il peut présenter un caractère tourbillonnaire (un vortex dans un évier est un écoulement laminaire).

(62)

Attention !

Lorsque le nombre de Reynolds augmente, l'écoulement peut présenter un caractère tourbillonnaire, il reste cependant laminaire.

Il peut se développer des structures tourbillonnaires cohérentes comme une allée de tourbillons dite allée de von Karman.

NB : la valeur critique deRe à partir de laquelle le caractère laminaire disparait dépend fortement du prol de l'obstacle.

(63)

Nombre de Reynolds

Écoulement turbulent (dénition)

écoulement à fort nombre de Reynolds où la convection est prédominante

Re>2000

(64)

Ecoulement turbulent

un exemple d'écoulement turbulent. Les écoulements turbulents présentent un caractère chaotique où le champ de vitesse possède une grande variabilité spatiale et temporelle. Les lignes de courant s'entremêlent : l'écoulement est instable. Le caractère

tourbillonnaire de ce type d'écoulement est très prononcé.

(65)

Nombre de Reynolds

Caractéristiques des écoulements turbulents

Ces écoulements sont gouvernés par la convection et les termes non linéaires de l'accélération dominent. Ce type correspond également à un mélange important et à une dissipation d'énergie à diérentes échelles (la viscosité jouant à nouveau un rôle dans les petites échelles).

(66)

Transition entre écoulement laminaire et turbulent dans l'espace

Cette transition entre écoulement laminaire et turbulent peut intervenir spatialement : un écoulement peut être initialement laminaire (et tourbillonnaire) puis devenir turbulent, s'il s'agit par exemple d'un jet accéléré, le nombre de Reynolds augmentant le long de l'écoulement ce qui permet de comprendre ce passage d'un caractère laminaire à turbulent. On peut voir sur une photographie d'Humphrey Bogart (prise par Karsh) la transition entre un

écoulement laminaire (proche de la cigarette) et un écoulement

Mécanique des uides Dynamique des uides

(67)

Nombre de Reynolds

Notion de couche limite

l'écoulement à grand nombre de Reynolds autour d'un obstacle présente deux parties aux caractéristiques très diérentes.

Près de l'obstacle, une couche limite apparaît où les phénomènes de viscosité dominent. Dans cette couche limite, l'écoulement prend un caractère tourbillonnaire marqué.

La vorticité ainsi créée peut être entraînée par convection dans le sillage de l'obstacle. La couche limite ne possède pas la même taille caractéristique que l'obstacle et présente donc un nombre de ReynoldsRe_CL diérente de celui de l'écoulement principal. On peut ainsi observer des couches limites laminaires ou turbulentes.

En dehors de cette couche limite, l'écoulement présente un

(68)

Epaisseur de la couche limite (exercice)

Considérons le cas d'une plaque plane de très faible épaisseur et de longueurLplacée dans un écoulement uniforme parallèle à la plaque. Supposons que

l'écoulement uniforme soit brusquement accéléré de 0 à la vitesse constanteU.

Estimer le temps moyen mis par un élément de uide pour parcourir la totalité de la plaque.

Estimer la distance sur laquelle la viscosité permet à la quantité de mouvement de diuser pendant ce temps.

Estimer l'épaisseur de la couche limite autour d'une voiture.

(69)

Nombre de Reynolds

Epaisseur de la couche limite (exercice)

Le temps moyen mis par un élément de uide pour parcourir la totalité de la plaque estτ= _U^L.

Pendant ce temps, la viscosité permet à la quantité de mouvement de diuser sur une distanceδtelle que

1 τ = ν

δ² ⇒δ=√ ν τ=

s νL

U = L

√ Re

Pour une voiture :L=4 m,U=20 m/s, le nombre de Reynolds vaut Re=5×10⁷et la couche limite a une tailleδ=√^L

Re=0,5 mm. Ainsi, les forces de viscosité sont prépondérantes dans une ne couche autour de la voiture et sont négligeables dans le reste de l'écoulement compte tenu de la valeur du nombre de Reynolds. On peut alors modéliser l'écoulement par un écoulement parfait.

(70)

Décollement de la couche limite

on peut observer un décollement de la couche limite lorsque celle-ci atteint une taille de l'ordre de celle de l'obstacle.

Les deux zones couche limite - sillage / écoulement hors couche limite sont alors bien délimitées et présentent des trajectoires très diérentes.

Pour certains prols (ou inclinaison) d'obstacle, on peut observer un décollement de la couche limite. On observe un décollement de la couche limite avec l'inclinaison de l'obstacle dans laquelle se développe un écoulement qui devient rapidement instable.

Le point de décollement de la couche limite peut évoluer avec le nombre de Reynolds, la couche limite décollant plus rapidement de l'obstacle lorsqu'elle est laminaire par exemple.

(71)

Nombre de Reynolds

Décollement de la couche limite

(72)

Limite d'un écoulement uide

Le uide est limité par l'interfacey =0 : la normale esty et l'écoulement tangentiel se fait selonx.

(73)

Nombre de Reynolds

Condition aux limites cinématique pour un uide Le uide ne sort ni ne rentre dans l'interface.

(74)

Condition aux limites cinématique pour un uide la vitesse normale d'un uide (visqueux ou parfait) à une interface est nulle :

(v_y)_y=₀+ =0

(75)

Nombre de Reynolds

Condition aux limites cinématique pour un uide visqueux la viscosité impose l'adhérence du uide à l'interface.

(76)

Condition aux limites cinématique pour un uide visqueux

la vitesse tangentielle d'un uide visqueux à une interface est continue :

(vx)_y=₀+ = (vx)_y=₀−

(77)

Nombre de Reynolds

Condition aux limites dynamique pour un uide visqueux

La force qu'exerce le uide au dessous de l'interface (y<0) sur le uide au dessus de l'interface (y>0) est

F~₁→2=−η₁S ∂vx

∂y

y=0−

~ u_x

De même, la force qu'exerce le uide au dessus de l'interface (y>0) sur le uide au dessous de l'interface (y<0) est

~F_2→1= +η₂S ∂v_x

∂y

y=0+

~u_x

Comme~F₂→1=−~F₁→2,

η₁ ∂vx

∂y

=η₂ ∂vx

∂y

(78)

Condition aux limites dynamique pour un uide visqueux

la force tangentielle est continue à une interface : η_y=₀⁻

∂vx

∂y

y=0⁻

=η_y=₀⁺ ∂vx

∂y

y=0⁺

(79)

Nombre de Reynolds

Récapitulatif pour les conditions aux limites

y >0→ uide visqueux uide parfait y <0↓ (viscosité η) (viscosité nulle) solide xe (~v)_y=₀+ =~0 (v_y)_y=₀+ =0

η ∂vx

∂y

y=0⁺ =τ

uide (v_y)_y=₀+ =0 (v_y)_y=₀+ =0

non visqueux η

∂vx

∂y

y=0⁺ =0

uide visqueux (~v)_y=₀+ = (~v)_y=₀− (vy)_y=₀+ =0 (viscosité η⁰) η

∂vx

∂y

y=0⁺ =η⁰

∂vx

∂y

y=0⁻

(80)

Ecoulement unidimensionnel d'un uide visqueux entre un solide et un uide parfait

un uide visqueux au contact d'un solide (sur la surfacexOz) et d'un uide non visqueux (à l'interfacey =y ).

(81)

Nombre de Reynolds

Ecoulement de Couette entre deux plans solides

On s'intéresse à une couche mince de uide incompressible visqueux entre deux solides parallèles, l'un xe, l'autre en translation.

(82)

Ecoulement de Couette entre un plan solide et l'atmosphère

On s'intéresse à une couche mince de uide incompressible visqueux qui coule le long d'un plan incliné, dont la ligne de plus grande pente fait un angleα avec l'horizontale.

(83)

Nombre de Reynolds

Exemple de l'écoulement de Poiseuille

on s'intéresse à un uide visqueux, en écoulement stationnaire dans un tuyau de petit diamètre ou entre deux plaques proches.

En première approximation, si le tuyau est cylindrique ou que les plaques sont parallèles, l'écoulement du uide est partout parallèle aux parois.

Le frottement aux parois implique qu'aux échelles macroscopiques, la vitesse du uide y est nulle (condition de non-glissement).

Par ailleurs, la pression ne varie pas dans l'épaisseur de l'écoulement.

(84)

Ecoulement de Poiseuille

l'écoulement d'un uide visqueux dans un tuyau de petit diamètre ou entre deux plaques proches.

(85)

Modélisation de l'écoulement de Poiseuille cylindrique

Un uide visqueux de coecient de viscosité dynamiqueη est compris dans un cylindre d'axeOz, de rayonR. On se place dans les coordonnées cylindriques(r, θ,z).

(86)

(87)

On suppose l'écoulement stationnaire : _∂t^∂ =0.

On suppose l'écoulement incompressible (c'est un liquide) : div~v =0.

On suppose l'écoulement unidimensionnel :~v =vz(r,z). On néglige la pesanteur.

1) Montrer que la vitesse ne dépend pas dez.

(88)

2) En déduire que l'accélération d'une particule de uide est nulle.

3) Déterminer le champ de pression dans le uide.

4) Déterminer le champ des vitesses.

(89)

1) L'écoulement est incompressible, doncdiv~v=0=^∂vz_∂z, doncv(r)uniquement.

L'accélération d'une particule de uide est

D~v Dt =∂~v

∂t +

~v.−→ O

~ v=

v_z(r).∂

∂z

v_z(r)~u_z=0

2) L'équation de Navier Stokes est donc

~0=−−−→

grad P+µ ~g+η∆~v=−−−→ grad P+η∆~v

qui donne suivant~u_r

0=−∂P(r,z)

∂r DoncP(z)uniquement.

L'équation de Navier Stokes donne suivant~uz

0=−∂P(z)

∂z +η∆v_z=−∂P(z)

∂z +η 1 r

∂

∂r

r∂vz(r)

∂r

+∂²vz

∂z2

!

=−∂P(z)

∂z +η r

∂

∂r

r∂vz(r)

∂r

Cette relation est du type :f(z) =g(r) =cste=K, donc

∂P(z)

∂z =dP(z)

dz =K⇒P(z) =K z+K⁰ Les conditions aux limites donnent :

K=P_B−P_A z_B−z_A

3) Reprenons l'équation de Navier Stokes projetée :

0=−∂P(z)

∂z +η r

∂

∂r

r∂v_z(r)

∂r

⇒ d dr

rdv_z(r)

dr

= K ηr

qu'on intègre une fois :

rdvz(r) dr = K

2ηr²+A⇒dvz(r) dr = K

2ηr+A r

orrpeut être nul, aussi,A=0. On intègre une autre fois :

v_z(r) = K 4ηr²+B

On utilise les conditions aux limites (v_z(r=R) =0) sur les parois, an de Mécanique des uides Dynamique des uides

annéescolaire2018-2019 Mécaniquedesuides Dynamiquedesuides

Dynamique des uides

annéescolaire2018-2019 Mécaniquedesuides Dynamiquedesuides