HAL Id: jpa-00249694
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Submitted on 1 Jan 1997
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Analyse de l’effet des courants induits sur l’impédance d’un système électromagnétique alimenté en tension BF
ou HF. Utilisation de la méthode des circuits couplés
B. Maouche, M. Feliachi
To cite this version:
B. Maouche, M. Feliachi. Analyse de l’effet des courants induits sur l’impédance d’un système élec- tromagnétique alimenté en tension BF ou HF. Utilisation de la méthode des circuits couplés. Journal de Physique III, EDP Sciences, 1997, 7 (10), pp.1967-1973. �10.1051/jp3:1997235�. �jpa-00249694�
Analyse de l'elfet des courants induits sun l'imp4dance d'un
systbme 41ectromagn4tique aliment4 en tension BF ou HF.
Utilisation de la m4thode des circuits coup14s (*)
B. Maouche (~) et M. Feliachi (~>**) (~) Centre Universitaire, 06000 Bejaia, Algdrie
(~) GE44 (LRTI-IUT), CRTT, BP. 406, 44602 Saint-Nazaire Cedex, France
(Regu le 20 mars, acceptd le 7juillet)
PACS 02.60.Cb Numerical simulation, solution of equations
Rdsumd. Dons cet article nous proposons l'4tude de l'influence d'une charge (mduit) conduc- trice sur la r4partition du courant inducteur ainsi que sur l'imp4dance du systAme. L'mducteur est h g40mdtrie axisym4trique de forme so14ndidale ou pancake destind au chauiage par induc-
tion. Une m4thode semi,analytique, bas4e sur une discr4tisation du domaine en mailles 414men- taires auxquelles s'apphque une formulation int4grale (M4thode des Circuits Couplds : MCC)
des grandeurs 61ectromagn4tiques, est utilisde Darts le cas oh l'eiet de peau est important (Haute Frdquence HF), la formulation associe la Condition d'Imp4dance de Surface, dans le
cas contraire (Basse Fr4quence : BF), un maillage du domame interne est pratiqud
Abstract. In this paper, a study of the interaction between the inductor and the load of an axisymmetrical induction device is proposed. This interaction concerns the effect of the eddy
current on both the excitation current and on the system impedance. A half analytical model, based on a numerical discretization of the electromagnetic solution domain, is used. In each cell of the numerical discretization, an analytical calculation using the Moment Method (MM) is considered. In the case of strong skin effect (High Frequency. HF), the formulation makes use of the Impedance Boundary Condition (IBC); in the contrary case (Low Frequency: LF), the
interior domain is discretized.
1. Introduction
La moddlisation des systbmes h induction (chauffage...) passe par la r6solution d'dquations aux
d6rivAes partielles descriptives des ph6nomAnes physiques (dlectromagn6tisme, thermique...).
Dans le cas de matdriaux h comportement linAaire (inducteur en cuivre, charge en acier inoxy- dable...), les dquations dlectromagndtiques peuvent Atre rdsolues h partir de formules intdgrales (loi de Biot et Savart) menant h la Mdthode des Circuits Couplds [ii. Une telle mdthode a 6t6 appliquAe aux systbmes caractArisAs par un elset de peau important, ce qui permet de ne
discrdtiser que le pourtour des conducteurs [1-3]. En maillant l'intdrieur du domaine, cette mdthode a pu Atre adaptde au cas des problbmes h faible eflet de peau [4j.
(*)Le contenu de cet article a 4t4 pr4sent4 h NUMELEC 97
(** Auteur auquel doit Atre adress4e la correspondance (e-mail feliachitlge44.univ-nantes fr)
@ Les #ditions de Physique 1997
1968 JOURNAL DE PHYSIQUE III N°10 Dans cet article, nous appliquons les deux types de discr6tisations, de la frontiAre ou de l'int6rieur du domaine, h l'6tude de l'interaction entre l'inducteur (so16noide ou pancake) et une charge conductrice non-magnAtique. Ainsi sera analysAe l'influence de la charge sur la
distribution du courant dans l'inducteur et sur l'impAdance du systAme.
2. Formulation
La MCC est basAe sur une discrAtisation du domaine en mailles auxquelles s'applique une expression intAgrale (loi de Biot et Savart) des grandeurs AlectromagnAtiques sinusoidales. Ce
maillage correspondant h une subdivision du systbme en spires Aldmentaires [1j. Ce processus permet d'exprimer la r6sistance de chaque spire A16mentaire, l'inductance propre et (es induc-
tances mutuelles entre spires. La rAsolution du systAme algAbrique issu de la discr6tisation
permet de dAterminer la distribution des densit6s de courant dans l'inducteur et dans la charge
et d'en dAduire la rAsistance et l'inductance du systAme.
Dans le cas des systAmes axisymAtriques (on nAglige l'hAlicit6 du solAnoide), il est commode de dAcrire le problAme en terme de potentiel vecteur magnAtique. En considArant le problAme
linAaire et en dAsignant par A et J les composantes complexes orthoradiales Ao et Jo du
potentiel vecteur A et de la densitA de courant J, (es Aquations descriptives des phdnomAnes,
Acrites dans le plan r-z sont donnAes par le systAme suivant
div l~ grad rA = -poJ Ii)
T
J
=
-aijuJA + (grad V)oj 12)
oh w est la pulsation, V le potentiel scalaire Alectrique, a la conductivitd Alectrique et po la
permAabilitA du vide.
Appliquant la mAthode des moments, la solution de ce systbme s'Acrit comme suit [4]
J(P) + ~ / / G(P,P~)J(Ps)dQ
= -a grad V (3)
~ ~
Dans (3), G(P,P~) est la r#ponse au point P(r,z) h la sollicitation impulsionnelle situAe au
point P~ [5j et J est la densitA de courant. J
=
~
est l'Apaisseur de peau. Les formules de
/
discrAtisation de l'6quation (3) se dAduisent de l'expression dAveloppAe dans le cas de l'inducteur seul (h vide) [4]. En prAsence de la charge et lorsque l'eflet de peau est important, on obtient (es formules suivantes
2~Jsii) + @ (fGj ii)disjj)Jsijj +
f Gjiidicjk)Jcik)I=
as
@ 14aj
~ j=i k=i
~~i~)
~ ~, N~,
2~Jclm) + j ~ Gi lm)disIi)Js Ii) + ~ llm)diclk)Jclk)j
= °. 14b)
~ 3=1 k=I
Dans ce cas, on ne discr4tise que le pourtour du domaine. Dans ces formules, l'Aquation (4a)
est relative h l'inducteur et l'Aquation (4b) conceme la charge. D'autre part, le troisibme terme de (4a) repr4sente l'influence de la charge sur l'inducteur. De mAme, le deuxibme terme de (4b)
est dfi h l'impact de l'inducteur sur la charge. Dans ces expressions, la fonction G repr4sente la
"°
8 @~ ,"
~~ ~~~
_.'
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0~6 ~'
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Sp're2 ' '_I
l I
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~
J I
J i '
J ., '
"L _.' , =,
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~ '
/
' ;
"k_ ;.1
0,0
A B c ~
Fig 1. R4partition de la densitd de courant (cas HF hvide) [Current density distribution (HF, no-loaded system).]
topologie du maillage et ddpend des coordonndes des spires dldmentaires. N~j et Ncj ddsignent respectivement le nombre de mailles discrdtisant les pourtours de l'inducteur et de la charge.
dl est la taille de la maille et J est la densitd lindique de courant. Les indices i" et " m"
reprdsentent les num4ros des mailles subdivisant respectivement l'inducteur et la charge. En
appliquant la loi de conservation du courant et d'association des tensions dldmentaires, on aboutit h un systbme oh les seules inconnues sont (es densitds de courant et oh le terme source est donna par la tension totale Ut appliqude h l'inducteur [4].
Dans le cas oh l'Apaisseur de peau est comparable h la dimension caractAristique, on discrAtise toute la section de l'inducteur ainsi que le domaine reprdsentant la charge. Ainsi, les formules de discrdtisation s'dcrivent comme suit :
2~JsIi) + j IfG]I%)SsIn)JsIn) + i~Glli)Sclk)Jck)j
=
a$ Isa)
Ns N~
~Jc(m) + ) (~Gj (m)Ss(n)Js(n) + ~ G((m)sc(k)Jc(k) = 0. (5b)
~ "=l k=I
N~ : nombre d'AlAments de l'inducteur, Nc nombre d'AlAments de la charge, S surface d'un 4lAment, J densitA surfacique de courant.
3. Applications et r4sultats
3.I. CAS DES HAUTES FR#QUENCES (100 kHz). Les caractdristiques gdomdtriques ex-
prim4es en mm sont donn4es en figures 1 et 2. L'inducteur solAnoidal est en cuivre. II est alimentA h l'aide d'une tension variant h la frAquence de 100 kHz. La charge en aluminium
(non-magnAtique), de conductivitA a
= 0,34 x 10~ Sm~~, est de forme cylindrique dans la-
quelle l'Apaisseur de peau est J
= 0,27 mm, ce qui correspond h un rapport roll
= 194
1970 JOURNAL DE PHYSIQUE III N°10 lo
5
08
, 52 5
06
C j
Q I
D B I
Spire2
A
02
I '
, -
A B C D A
Fig. 2 R4partition de la densit6 de courant (cas HF en charge) [Current density distribution (HF, loaded system)
Tableau I. Rdsistance R et inductance L (d rude et en charge).
[Resistance R and inductance L (LF-cases 1 and 2).j
<~
Formes et il/
j~j~ /~ (Jo ~
Dimensions en mm
j~~ /_ ~j#°"
[(11
~ ~~~
i R 0,636 0,199
vide L 784
en R 1,443 0,288
L
(To = 52,5 mm : rayon du cylindre) et justifie l'emploi de l'inlp6dance de surface. Nous re-
prdsentons la rdpartition des densitAs de courant dans les difldrentes spires aussi bien h vide
(Fig. 1) qu'en charge (Fig. 2).
On remarque que ces densitAs pr4sentent des valeurs plus importantes sur la face intArieure
(CDA) que sur la face extArieure (ABC). D'autre part, on constaie
que l'introduction de la
charge tend h rdduire l'dcart entre les courants des diflArentes spirei.
3.2. CAS DES BAssEs FR#QUENCES (IkHz). Les configurationsj6tudiAes sent repr6sentAes
sur le tableau I. Dans le premier cas, la charge a une forme tubulaire et dans le second cas il
s'agit d'une plaque face h un inducteur de type pancake. La charge uiilisde est
en Al de conduc- tivitd dlectrique a
= 0,34 x 10~ Sm~~, ce qui engendre une dpa18seur de peau (J
= 2,73mm)
1,0
~
R ', ~
, , q
I
, ',
, '
, X Aoc
~ ',
o 8 ' BOD
' ',
-_
' '*-
' 'w
S '-
"~
0,6
lseuJc
",
en '~--~
0,4
A~B O C,D
Fig. 3. Rdpartition de la densitd de courant (cas-1, BF h vide).
(Current density distribution (LF-case 1, no-loaded system).]
1,0 ',
2 f52.5
575
'', jf) ~
', fig °
',
~ ~
'~ ',
Spin ~
"
AOC B D
",
--BOD
~
,
~
', A
0,6 ',
',
0,4
A~B O C,D
Fig. 4. Rdpartition de la densitd de courant (cas-1, BF en charge).
[Current density distribution (LF-case 1, loaded system).]
supArieure h celle de la charge (2 mm), lorsque la frdquence est de F
= 1kHz Ceci ndcessite le
maillage du domaine qui reprAsente la charge.
Les figures 3 et 4 d'une part et les figures 5 et 6 d'autre part montrent les rApartitions radiales de la densitA de courant h vide et en charge, et mettent en Avidence l'influence de la charge sur
l'inducteur.
On peut noter que la densitA de courant est relativement moins importante entre les spires
car le champ magnAtique y est faible et ceci est dfi h l'eflet de proximit6. Au contraire, au
voisinage du point A (spire n 1), la densit6 de courant est maximale.
1972 JOURNAL DE PHYSIQUE III ' N°10
1,o ", + lo
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0,6 ~", ~,,
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0,4
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Fig. 5 R4partition de la densit4 de courant (cas-2, BF h vide).
[Current density distribution (LF-case 2, no-loaded system)
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0,4
A~B O C,D
Fig 6. R4partition de la densit4 de courant (cas-2, BF en charge).
[Current density distribution (LF-case 2, loaded system).]
En examinant les r4sultats du tableau I, on remarque que la r6sistance augmente avec la
pr6sence de la charge alors que l'inductance diminue. Cela est dfi respectivement h l'eflet de
proximitA entre l'inducteur et la charge et l'eflet diamagnAtique qui tend h diminuer le champ total en s'opposant au champ source.
4. Conclusion
L'Atude a permis de mettre en dvidence l'eflet de proximitd ainsi que l'eflet diamagndtique sur
la rdsistance et l'inductance du systbme. D'autre part, on note que la prbsence de la charge
conduit h une concentration de courant sur (es faces intArieures des spires. Ces enseignements pr6sentent de l'int6rAt quant h l'adaptation d'impAdance du g6n6rateur d'alimentation ou au
dimensionnement de l'inducteur.
Dans le cas de milieux h comportement non-lindaire, la MCC, dont l'application sera limi- tde aux rdgions lindaires (inducteur...), pourra Atre couplAe h d'autres mAthodes numAriques (AlAments finis, volumes finis...). Ceci donnera lieu h un outil performant de mod61isation de
systAmes h induction tels que les dispositifs de chauflage. En effet, dans un tel couplage, seules les parties actives (inducteur et charge) sont discrdtisdes.
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[4j Maouche B., Mekideche M., Feliachi M. and Srairi K., Calculation of the impedance and the inductor current density distribution in electromagnetic devices LF and HF, Intern.
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