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Submitted on 30 Nov 2010
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Etude du Comportement des Ondes Ultrasonores dans l’Os Trabéculaire
V.-H. Nguyen, S. Naïli, V. Sansalone
To cite this version:
V.-H. Nguyen, S. Naïli, V. Sansalone. Etude du Comportement des Ondes Ultrasonores dans l’Os
Trabéculaire. 10ème Congrès Français d’Acoustique, Apr 2010, Lyon, France. �hal-00541370�
10`eme Congr`es Fran¸cais d’Acoustique
Lyon, 12-16 Avril 2010
Etude du comportement des ondes ultrasonores dans l’os trab´eculaire ´
Vu-Hieu Nguyen, Salah Naili, Vittorio Sansalone
Universit´ e Paris-Est, Laboratoire Mod´ elisation et Simulation Multi-Echelle, UMR 8208 CNRS
61, avenue du G´ en´ eral de Gaulle, 94010 Cr´ eteil Cedex , { vu-hieu.nguyen,naili,vittorio.sansalone } @univ-paris-est.fr
Les techniques de mesures quantitatives par ultrasons sont non-destructives et ` a ce titre sont int´ eressantes pour d´ eterminer les caract´ eristiques m´ ecaniques et/ou g´ eom´ etriques de l’os in vivo ou in vitro . La mesure est bas´ ee sur l’estimation de vitesses et d’att´ enuations des ondes qui se sont propag´ ees dans le tissu osseux. Cependant, l’interpr´ etation des r´ esultats est difficile du fait de la complexit´ e de ce tissu lequel est ´ elastique, poreux, anisotrope et h´ et´ erog` ene. Par exemple, en utilisant la technique de transmission transverse in vitro , des ´ etudes th´ eoriques et exp´ erimentales ont montr´ e que le comportement des ondes dans l’os spongieux, aussi appel´ e trab´ eculaire, d´ epend fortement de l’angle entre la direction d’´ emission des ondes et l’orientation des trab´ ecules lesquelles constituent la microstructure de ce tissu. Les ´ etudes r´ ealis´ ees in vitro sur l’os trab´ eculaire supposent que l’´ echantillon osseux est un mat´ eriau orthotrope dont les axes principaux sont d´ efinis par l’orientation des trab´ ecules. Le comportement des ondes transmises
`
a travers l’´ echantillon est diff´ erent selon que les signaux ´ emis sont dans la direction (1) parall` ele ou (2) perpendiculaire ` a la direction principale d’alignement des trab´ ecules. En pratique, les ´ echantillons d’os sont alors coup´ es suivant ces axes et les mesures sont r´ ealis´ ees pour chaque direction principale.
Cependant, il est difficile en pratique de d´ eterminer correctement ces axes et les directions d’´ emission des ondes peuvent ne pas ˆ etre parfaitement align´ ees avec les axes principaux du mat´ eriau. Dans ce travail nous ´ etudions les effets de ces erreurs d’alignement sur les caract´ eristiques des ondes. Pour cela, nous d´ eveloppons un mod` ele ainsi que son impl´ ementation num´ erique ` a l’aide d’une m´ ethode aux ´ el´ ements finis pour ´ etudier la propagation des ondes transitoires. Ce mod` ele constitue un syst` eme coupl´ e d’un milieu poreux ´ elastique anisotrope satur´ e (dont le comportement est d´ ecrit par le mod` ele de Biot) immerg´ e dans un fluide acoustique.
1 Introduction
La technique de quantification par ultrasons (QUS) est une technique de mesure non-destructive int´ eressante pour l’exploration des caract´ eristiques m´ ecaniques et/ou g´ eom´ etriques de l’os in vivo ou in vitro . En principe, la mesure est bas´ ee sur l’estimation des vitesses et des att´ enuations des ondes ` a travers l’os.
Cependant, l’interpr´ etation des r´ esultats est difficile ` a cause de la complexit´ e du “mat´ eriau os” qui est un mat´ eriau poreux, anisotrope et h´ et´ erog` ene. ` A l’´ echelle macroscopique, on peut distinguer l’os cortical (dont la porosit´ e est de 5% ` a 10%) et l’os trab´ eculaire (dont la porosit´ e est de 50% ` a 90%). Celui-ci peut ˆ etre d´ ecrit comme un mat´ eriau biphasique et anisotrope compos´ e d’une phase solide (le squelette de trab´ ecules) satur´ ee par un fluide visqueux (la moelle osseuse). Du fait de sa structure complexe, les mesures et la mod´ elisation des ondes dans l’os trab´ eculaire sont difficiles.
Pour les ´ etudes in vitro de la propagation d’ul- trasons dans l’os trab´ eculaire, la plupart des appa- reils utilisent la technique de transmission transverse pour d´ eterminer l’att´ enuation des ultrasons (BUA) et la c´ el´ erit´ e des ondes (SOS) [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]. De nom- breux mod` eles th´ eoriques ont ´ et´ e ´ egalement propos´ es, bas´ es sur le mod` ele de Biot [1, 2, 8, 5, 3, 6, 9], ou de type multi-couche fluide-solide [4] ou encore bas´ es sur
μ -CT (Computed Tomography) [10, 7]. Les ´ etudes ont montr´ e que les propri´ et´ es m´ ecaniques et la configura- tion structurelle de l’os ont de fortes influences sur les caract´ eristiques des ondes. Par exemple dans [2], deux comportements diff´ erents d’ondes transmises ont ´ et´ e ob- serv´ es ` a travers des ´ echantillons d’os bovin lorsque les signaux sont ´ emis dans la direction (1) parall` ele ou (2) perpendiculaire ` a la direction principale d’alignement des trab´ ecules. Dans le cas (1), il a ´ et´ e observ´ e deux types d’ondes bien s´ epar´ ees : une onde rapide et une onde lente . Dans le cas (2), un seul type d’ondes a ´ et´ e observ´ e. Des ´ etudes th´ eoriques et exp´ erimentales ont montr´ e que le comportement des ondes d´ epend forte- ment de l’angle entre la direction d’´ emission des ondes et l’orientation des trab´ ecules [4, 11].
Quand des ´ etudes in vitro sont r´ ealis´ ees sur l’os trab´ eculaire en utilisant la technique de transmission transverse, l’on suppose que l’os trab´ eculaire est un mat´ eriau orthotrope dont les axes principaux sont d´ efinis par l’orientation des trab´ ecules. Les ´ echantillons d’os sont alors coup´ es suivant ces axes et les me- sures sont r´ ealis´ ees pour chaque direction principale.
Cependant, il est difficile en pratique de d´ eterminer correctement ces axes et les directions d’´ emission des ondes peuvent ne pas ˆ etre parfaitement align´ ees avec les axes principaux du mat´ eriau. Dans ce travail nous
´ etudions les effets de ces erreurs d’alignement sur les ca-
ract´ eristiques des ondes. ` A cette fin, nous d´ eveloppons
un mod` ele aux ´ el´ ements finis pour ´ etudier la propa- gation des ondes transitoires dans un syst` eme coupl´ e constitu´ e d’un milieu poreux anisotrope satur´ e (dont le comportement est d´ ecrit par le mod` ele de Biot) immerg´ e dans un fluide acoustique.
2 Description du probl` eme
2.1 Configuration g´ eom´ etrique
La Fig. 1 (en haut) pr´ esente un sch´ ema du test de transmission transverse in vitro qui est constitu´ e par : un ´ echantillon rectangulaire d’os immerg´ e dans un fluide, un ´ emetteur et un r´ ecepteur ultrasonores plac´ es de part et d’autre de l’´ echantillon. Les signaux ultraso- nores sont ´ emis dans la direction perpendiculaire ` a la surface de l’´ echantillon.
Fluide Os Fluide
Ωf2 Ωf1
x2 x,1
O x1
p0(t)
θ x,3
Γf2 Γf2 Γb
Γb
Γf∞2 Γf1
Γf1 B
D
A
C
Γfsrc
O x1
Γbf1 Γbf2 x2
Γb∞
Ωf2 Ωf1
nbf1 nbf2 D
A B
C
Γb∞
´Emeteur R´ecepteur
Γf∞2 Γf∞1
Ωb Ωb Ωb
Figure 1 – Sch´ ema du test de transmission transverse in vitro (en haut). Configuration retenue pour la
pr´ esente ´ etude (en bas)
L’analyse des ondes r´ efl´ echies et transmises permet de quantifier certains param` etres m´ ecaniques de l’os.
Par la suite, on fera les hypoth` eses que l’´ emetteur est suffisamment grand et est positionn´ e suffisamment loin de l’´ echantillon pour que l’onde incidente sur sa surface puisse ˆ etre consid´ er´ ee comme une onde plane (Fig. 1 en bas). En outre, on fera l’hypoth` ese que le domaine conte- nant le syst` eme ´ etudi´ e est suffisamment grande pour que les ondes r´ efl´ echies par les bords puissent ˆ etre n´ eglig´ ees.
Le syst` eme est d´ ecrit dans un tri` edre orthonorm´ e direct R( O ; x 1 , x 2 , x 3 ). Dans cette ´ etude, comme on s’int´ eresse uniquement aux ondes planes, on consid´ erera le domaine limit´ e par le rectangle ABCD (Fig. 1). Les domaines occup´ es par les fluides et l’os sont d´ esign´ es respectivement Ω f 1 , Ω f 2 et Ω b . Les interfaces entre l’os et les fluides sont respectivement not´ ees Γ bf 1 et Γ bf 2 .
2.2 Equations du probl` ´ eme
On pr´ esente dans cette section les ´ equations du mouvement ´ etablies pour chaque domaine ainsi que les conditions aux interface et aux limites. Dans la suite, on d´ esigne par “ . ” superpos´ e la d´ eriv´ ee temporelle, par ∇ et ∇· les op´ erateurs gradient et divergence respective- ment, par ‘ :’ le produit scalaire entre deux vecteurs et par ‘ :’ soit le produit scalaire entre deux tenseurs du se- cond ordre soit l’application d’un tenseur du quatri` eme ordre sur un tenseur du second ordre.
Equations des ondes dans les fluides. ´ Le fluide oc- cupant les deux domaines Ω f 1 et Ω f 2 est consid´ er´ e comme un fluide acoustique dont la masse volumique au repos est ρ f et le module de compressibilit´ e est K f . En no- tant par p 1 et p 2 les champs de pression dans Ω f 1 et Ω f 2 , les ´ equations des ondes dans ces deux domaines peuvent s’´ ecrire :
1 K f
p ¨ i − 1 ρ f
∇ · ∇p i = 0 dans Ω f i
avec i = 1 , 2 . (1)
Equations de propagation des ondes dans l’os ´ (milieu poro´ elastique anisotrope). La couche d’os est mod´ elis´ ee comme un milieu biphasique dont la phase solide (de masse volumique ρ s ) est satur´ ee par le mˆ eme fluide occupant les domaines Ω f 1 et Ω f 2 . Le mod` ele est bas´ e sur les travaux de Biot [12] et adapt´ e lorsque le comportement du milieu poro´ elastique est anisotrope.
En n´ egligeant la force volumique due ` a la gravit´ e, le syst` eme d’´ equations dans la couche d’os s’´ ecrit :
∇ · σ = ρ u ¨ s + ρ f w ¨ , (2)
−∇p = ρ f u ¨ s + k − 1 w ˙ + b w ¨ , (3) o` u ρ = φ ρ f + (1 − φ ) ρ s est la masse volumique du m´ elange, φ la porosit´ e, σ ( x, t ) le tenseur des contraintes totales et p ( x, t ) la pression interstitielle dans les pores ; les vecteurs d´ eplacement du squelette solide et du fluide sont not´ es respectivement par u s (x, t ) et u f (x, t ) qui permettent ´ egalement de d´ efinir le vecteur d´ eplacement de filtration w = φ (u f − u s ) ; k et b sont deux tenseurs sym´ etriques du second ordre et sont d´ etermin´ es comme d´ ecrit ci-dessous :
- Le tenseur k est le tenseur de perm´ eabilit´ e qui est d´ etermin´ e ` a partir de la viscosit´ e dynamique du fluide η et du tenseur de perm´ eabilit´ e intrins` eque κ :
k = κ
η F r ( ω ) , (4) o` u F r ( ω ) est un coefficient prenant en compte la r´ esistance visqueuse de l’´ ecoulement du fluide en hautes fr´ equences [12]. Pour un milieu ortho- trope, le tenseur κ est suppos´ e diagonal : κ = Diag( κ 11 , κ 22 , κ 33 ).
- Le tenseur b est d´ efini ` a partir du tenseur de tortuosit´ e a par la relation :
b = ρ f
φ a. (5)
Le tenseur de tortuosit´ e a d’un milieu orthotrope est
aussi suppos´ e diagonal : a = Diag( a 11 , a 22 , a 33 ). Dans
cette ´ etude, les coefficients de tortuosit´ e dans les trois directions principales sont estim´ es en utilisant la rela- tion de Berryman :
a i = 1 + r i (1 + 1 /φ ) , (6) o` u r i est un param` etre li´ e aux caract´ eristiques de la microstructure de l’os dans la direction i .
La loi de comportement d’un mat´ eriau poro´ elastique lin´ eaire anisotrope s’exprime par les relations :
σ = C : − α p , (7)
− 1
M p = ∇ · w + α : , (8) o` u C est le tenseur (du 4 e ordre) d’´ elasticit´ e du milieu poreux drain´ e ; α est le tenseur (sym´ etrique du second ordre) de Biot qui est aussi diagonal pour un milieu or- thotrope ; le scalaire M est le module de Biot. Le tenseur des petites d´ eformations est li´ e au d´ eplacement de la phase solide par la relation : = 1 2 (∇u s + (∇u s ) T ) , o` u
“ T ” d´ esigne l’op´ erateur de transposition.
Conditions aux interfaces et aux limites
- Conditions aux interfaces entre le milieu poreux et le fluide : sur les deux interfaces Γ bf 1 et Γ bf 2 , les condi- tions de continuit´ e de la pression et des contraintes sur le plan de l’interface imposent :
p = p i
σn bf i = −p i n bf i
sur Γ bf i avec i = 1 , 2 , (9)
o` u n bf i est le vecteur normal ` a Γ bf i orient´ e vers l’ int´erieur du domaine de fluide Ω f i (voir Fig. 1).
En faisant l’hypoth` ese que le mouvement du fluide dans les pores de l’os sis aux interfaces est libre, la condition de continuit´ e des vitesses du fluide dans la direction normale aux interfaces s’´ ecrit [14] :
1
ρ f ∇p i + ¨ w + ¨ u s
· n bf i = 0 sur Γ bf i
avec i = 1 , 2 . (10)
- Conditions sur les bords ext´erieurs : Du fait que dans cette ´ etude on ne s’int´ eresse qu’au probl` eme des ondes planes se propageant suivant la direction x 1 , les ondes
´
emises de l’´ emetteur peuvent ˆ etre mod´ elis´ ees comme une pression uniforme sur Γ f scr (ligne AD dans la Fig. 1) :
p 1 = p 0 ( t ) sur Γ f src . (11) De la mˆ eme fa¸con, les conditions impos´ ees sur les deux lignes AB et CD (Fig. 1) expriment le fait que les ondes restent toujours planes dans le domaine ABCD :
∂p 1
∂x 2 = 0 sur Γ f 1 , (12)
∂u s
∂x 2 = 0 , ∂w
∂x 2 = 0 sur Γ b , (13)
∂p 2
∂x 2 = 0 sur Γ f 2 . (14)
La fronti` ere Γ f∞ 2 (ligne BC dans la Fig. 1) est plac´ ee suffisamment loin (pour la dur´ ee des ph´ enom` enes
´ etudi´ es) pour pouvoir ´ eviter de prendre en compte les ondes r´ efl´ echies et, de ce fait, on peut y imposer une condition de pression nulle :
p 2 = 0 sur Γ f∞ 2 . (15)
2.3 Formulations faibles
La proc´ edure classique est appliqu´ ee pour ´ etablir les formulations faibles du probl` eme d´ ecrit dans la section pr´ ec´ edente. Le d´ etail de ce d´ eveloppement peut ˆ etre trouv´ e dans [13]. On ne pr´ esente ici que les expressions obtenues apr` es calcul. Ces formulations faibles ont ´ et´ e impl´ ement´ ees dans le code de calcul aux ´ el´ ements finis COMSOL Multiphysics.
Fluides. La formulation faible pour les deux domaines Ω f 1 et Ω f 2 occup´ es par le fluide est :
Ω
fi1 K f
( δp i ) ¨ p i dV +
Ω
fi1
ρ f ∇ ( δp i ) · ∇p i dV
−
Γ
bfi( δp i ) ( ¨ w + ¨ u s ) · n bf i dS = 0 , (16)
∀ δp i ∈ C i ad avec i = 1 , 2
o` u δp i est une fonction test (associ´ ee ` a p i ) d´ efinie dans l’espace des pressions admissibles C i ad .
Milieu poreux. Les formulations faibles obtenues dans le domaine Ω b sont :
Ω
bδu s · ρ u ¨ s dV +
Ω
bδu s · ρ f w ¨ dV +
Ω
b( ∇δu s ) : [( C + M α ⊗ α ) : ] dV +
Ω
b( ∇δu s ) : [ M α ( ∇ · w )] dV +
Γ
bf1δu s · p 1 n Γ
bf1
dS +
Γ
02δu s · ( p 2 n Γ
02) dS = 0 , (17)
Ω
bδw · b w ¨ dV +
Ω
bδw · ρ f u ¨ s dV +
Ω
bδw ·
k − 1 w ˙ dV +
Ω
b(∇ · δw) [ M (α : + ∇ · w)] dV +
Γ
bf1δw · p 1 n Γ
bf1
dS +
Γ
bf2δw · p 2 n Γ
bf2