EFFETS DYNAMIQUES EN MÉCANIQUE DE LA RUPTURE FRAGILE DES INTERFACES

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Submitted on 1 Jan 1985

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EFFETS DYNAMIQUES EN MÉCANIQUE DE LA RUPTURE FRAGILE DES INTERFACES

O. Coussy

To cite this version:

O. Coussy. EFFETS DYNAMIQUES EN MÉCANIQUE DE LA RUPTURE FRAGILE DES INTER- FACES. Journal de Physique Colloques, 1985, 46 (C5), pp.C5-207-C5-212. �10.1051/jphyscol:1985526�.

�jpa-00224756�

(2)

o.

Coussy

Laboratoire Central des Ponts e t Chaussées, 58 boulevard Lefebvre, 75732 Paris Cedex 2 5 , France

Résumé - On étudie ici l a propagation dynamique d'une fissure à l'interface d e deux demi-espaces infinis sous chargements plans ou antiplans dans l e c a d r e du c r i t è r e d e Griffith. On donne tout d'abord l'extension naturelle d e l a formule dlIrwin généralisée pour l e s problèmes élastiques antiplans. On montre ensuite l'importance de l'effet de contact unilatéral pour l e s problèmes plans par rapport au problème d'un seul milieu e t comment il f a u t modifier alors l a formule d'lrwin. On étend enfin l'analyse aux milieux viscoélastiques.

Abstract - The dynamic propagation of a n i n t e r f a c e crack is studied under conditions of plane or antiplane loadings f o r t h e Griffith's criterion. We first give t h e generalized antiplane Irwin's formula f o r elastic problems. We then show t h e importance of t h e unilateral c o n t a c t e f f e c t in plane i n t e r f a c e problems. We show how t o modify t h e Irwin's formula t o t a k e this e f f e c t into account. Finally we extend t h e analysis t o viscoelastic problems.

1 - RESULTATS GENERAUX EN MECANIQUE DE LA RUPTURE FRAGILE DES INTERFACES Considérons une fissure semi infinie s e propageant l e long d'une i n t e r f a c e d e deux milieux semi- infinis ((axe Oxl) à une vitesse V, notée aussi

4 ( e

pour longueur d e fissure). Par l a suite l'indi- c e 1 ou 2 désignera respectivement le milieu supérieur ou inférieur. Il e s t bien connu 11

1

que l'équilibre thermodynamique requiert que l e flux d'énergie 3u puissance disponible pour f a i r e avancer l a fissure e s t donné par :

Y = we - GR- K R - b ~

⁽¹⁾

où l a notation pointée indique l a dérivée temporelle de l a quantité. Dans (11, We e s t l e travail des forces extérieures agissant sur la région matérielle R entourant l a t ê t e d e fissure, tandis que

@

^Re s t l a dérivée temporelle de l'énergie t o t a l e libre, l a température é t a n t maintenue constante. K est l'énergie cinétique et O R est l a puissance dissipée volumique dans l a région R.

Le c r i t è r e Griffith requiert que c e flux d'énergie e s t consommé dans l a rupture d e l'interface d e telle manière que l'on a i t :

(2)

où yest une énergie spécifique d e rupture par unité d e surface.(2) peut ê t r e formellement ré- é c r i t sous l a f o r m e :

F

= ( F / V )

;

F s z y

(3)

où F a l a dimension d'une force. Pour des propagations stationnaires, KR = O e t F peut ê t r e iden- tifié a u t a u x de restitution de lléne;gie G, défini par G =

-21 uR/>e

où UR e s t l e potentiel to- t a l pour l a région R 11

1.

Ainsi pour KR = O, F e s t une force thermodynamique associée à

e

^par

l e potentiel UR. Pour des propagations transitoires, c e n'est par contre pas Je cas, e n raison de l'énergie rayonnée par les ondes consécutives a u démarrage dela fissure,et KR

+

^O^entraîne

?

# GV. L'équation (11, qui met e n jeu l e s champs d e déplacement et d e contraintes dans t o u t l'espace, n'est pas bien a d a p t é e a u x applications. Pour des problèmes antiplans, utjlisant l a mê- m e démarche que dans 121, on peut aisément montrer que e s t égal à l a dérivée Wf d e l'énergie d e f e r m e t u r e nécessaire à une opération fictive d e recollage inverse :

v t + V d t

dt

^{+ O} ^:

w4

Jvc

o;,

cx,) Au(x,-vdt)

d z ,

⁽⁴⁾

où

A

u e t Q23 sont respectivement l'ouverture de l a fissure e t l a contrainte de cisaillement (Ox3 e s t l a direction infinie du problème) derrière e t devant l a t ê t e d e fissure.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1985526

(3)

JOURNAL. DE PHYSIQUE

Fig. 1 - La géométrie du problème.

Pour obtenir (4) nous avons supposé un transport parallèle dans l a direction d e propagation 0x1 de c e s champs asymptotiques. De f a i t l a validité d e c e t t e hypothèse dépend des lois de compor- t e m e n t des matériaux. Pour des matériaux élastiques il e s t bien connu 131 que l e champ d e contraintes e n avant de l a fissure e s t singulier e n (xl - ~ t ) - l / ~ tandis q u e A u e s t proportionnel à (Vt

-

x1)1/2 derrière l a pointe d e fissure. On peut alors introduire l e f a c t e u r d'intensité dynamique e t l e s f a c t e u r s d'intensité cinématiques déjà introduits dans 131 pour l e problème d'un seul milieu, e t qui seront ici définis par ^:

Y'. Lim P,

G

( X , - V ~ > " ~ , . -7

( v t ) + ,

^O

(5)

où (li e t u j sont respectivement l e module de cisaillement et l e champ de déplacement pour l e milieu indic6 par j ( u = u l - u2)

.

Utilisant (51, (3) e t (4) on obtient le formule dlIrwin généra- lisée ^:

F = & ' L K , U + I K ? ~ K =

A

'

^{2 P i} ^{2 M a}

Ainsi l e s équations (3) e t (6) montrent que seuls l e s f a c t e u r s d'intensité caractérisant l e s champs asymptotiques, s o n t à déterminer pour obtenir l a loi d e propagation d'une fissure à l'interface de deux milieu élastiques. En fait, seul l e f a c t e u r d'intensité dynamique e s t réellement néces- saire, c a r on peut montrer 141 que pour des milieux élastiques K e t KUj vérifient l a relation suivante, indépendante du chargement :

K r

= K g ( 4 - V ' I C ]

L I ' )

⁽⁷⁾

où C. e s t la vitesse des ondes d e cisaillement. J

II. PROBLEMES ANTIPLANS ELASTIQUES

Supposons à l'instant t = O qu' une fissure commence à s'étendre à partir d e l'origine des coor- données dans l e s deux directions d e l'axe 0x1 l e long d e l'interface d e deux milieux à une vitesse V telle que V

<

^Cl

<

(22.. Les contraintes à l'infini sont supposées nulles tandis que les f a c e s d e l a fissure (lxl/

<

Vt) sont soumises à un chargement antiplan d'intensité Les ondes rayon- n é e s sont décrites à la figure 2

.

Quand l a fissure commence à s e propager, elle engendre une onde cylindrique dans chaque milieu, tandis que des ondes d e tête,dues à l'excitation d e l'inter- f a c e par l'mde s e propageant dans l e milieu inférieur plus rapidement, sont engendrées e n a v a n t d e l'onde cyli ndrique du milieu supérieur. C e s résultats peuvent ê t r e obtenus par des méthodes de résolution par fonctions autosemblables. Utilisant ces techni ues, on peut obtenir K e t montrer, par (3), (6) _{e t}(7), que l e c r i t è r e de propagation s1écritq41 :

(4)

6 e t H fonctions d e l t a e t échelon), tandis que l'équation (8b) correspond à un chargement uni- f o r m e ⁽

ai3

⁼^a),l'indice inférieur O désignant l e chargement critique statique (V-, O, Vt+f. ⁾ e t

i?

é t a n t la longileur Vt. La figure 3 représente les variations de l a fonction g(V) pour diffé- r e n t s matériaux, f(V) a y a n t l e s mêmes variations.

0.5 1

Fif. 3 - La fonction g(V).

1 mêmes matériaux ou élastique 1-rigide 2, I I p l / ( r 2 = 0,054, C1/C2 = 0,3 (epoxy 1 - v e r r e 21, 1 1 1 ~

l / p

2 = 0,208, C1/C2 = 0,83 (béton 1, a c i e r 2), IV p 1 / p 2 = 2,63, C1/C2 = 0,932 (acier 1 - aluminium 2).

Les fonctions g(V) et f(V) quantifient l a p e r t e e n puissance disponible pour f a i r e avancer l a fis- s u r e dans l e c a s dynamique par rapport a u cas statique, à longueur d e fissure équivalente

e=

^Po.

Durant la propagation, l'augmentation e n énergie cinétique e t l a p e r t e par rupture e s t obtenue p a r GimiQution d e Iténergie libre t o t a l e et d e l'énergie potentielle d e s e f f o r t s extérieurs (cf. (l), (3) pour DR = O). Les fonctions f et g valent O pour V = C l , qui constitue ainsi une vitesse limite d e propagation. Notons que (8a) implique e n o u t r e que l a rupture peut ê t r e contrôlée pour un chargement concentré (i.e = c o n s t a n t e 7

2

V

-,

O pour des temps t augmentant) contrairement a u c a s du chargement uniforme B.

(5)

JOURNAL DE PHYSIQUE

III. EFFETS DE CONTACT UNILATERAL POUR DES MOUVEMENTS PLANS STATIONNAIRES Retournons à l a fissure semi infinie d e l a figure 1, mais considérons maintenant des problèmes plans correspondant à des chargements agissant dans l e s directions XI. x e t f i y du système d e coordonnées a t t a c h é à l a pointe d e fissure e t s e déplaçant à une vitesse constante V. Pour des propagations stationnaires (pas d'instant initial e t chargement fixe dans l e système d'axe com- mobilefixy), on peut montrer 151 que l a solution plane présente un aspect non physique e n t ê t e d e fissure. Il s'agit d'une violente oscillation d e l'ouverture normale A v d e l a fissure suivant l'axe

fi

y, alternativement positive e t négative e t conduisant ainsi à une interpénétration des deux milieux. Dans 151, il e s t stipulé que c e t t e interpénétration peut ê t r e négligée dans l e cal- cul d e F c a r c e t t e interpénétration n'a lieu que sur une zone extrêmement confinée juste der- r i è r e l a t ê t e d e fissure. En fait, pour un problème statique, certains auteurs 161, supposant qu'il y a i t toujours un contact normal ( A v = 0) sur une courte longueur derrière l a t ê t e d e fissure, ont montré que l a rupture de l'interface n e peut intervenir que par une rupture e n mode d e cisaillement ou mode II. Sur la p e t i t e zone de contact, l e champ d e contraintes e s t un champ d e compression, empêchant toute restitution en mode 1. C e phénomène e s t dû à l a différence des coefficients de Poisson V j des deux matériaux. Ainsi l e chargement de rupture obtenu e n né- gligeant l'interpénétration (comme en 151) s e r a surestimé d'un f a c t e u r

6

(voir 161)

.

En outre, e n 171, il e s t montré numériquement que, t r è s près d e l a t ê t e d e fissure

,

l a solution prenant e n compte une p e t i t e zone d e contact, coïncide rapidement a v e c l a solution analytique oscillante, telle que celle déterminée en 151. On notera que c e résultat e s t e n accord a v e c l e principe d e Saint-Venant. Enfin, dans 17

1,

il e s t montré que l e f a c t e u r d'intensité en cisaillement, obtenu numériquement (avec une zone d e contact) peut ê t r e obtenu enprenant l e maximum du f a c t e u r oscillant existant dans l a solution analytique du champ asymptotique d e cisaillement.

Toutefois c e s résultats statiques sont fondés sur l'hypothèse a priori que l a zone d e contact e s t continue. De f a i t on peut montrer que cela e s t vrai par une analyse dynamique 181. Prenant le maximum du f a c t e u r oscillant intervenant dans l a solution analytique dynamique, on peut t o u t o e o r d déterminer l e s f a c t e u r s d'intensité dynamiques e t cinématiques (respectivement

Kff

e t KII .Icorrespondant a u champ d e cisaillement singulier Qxy e t l'ouverture tangentielle

A u = Ü l - ü2 dans l a direction A x ) . Alors une estimation d e F, pour une vitesse V donnée, peut ê t r e :

où E e s t l e module d'Young. Ën fait, po;r une vitesse extrêmement spéciale Vo, il peut ê t r e montbé que l a solution analytique ne présente pas d'oscillations e t ainsi e s t l a solution exacte.

Dans c e cas, on peut déterminer l'expression e x a c t e du flux d'énergie

5

(VO) = F o Vo a v e c :

où l e s facteurs d'intensité sont définis comme pour l e milieu homogène 131. Le f a i t intéressant e s t que l a valeur F(Vo) donnée par l'estimation (9), e s t e n f a i t l a valeur e x a c t e Fo donnée par (10). Ceci veut dire que, bien qu'il y a i t une discontinuité dans l e mode d e rupture d e l'interface du passage d e Vo (V#Vo mode II, V=Vo mode 1, pour un chargement d e traction), il y a continui- t é du flux d'énergie a u passage d e Vo c e qui semble, pour le moins, conforme à l a nature physique du phénomène. C e résultat conduit à une f o r t e présomption que la zone d e c o n t a c t e s t continue et que prendre l e maximum du facteur oscillant correspond de f a i t à l a solution exacte.

IV. EFFFETS VISCOELATIQUES EN MOUVEMENTS ANTIPLANS

Dans c e t t e partie l e milieu inférieur e s t élastique tandis que l e milieu supérieur e s t maintenant viscoélastiaue, obéissant à l a loi d e c o m ~ o r t e m e n t :

Dans l'équation (11) g o e s t l e module de cisaillement instantané, correspondant à l a vitesse des ondes instantanée Co ou correspondant a u x hautes fréquences, tandis que C a e s t l a vitesse des ondes différée ou correspondant aux basses fréquences.

Z:

e s t un temps d e relaxation. C e modèle a é t é étudié dans 191 e t conduit à des courbes d e flnages peu différentes d e celles du mo- dèle linéaire standard. Supposons maintenant qu'à l'instant initial t = 0, une fissure semi-infinie

(6)

vérifient (Coussy, à paraître) :

K r

=

( 2 i ~ ) fi Q e x p

Ac , v<c

(12)

où C = Co ou Cm pour t-+

&

respectivement, l e terme exponentiel correspondant aux effets des ondes de t ê t e en avant des ondes rayonnées par la fissure e t décrites à la figure 4. Les mêmes commentaires peuvent ê t r e faits que dans le cas de la figure 2. La différence essentielle est que, au fur e t à mesure que les ondes s e propagent,elles perdent progressivement leurs composantes hautes fréquences e t progressivement la vitesse des ondes décroît de Co à C, lorsque le temps augmente.

Fig. ^,4 - Ondes rayonnées E r la fissure pour V<Co ou C,

,

( t + O

En outre ⁽⁷⁾est toujours vérifié mais avec Cj = Co, ceci même dans la solution à long terme ( t r m ). Ainsi l e phénomène est contrôlé par la relaxation du champ de contraintes en t ê t e de fissure, qui induit derrière c e t t e t ê t e un champ de déplacement, correspondant aux caractéris- tiques

instantané es^^

e t Co, en raison de la perturbation instantanée engendrée par la propagation de la fissure.

La différence essentielle entre l e problème d'interface e t l e problème homogène (la loi de com- portement (11) est valable dans tout l'espace) est que l e champ de contraintes est singulier en x-7 pour tous les temps dans l e cas homogène 1101 alors que cela n'est vrai qu'asymptotiquement ( t j O ou t + o ) pour le cas de l'interface

.

Dans c e dernier cas, pour des temps petits, l e processus de relaxation n'a pas encore commencé, tandis que pour des temps grands il est complète- ment achevé. Pour des temps intermédiaires c e processus de relaxation e s t gêné par l e compor- tement élastique du milieu inférieur, l e champ de contraintes en têtede fissure devenant diffici- l e d'analyse.

équation (121, pour des temps grands, n'est valable toutefois que pour V

<

C,,

.

Une autre solution existe pour V

>

C,et t rao :

K P

= O-fi

~ * + A ~ V C C . < C . - V ) / C ~ < V - C , > ) " ~ (13)

Cette dernière solution est une solution stationnaire, contrairement à la solution transitoire (12).

Utilisant (3) a v e c p l =b, (7), (12) e t (13), on peut alors niontrer que pour des chargements suffisamment grands par rapport à 21, la vitesse de propagation de la fissure peut dépasser Ca, avant que l e processus de relaxation, gouverné par le temps

E ,

ne soit achevé e t que la vitesse des ondes dans l e milieu supérieur ne soit effectivement COO. Dans c e cas, la vitesse terminale de la fissure n'est ni Co ou C e

,

mais une vitesse intermédiaire donnée par les équations ci- dessus mentionnées. Pour conclure, notons que (12) ne fait intervenir que Co ou C a e t semble ainsi général, tandis que (13), faisant intervenir un temps de relaxation lié au modèle choisi, doit de fait dépendre du modèle viscoélastique retenu.

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C5-212 JOURNAL DE PHYSIQUE

REFERENCES

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