Identification de fonctions de transfert pour un four de brasage sous vide et sa charge

(1)

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Submitted on 15 Jan 2020

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Célien Zacharie, Vincent Schick, Benjamin Remy, Gaetan Bergin, Renaud Egal, Thierry Mazet

To cite this version:

Célien Zacharie, Vincent Schick, Benjamin Remy, Gaetan Bergin, Renaud Egal, et al.. Identification

de fonctions de transfert pour un four de brasage sous vide et sa charge. Congrès de la société Française

de Thermique 2018, May 2018, Pau, France. �hal-02441340�

(2)

Identification de fonctions de transfert pour un four de brasage sous vide et sa charge

C´elien Z

ACHARIE1,2,∗

, Vincent S

CHICK1

, Benjamin R

EMY1

, Ga¨etan B

ERGIN2

, Renaud E

GAL2

, Thierry M

AZET2

1

LEMTA, Universit´e de Lorraine

2 Avenue de la Forˆet de Haye - 54504 Vandoeuvre-L`es-Nancy

2

Fives Cryo,

25 bis rue du Fort - 88190 Golbey

∗

(auteur correspondant : celien.zacharie@univ-lorraine.fr)

Résumé - Afin de simuler le comportement thermique d’un système industriel constitué d’un four

électrique de brasage sous vide et de sa charge (échangeur thermique à plaques brasées), et afin de pouvoir ensuite le contrôler, on souhaite identifier les fonctions de transfert des différents éléments via des modèles paramétriques de type ARX (structure autorégressive). La présente étude concerne l’inter- action entre le four et sa charge, et comporte deux parties : on s’intéresse tout d’abord à la non-linéarité des échanges radiatifs entre un panneau radiant et la surface du four via un modèle numérique 1D simple (linéarisation ou non du flux radiatif). Puis on l’étendra à un modèle 3D modélisant le four réel.

1. Introduction

Dans un contexte industriel de fabrication d’échangeurs en aluminium à plaques et ondes brasées, il est aujourd’hui difficile de discriminer les pièces saines des défectueuses après l’opération de brasage, réalisée dans un four sous vide. Cette étape du procédé de fabrication repose sur la chauffe radiative de la charge jusqu’au point de fusion de la brasure, permettant ainsi à l’empilement initial de ne former in fine qu’un bloc massif. ` A partir de mesures de températures localisées uniquement en surface et au centre géométrique de l’échangeur, une série de panneaux radiants pilotés via une centrale de régulation contrôlent la chauffe pour em- mener la charge (échangeur) vers la température de brasage en assurant son homogénéité ther- mique. Cependant les données issues de ce dispositif ne permettent pas de détecter la présence de défauts de brasage dans l’échangeur (dus à l’apparition de points chauds par exemple). Une description plus fine du comportement du four industriel et de sa charge est donc souhaitée.

Pour répondre à cette problématique, on souhaite identifier les fonctions de transfert du four

à vide et de la charge via des modèles paramétriques.

L’étude suivante comprendra un premier volet consacré aux interactions entre le four et la charge, par le biais d’une modélisation sous FlexPDE

^R

(éléments finis) d’un panneau radiant et d’une portion d’échangeur en regard (prise en compte de conductances radiatives entre ces deux équipements). Les simulations doivent permettre de comprendre la phénoménologie de cet échange radiatif et son caractère non-linéaire, et de déboucher sur le choix de modèles ARX pertinents.

Compte tenu des résultats précédents, le second volet est consacré aux estimations de modèles

paramétriques à partir d’un modèle numérique global du four et d’un échangeur permettant de

simuler un cycle de brasage, et particulièrement la chauffe. Les simulations sont réalisées avec

le logiciel Simfurnace faisant appel aux codes Modray

^R

(m´ethode des radiosit´es) pour la partie

radiative du four et Thermette

^R

(m´ethodes nodales) pour les parties conductives.

(3)

Au préalable nous donnerons plus d’éléments permettant de positionner le problème dans son contexte industriel ainsi que des informations sur les modèles autorégressifs ARX.

2. Phénoménologie étudiée et présentation des modèles paramétriques de type

^≪

ARX

^≫

(Auto Regressive model with eXternal inputs)

2.1. Phénoménologie étudiée

La présente étude s’inscrit dans un projet de Thèse industrielle (F

IVES

C

RYO

) visant à mieux caractériser les échanges thermiques entre un four et sa charge. Les modes de transfert de cha- leur en jeu sont radiatifs (transmission de la chaleur entre les panneaux radiants du four et l’échangeur en aluminium et d’autres éléments annexes compris dans l’enceinte), conductifs (au sein même de la charge), et convectifs si l’on s’intéresse à l’enceinte du four qui est une double-enveloppe où circule de l’eau (source froide pour la régulation). Dans l’enceinte, 88 panneaux échangent de la chaleur par rayonnement avec la charge qui est équipée selon sa géométrie de quelques dizaines de thermocouples en surface (peau d’échangeur) et de deux thermocouples à cœur au minimum en cas de dysfonctionnement de l’un d’eux. En associant stratégiquement les capteurs en peau avec les panneaux, c’est-à-dire en les mettant le plus pos- sible en regard, on surveille et contrôle le gradient de température dans la charge au cours du cycle de sorte que la chauffe soit la plus homogène possible.

Figure 1 : Photo de l’un des deux fours sur site et d’un ´echangeur avant enfournement

L’un des enjeux de cette Thèse sera d’accéder à des températures dans la charge que les données et modèles actuels ne nous permettent pas d’obtenir, et de détecter d’éventuels défauts lors de la chauffe et du brasage de l’appareil. Dans ce but, notre choix s’est porté sur l’identifi- cation et l’utilisation de modèles autorégressifs ARX.

2.2. Modèles paramétriques autorégressifs de type ARX

Les modèles autorégressifs peuvent être considérés comme des généralisations des bilans enthalpiques et convolutifs, dans le domaine de la thermique du moins, comme l’explique U

RIZ

[1].

De la même manière que pour la méthode enthalpique, la sortie d’un modèle autorégressif est

donc une variable se rapportant au système choisi, mais ne nécessite pas pour autant l’écriture

explicite du bilan thermique. Cette approche est donc d’autant plus pertinente que l’on travaille

(4)

sur des systèmes 2D/3D ou réels pour lesquels la physique est difficile à modéliser finement.

Pour résumer, dans notre problème de thermique, les modèles autorégressifs peuvent expri- mer de manière plus implicite des équations issus de bilans thermiques comme le suivant :

ρc

_p

∂T

_s

∂t = – X

n

i

G

_i

(T

_s

– T

_i

) + P (1)

ρc

_p

désignant la capacité thermique volumique du système, T

_s

la temp´erature de sortie du syst`eme, G

_i

la conductance thermique caractérisant le transfert de chaleur entre le système et l’élément i, et P un terme de production interne au système.

Dans les modèles autorégressifs, ceux de type ARX sont à variable exogène. Ils ont été largement étudiés par L

JUNG

[2] et revêtent la forme mathématique suivante dans le cas d’un modèle à une seule entrée u et une seule sortie y :

y(t

_i

) = –

na

X

j=1

a

_j

y(t

_i

– j∆t) +

n_b

X

j=1

b

_j

u(t

_i

– j∆t – n

_k

∆t) + ǫ(t

_i

) (2)

∆t désignant le pas de discrétisation du modèle.

Les perturbations ǫ sont souvent modélisées comme des variables aléatoires pour simuler du bruit, mais dans cet article, on gardera ce terme nul du fait du faible niveau de bruit observé sur les mesures de thermocouples. Seules les entrées u modélisant les effets extérieurs déterminent la sortie. Dans le cas d’un problème inverse comme le nôtre, les coefficients a

_i

et b

_i

sont les param`etres `a estimer. Les termes en a

_i

se rapportent aux valeurs de sortie prises aux n

_a

instants précédents (partie autorégressive) et ceux en b

_i

aux valeurs des n

_b

entrées précédentes. L’ordre, et donc le degré de raffinement du modèle, est défini par le triplet (n

_a

, n

_b

, n

_k

). Notons qu’il est possible d’introduire un d´ecalage temporel n

_k

entre entrée et sortie pour simuler des effets de retard (décalage au niveau de la commande de l’entrée). Par exemple, le triplet (3, 2, 1) désigne un modèle ARX de la forme :

y(t

_i

) = –a

₁

y(t

_i

– ∆t)– a

₂

y(t

_i

– 2∆t)– a

₃

y(t

_i

– 3∆t)+b

₁

u(t

_i

– 2∆t)+b

₂

u(t

_i

– 3∆t)+ǫ(t

_i

) (3) Remarquons qu’en prenant n

_a

= 0, alors on obtient un mod`ele convolutif. Dans ce cas, les b

_i

correspondent à une transmittance si y(t) et u(t) sont des températures et à une impédance si y(t) est une température et u(t) est un flux. Dans cette étude, les seules entrées et sorties envisagées sont des températures.

Dans la pratique, en ayant des données correspondantes à la sollicitation du système (entrée(s))

et sa r´eponse (sortie(s)), l’estimation des coefficients s’obtient `a partir de la minimisation d’une

fonctionnelle linéaire selon la méthode des moindres carrés. Elle consiste à écrire à chaque pas

de temps t

_i

la relation lin´eaire qui relie non seulement y(t) et u(t) `a l’instant t

_i

mais aussi aux

instants pr´ec´edents t

_i

– n

_a

∆t et t

_i

– n

_b

∆t, n

_a

et n

_b

pouvant ˆetre identiques selon le cas. L’as-

semblage de ces différentes relations pour i ∈ J1 ; NK, N étant le nombre de données, donne

naissance à un système linéaire qui par une unique inversion donne les a

_i

et b

_i

. En pratique si n

_a

et n

_b

sont grands, il est n´ecessaire de calculer une pseudo-inversion de la matrice en r´egularisant

par m´ethode QR ou TSVD sous Matlab

^R

. Cette inversion d’un probl`eme lin´eaire par morceau

(5)

sur l’intervalle de temps [t

_i

– sup

_n∈{n_a_,n_b_}

n∆t ; t

_i

] et globalement non-linéaire sur tout l’in- tervalle nous permet alors d’étudier un nombre important de modèles et de retenir le meilleur, par exemple celui qui a minimisé un critère sur les résidus.

L’identification du système via un modèle paramétrique se fait en deux temps :

— Une première étape de calibration est nécessaire pour estimer les coefficients a

_i

et b

_i

.

— Ensuite, le mod`ele ARX (n

_a

, n

_b

, n

_k

) correspondant est validé avec un autre jeu de données entrée/sortie. C’est la validation. Cette seconde étape est cruciale pour valider le modèle estimé qui doit être absolument indépendant des conditions aux limites.

3. Estimation de modèles paramétriques avec un modèle 1D simulant l’inter- action

^≪

panneau-peau

^≫

De manière générale, nous avons cherché à identifier la fonction de transfert 1 Entrée - 1 Sortie T

_source

– T

_peau

: la transmittance

^≪

panneau-peau

^≫

(interaction panneau radiant / peau (surface) de l’échangeur). Le pas d’échantillonnage des jeux de données est de 100 s.

Les résultats peuvent être donnés sous forme de courbe de comparaison (Unités Arbitraires (U.A)) ou de résidus (différence entre la courbe simulée et celle donnée par le modèle ARX), ou encore sous forme de pourcentage d’ajustement (Normalized Root-Mean-Square Deviation).

Ici, on a décalé les entrées et sorties des valeurs initiales pour que celles-ci soient conformes à la forme du modèle (2) (pour u(t) = 0, on a y(t) = 0).

3.1. Pr´esentation du mod`ele

C’est à partir d’un modèle numérique 1D simple réalisé sous FlexPDE

^R

que nous souhaitons apporter des éléments de réponse quant à la pertinence des modèles ARX pour identifier la fonction de transfert entre le four et la charge.

Figure 2 : Sch´ema de principe du mod`ele

^≪

panneau - peau d’´echangeur

^≫

Précisons la géométrie du modèle représentée sur la figure 2. De droite à gauche, on s’intéresse

à une portion d’échangeur en aluminium (une demi-largeur de 675 mm) qui est en regard avec un panneau radiant, lui-même constitué d’une épaisseur chauffante en molybdène et de deux

écrans en acier. Enfin, la présence d’une paroi en acier représentant l’enceinte interne du four

est nécessaire pour modéliser les pertes thermiques (coefficient d’échange h) avec l’eau conte-

(6)

nue dans la double-enveloppe régulatrice. L’équation de la chaleur est résolue à l’intérieur de chaque région précédemment définie et le rayonnement entre deux régions est modélisé sous FlexPDE

^R

via une résistance de contact dépendante (cas non-linéaire) ou non (cas linéaire) de la température. En 1D, la relation que l’on peut écrire à l’interface de deux domaines i et j pour lesquels on souhaite modéliser l’échange par rayonnement est la suivante (on exprime le flux surfacique net échangé) :

φ

_ij

= σ(T

⁴_i

– T

⁴_j

) 1

ε

_i

+ 1 ε

_j

– 1

= σ(T

²_i

+ T

²_j

)(T

_i

+ T

_j

) 1

ε

_i

+ 1 ε

_j

– 1

| {z }

G_rad(T_i,T_j)

(T

_i

– T

_j

)

lin´earisation

≃ 4σT

³_m

1 ε

_i

+ 1

ε

_j

– 1

(T

_i

– T

_j

) (4)

o`u G

_rad

(T

_i

, T

_j

) d´esigne la conductance radiative surfacique entre les deux milieux et T

_m

est une température moyenne constante. En se donnant les masses volumiques, capacités mas- siques, conductivités thermiques, émissivités de surface et épaisseurs des domaines (voir tableau 1), ainsi qu’une puissance interne P pour la partie en molybdène, on a suffisamment d’éléments pour obtenir une résolution du problème direct.

λ ρ c

_p

ε e

W.m

^–1

.K

^–1

kg.m

^–3

J.kg

^–1

.K

^–1

∅ mm

Paroi 20 7864 450 0.8 1

Ecran ´ 20 7864 450 1 2 × 0.7

R´esistance 138 10220 450 1 2

Barre 160 2700 960 0.18 25

Onde-tˆole 16 837 960 ∅ 650

Tableau 1 : Propriétés thermophysiques et géométriques du modèle

3.2. ´ Etude du modèle linéarisé

Les conductances radiatives peuvent être linéarisées comme dans l’équation (4). Dans les simulations, dans son état initial, le système est supposé en équilibre thermique avec le thermo- stat T

_∞

. La non-homogénéité du système à l’état initial ne fait pas l’objet de cette étude mais peut être prise en compte (relaxation d’un terme source en entrée du modèle).

Dans cet article, nous nous focalisons sur la transmittance T

_source

(entr´ee) – T

_peau

(sor- tie) (cf. Figure 2). Les signaux de calibration et validation issus d’une simulation directe sous FlexPDE

^R

sont ceux des Figures 3 et 4 : P(t) représente le flux d’entrée utilisé pour obtenir T

_source

et T

_peau

pour la calibration des modèles (excitation créneau sur la Figure 3) et leur va- lidation (Figure 4 pour laquelle le flux d’entrée a une forme plus complexe). On regarde d’abord si des modèles ARX peuvent être estimés convenablement (Figure 5), c’est-à-dire s’ils peuvent reconstituer correctement la réponse T

_peau

reference du modèle numérique direct. Le modèle optimal est celui qui minimise le critère RMS sur les résidus : (4, 4, 0) ici dans ceux estimés.

Ce mod`ele est ensuite valid´e en comparant sa sortie obtenue via le flux complexe de validation

`a celle de la simulation directe (Figure 6).

L’amélioration de la calibration due au passage d’un modèle d’ordre 2 à un ordre 4 peut

s’expliquer par la prise en compte d’effets capacitifs au sein du syst`eme, notamment celle du

panneau radiant.

(7)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10⁴ 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Figure 3 : Jeu de données entrée-sortie pour la calibration du modèle panneau-peau.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10⁴ 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Figure 4 : Jeu de données entrée-sortie pour la validation du modèle panneau peau.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10⁴ -0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figure 5 : Estimation (calibration) de deux mod`eles pour la transmittance T

_source

– T

_peau

(flux lin´earis´e)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10⁴ -0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figure 6 : Validation des mod`eles estim´es avec le flux complexe pour la transmittance T

source

– T

_peau

(flux lin´earis´e)

3.3. ´ Etude du modèle non linéarisé

Lorsque les conductances radiatives entre les différents milieux ne sont pas linéarisées, on obtient un nouveau jeu de données de calibration-validation dont la sortie est visible sur les graphes des Figures 7 et 8 sous la dénomination T

_peau

reference. Avec ce jeu, nous constatons qu’il est possible d’estimer un modèle ARX linéaire (estimation correcte pour (2, 2, 0) d’après la Figure 7). En revanche ce modèle est incapable de reproduire convenablement la sortie du flux complexe de validation (Figure 8), bien qu’il soit possible malgré tout d’identifier un autre modèle linéaire sur cet essai de validation, ce qui est la signature d’une modèle non-linéaire.

Cependant, lorsque des profils de puissances semblables `a ceux rencontr´es sur le vrai four

sont utilisés comme entrée dans le modèle FlexPDE non-linéarisé, les signaux de calibration-

validation pour la transmittance T

_source

– T

_peau

issus de ce mod`ele sont relativement proches

en forme et amplitude et les graphes des Figures 9 et 10 montrent qu’il est possible d’estimer

dans ce cas un modèle paramétrique linéaire en température qui reste valable en validation si

cette dernière est effectuée sur la même plage de variation de température que la calibration.

(8)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10⁴ 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figure 7 : Estimation (calibration) de deux mod`eles pour la transmittance T

_source

– T

_peau

(flux non-lin´earis´e)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10⁴ 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figure 8 : Validation des mod`eles estim´es avec le flux complexe pour la transmittance T

_source

– T

_peau

(flux non-lin´earis´e)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10⁴ 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Figure 9 : Estimation (calibration) de trois mod`eles pour la transmittance T

_source

– T

_peau

(flux non-linéarisé, profil semblable aux données réelles)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10⁴ 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Figure 10 : Validation des mod`eles estim´es avec le flux complexe pour la transmittance T

_source

– T

peau

(flux non-linéarisé, profil semblable aux données réelles)

4. Estimation de modèles paramétriques avec un modèle global du four et de sa charge

Avec le mod`ele global sous Simfurnace qui peut simuler avec une bonne pr´ecision le com- portement du four (N

EMER

[3]), nous avons essayé de construire un modèle paramétrique en prenant pour entrée T

_source

, la temp´erature d’un panneau, et en sortie T

_peau

, la température calculée en surface d’échangeur, en face du panneau en question.

D’après les Figures 11 et 12, on constate que les modèles ARX (4, 4, 0) et (10, 10, 0) à une seule entrée (température d’un seul panneau) ne sont pas capables de reproduire la sortie. Dans le modèle global, une température calculée en peau d’échangeur à un endroit donné dépend

également des flux radiatifs échangés via les panneaux voisins de celui que l’on avait considéré

jusque là. D’où l’idée de prendre en plus en entrée les températures des 8 panneaux voisins. La

notation (4, [4], 0) correspond `a (4, [4 4 4 4 4 4 4 4 4], 0) pour prendre en compte les temp´eratures

(9)

des 9 panneaux choisis en entr´ee du mod`ele.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Figure 11 : Estimation (calibration) de quatre mod`eles pour la transmittance T

_source

– T

_peau

(donn´ees Simfurnace)

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Figure 12 : Validation des mod`eles estim´es pour la transmittance T

_source

– T

_peau

(donn´ees Sim- furnace)

On améliore donc l’estimation en ajoutant des températures voisines de celle du premier panneau considéré, ce qui met en évidence la présence d’un effet 2D non négligeable, corrigé ici par une prise de moyenne.

L’hypothèse avancée pour expliquer les résultats satisfaisants pour la validation de la trans- mittance T

_source

– T

_peau

sur le modèle global est celle mentionnée à la fin de la partie 3. : les signaux de calibration et de validation dans la partie 4. diffèrent globalement peu en forme et en amplitude. On peut conjecturer que si la validation est effectuée sur la même plage de variation de température que la calibration, il sera possible d’estimer un modèle linéaire en température qui n’est valable qu’autour de ce point de fonctionnement, ce qui n’était pas le cas avec les jeux de données des Figures 3 et 4.

5. Conclusion

Lors de la prise en compte du transfert radiatif entre un panneau et l’échangeur, nous avons montré qu’il était possible d’identifier et valider un modèle paramétrique linéaire sous réserve que l’on reste dans une gamme de fonctionnement proche de celle de l’identification. Des études sont en cours pour évaluer l’intervalle de confiance de ces modèles linéaires. Nous chercherons ensuite à coupler ces fonctions de transfert avec celles des autres parties du système pour les- quelles les essais d’estimation de modèles ARX n’ont pas posé de problème et à étendre cette méthodologie sur des mesures réelles faites sur le four.

R´ef´erences

[1] U

RIZ

, Fermin, Mise en place d’une méthodologie pour l’identification de modèles d’extrapolation de température, PhD Thesis, Nancy, Institut National Polytechnique de Lorraine, Airbus, (2012).

[2] L

JUNG

, Lennart, System Identification : theory for the user, Prentice-Hall information and system sciences series (1987).

[3] N

EMER