Universit´e Paris 7 16 septembre 2011 Licence Math-Info (L3)
TD de Logique (Brice Minaud)
TD 1 Axiomes de la th´eorie des ensembles
Exercice1 :
(1) SiA={{x,{y}},{z}}, que vautS
A? Et siA={∅,{∅}}? (2) Montrer que pour tous ensemblesa,b, on a : a∪b=S
{a, b}.
Exercice2 : Parmi les cinq expressions suivantes, quelles sont celles qui, quel que soit a, sont
´egales `a l’ensemblealui-mˆeme ? [a; [
x∈a
x; [
x∈a
{x}; [
P(a) ; [
(P(a)− {∅}).
Exercice3 :Montrer que, pour toutx, pour touty, pour toutz, il existeadont les seuls ´el´ements sontx,y et z. (utiliser les axiomes de la th´eorie des ensembles)
Exercice4 :D´emontrer que l’ensemble de tous les singletons n’existe pas.
Exercice5 :A l’aide du lemme de Zorn, d´emontrer que tout espace vectoriel admet une base.
Indication : montrer d’abord que l’ensemble des familles libres de vecteurs est inductif pour la relation d’inclusion.
Exercice6 :Parmi les affirmations suivantes, quelles sont celles qui sont toujours vraies ? a⊂a; a∈a; a⊂ {a}; {a} ⊂a; {a} ∈ P(a) ; {a} ⊂ P(a) ; a⊂ P(a).
Exercice7 :Quel sont les ´el´ements deP(∅) ? de P(P(∅)) ? deP(P(P(∅))) ? Exercice8 :Montrer que l’on a quels que soient les ensemblesAet B :
P(A∪B)⊃ P(A)∪ P(B) P(A∩B) =P(A)∩ P(B) Exercice9 :Montrer queB∅={∅}et que si A6=∅,alors∅A=∅.
Exercice10 :Les includions suivantes sont-elles toujours vraies ? P(A×B)⊃ P(A)× P(B) ? P(A×B)⊂ P(A)× P(B) ? Exercice11 :Montrer que si l’un desai est vide, alors Π
i∈Iai=∅et si I=∅,alors Π
i∈Iai={∅}.
Exercice12 :Montrer que, pour tout ensembleX, il existe un ensemblepdont les ´el´ements sont pr´ecis´ements lesP(x) pourx∈X.
Exercice13 :Pour chaquei∈Zet chaquej∈Non noteAi,j l’ensemble [i−j, i+j] des entiers relatifs compris entrei−j et i+j;
D´eterminer les sous-ensemblesU etV suivants de Z:
U =\
i∈Z
[
j∈N
Ai,j V =[
i∈Z
\
j∈N
Ai,j
Exercice14 :On note pour chaque entier natureln,Xn={n} etYn={p∈N; p≥n}.
(a) Donner une description de l’ensemble Q
n∈N
Xn, produit de la famille (Xn)n∈N. (b) Donner trois ´el´ements distincts de l’ensembe Q
n∈N
Yn, produit de la famille (Yn)n∈N.
