1
K S
D A
C B
L ES SOLIDES DE L ’ ESPACE
L ’ ESPACE
LES POLYEDRES
Un polyèdre est un solide limité uniquement par des portions de plans, appelées « faces ». Les segments délimitant les faces sont appelés les arêtes. Les faces d’un polyèdre sont des polygones.
D S
E F
A B
H C
PYRAMIDE
Une pyramide est un polyèdre dont les faces latérales sont des
triangles ayant un sommet en commun : le sommet de la pyramide.
La base de la pyramide est un polygone quelconque.
Exemples :
La pyramide SABCDEF : sa base est le polygone ABCDEF, son sommet est le point S, sa hauteur est SH (la distance de S au «sol » ), H est le projeté orthogonal de S sur le plan contenant le polygone de base.
RETENIR : LE VOLUME DE LA PYRAMIDE =AIRE DE LA BASE LA HAUTEUR
3
L’aire latérale d’une pyramide est la somme des aires des faces latérales.
PYRAMIDE REGULIERE :
Une pyramide régulière est une pyramide qui a pour base un polygone régulier (c’est à dire avec ses côtés de même longueur et des angles au centre égaux, ex : triangle équilatéral, carré), de plus, le pied de la hauteur est au centre du polygone de base.
Les faces latérales d’une pyramide régulière sont donc des triangles isocèles.
Vocabulaire : dans les faces latérales, la hauteur d’un triangle s’appelle l’apothème, exemple SK.
2 LES PRISMES
Un prisme est un polyèdre dont deux faces sont des polygones identiques et situés dans des plans parallèles.
Ces deux polygones s’appellent les bases du prisme.
Les autres faces, les faces latérales, sont toujours des parallélogrammes.
La hauteur du prisme est la distance entre les deux polygones de base.
PRISME DROIT
Un prisme droit est un prisme dont les arêtes des faces latérales sont perpendiculaires aux plans des bases. Les faces latérales d’un prisme droit sont donc des rectangles.
RETENIR : LE VOLUME D’UN PRISME = AIRE DE LA BASE HAUTEUR
L’AIRE LATERALE D’UN PRISME = PERIMETRE DE LA BASE LA HAUTEUR
PARALLELEPIPEDE RECTANGLE
Un parallélépipède rectangle a toutes ses faces rectangles. 𝑉 = 𝐿 × 𝑙 × ℎ
CUBE
Un cube a toutes ses faces carrées.
𝑉 = 𝑐3
3
L ES SOLIDES DE REVOLUTION
S
K H
CONE DE REVOLUTION
Un cône de révolution est un solide engendré par la rotation d’un triangle rectangle autour d’un axe portant un côté de l’angle droit du triangle.
RETENIR : LE VOLUME =AIRE DE LA BASE HAUTEUR
3
V = r2h
3 r : rayon du disque de base
Vocabulaire : on appelle génératrice, l’hypoténuse du triangle rectangle qui engendre le cône, SK est une génératrice dans le cône ci – contre.
CYLINDRE DE REVOLUTION
Un cylindre de révolution est un solide engendré par la rotation d’un rectangle autour d’un axe portant un côté du rectangle. La base du cylindre est un disque.
RETENIR : LE VOLUME = AIRE DE LA BASE LA HAUTEUR
V = r2h r : rayon du disque de base l’aire latérale = 2rh
SPHERE
Une sphère est un solide engendré par la rotation d’un demi – cercle autour d’un axe portant le diamètre du demi – cercle.
Autre définition :
La sphère de centre A et de rayon r est l’ensemble de tous les points de l’espace situés à la distance r du point A.
Le volume d’une sphère = 4
3 r3 L’aire d’une sphère : 4 r2
Ne pas confondre sphère et boule.
𝐋𝐞 𝐯𝐨𝐥𝐮𝐦𝐞 𝐝′𝐮𝐧𝐞 𝐛𝐨𝐮𝐥𝐞 ∶ 𝟒
𝟑𝝅𝒓𝟑 𝐋′𝐚𝐢𝐫𝐞 𝐝′𝐮𝐧𝐞 𝐬𝐩𝐡è𝐫𝐞 ∶ 𝟒𝝅𝒓𝟐 h
r
4
La section d'un cylindre de rayon R par un plan (P) perpendiculaire à l'axe est un ………. dont le centre appartient à l'axe.
La section d'un cylindre par un plan (P) parallèle à l'axe est un ………
……….
SECTIONS D'UN PAVE DROIT PAR UN PLAN
Le plan P est parallèle à la face ABCD. Le plan P est parallèle à l’arête [BC].
IJKL est ………. IJKL est ………..
SECTIONS D'UN CYLINDRE PAR UN PLAN
P
R
R P
La section d'un pavé droit par un plan (P) parallèle à une face est ………...
………..
La section d'un pavé droit par un plan (P) parallèle à une arête est ………..
P I
J
K L
A
B
C D
P I
J
K L
B
C P
I
J
K
5
A GRANDISSEMENT / R EDUCTION
1) DEFINITIONET VOCABULAIRE :
⇒ On appelle agrandissement ou réduction d’une figure, la figure obtenue en multipliant toutes les longueurs de la figure initiale par un nombre strictement positif 𝒌.
Le nombre 𝑘 est appelé rapport d’agrandissement ou de réduction.
Si 𝒌 > 𝟏, il s’agit d’un agrandissement.
Si 𝟎 < 𝒌 < 𝟏, il s’agit d’une réduction.
⇒ REMARQUES :
• Le rapport d’agrandissement ou de réduction s’appelle aussi coefficient d’agrandissement ou de réduction.
• Lorsque l’on multiplie toutes les longueurs d’une figure par 1, c’est-à-dire lorsque 𝑘 = 1, la figure obtenue est de la même grandeur que la figure initiale.
• Pour agrandir ou réduire une figure, on multiplie par 𝑘 toutes ses longueurs : celles des ses côtés, mais aussi celles de ses diagonales, son périmètre, …
Le deuxième triangle est un agrandissement du premier. Les longueurs ont été multipliées par 1,5.
Le coefficient d’agrandissement est égal à 1,5.
Le deuxième triangle est une réduction du premier. Les longueurs ont été divisées par 2, mais on préfère dire qu’elles sont multipliées par 1
2.
Le coefficient de réduction est égal à 𝟏
𝟐 ou 0,5.
6
⇒ Pour calculer le coefficient 𝑘 :
𝒄𝒐𝒆𝒇𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕 𝒅′𝒂𝒈𝒓𝒂𝒏𝒅𝒊𝒔𝒔𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕 =𝒍𝒐𝒏𝒈𝒖𝒆𝒖𝒓 𝒂𝒈𝒓𝒂𝒏𝒅𝒊𝒆 𝒍𝒐𝒏𝒈𝒖𝒆𝒖𝒓 𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒂𝒍𝒆 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕 𝒅𝒆 𝒓é𝒅𝒖𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 = 𝒍𝒐𝒏𝒈𝒖𝒆𝒖𝒓 𝒓é𝒅𝒖𝒊𝒕𝒆
𝒍𝒐𝒏𝒈𝒖𝒆𝒖𝒓 𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒂𝒍𝒆
• dans le premier exemple :
𝑘 =4,5 3 =6
4=7,5 1,5= 1,5
• dans le deuxième exemple :
𝑘 =2 4=3
6=4 8=1
2
2) PROPRIETE (ADMISE) :
Dans un agrandissement ou une réduction, les mesures des angles sont conservées.
REMARQUE :
• Les angles des deux premiers triangles dans l’exemple du paragraphe 1 sont égaux. Même chose pour les deux triangles suivants.
• Dans un agrandissement ou une réduction de rapport 𝑘, la figure obtenue est une figure à l’échelle 𝑘 de la figure de départ.
• Ainsi, les longueurs de la figure obtenue sont proportionnelles aux longueurs correspondantes de la figure de départ. Le coefficient de proportionnalité est égal à 𝑘.
3) EFFET SUR LES AIRES
⇒ Quand on agrandit une figure, l’aire augmente, mais pas de la même façon que les longueurs.
Dans l'exemple ci-dessous, il est évident que le deuxième rectangle est un agrandissement du premier de coefficient 3.
L’aire du premier rectangle est de 2 cm² et l’aire du deuxième est de 18 cm².
L’aire du rectangle agrandi a été multipliée par 9 !!!
⇒ En effet, chacune des deux dimensions du petit rectangle est multipliée par 3. Son aire, qui est le produit des deux dimensions, est donc multipliée par 3 × 3 c’est-à-dire 9.
7 PROPRIETE
4) EFFET SUR LES VOLUMES
⇒ Quand on agrandit une figure, le volume augmente également, mais pas de la même façon que les longueurs. Dans l'exemple ci-dessous, il est évident que le deuxième cube est un agrandissement du premier de coefficient 3.
Le volume du premier cube est de 1 cm3 et le volume du deuxième est de 27 cm3. Le volume du cube agrandi a été multiplié par 27 !!!
⇒ En effet, chacune des trois dimensions du petit cube est multipliée par 3. Son volume, qui est le produit des trois dimensions, est donc multipliée par 3 × 3 × 3 c’est-à-dire 27.
PROPRIETE
5) RESUME
Soit un agrandissement (ou une réduction) de coefficient k :
Les longueurs sont multipliées par 𝒌 → L’ = 𝒌 × L Les aires sont multipliées par 𝒌𝟐 → A’ = 𝒌𝟐 A
Les volumes sont multipliés par 𝒌𝟑 → V’ = 𝒌𝟑 V
8 6) APPLICATIONS
a) La maquette d’une maison a une hauteur de 30 cm, une surface au sol d’aire 1,2 m² et un
volume de 0,3 m
3. La maison réelle est un agrandissement de la maquette.
Le coefficient d’agrandissement est 10.
Calculer la hauteur réelle H, l’aire A de la surface réelle au sol et le volume réel V.
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
b)
Un objet a une hauteur de 2 m et un volume V égal à 120 dm
3.
Un autre objet est une réduction du premier. Sa hauteur est égale à 1,60 m.
Déterminer le coefficient de réduction, ainsi que le volume V’ de cet autre objet.
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
c)
Un rectangle a une aire A de 12 cm² et les diagonales de longueur 5 cm.
On réalise un agrandissement de ce rectangle de façon que les diagonales aient une longueur égale à 8 cm.
Calculer le coefficient d’agrandissement, ainsi que l’aire A’ du grand rectangle.
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
9 S
SECTION D'UNE PYRAMIDE ET D'UN CONE
1) LA PYRAMIDE
La section d'une pyramide par un plan parallèle à la base est un polygone qui est une ……… du polygone de base.
2) LE CONE
La section d'un cône de révolution par un plan parallèle à la base est ……… qui est une réduction du disque de base.
T
P
S
O
Le cône de sommet S et de base le disque de diamètre [A’B’] est une réduction du cône de sommet S et de base le disque de diamètre [AB].
De même, la grand cône est l’agrandissement du petit cône dans le rapport :
A
A' B'
B
La pyramide SIJKL est une ………. de la pyramide SABCD.
De même, la grande pyramide est un
……… de la petite pyramide.
Le coefficient de réduction est 𝑘 = ………….………..
Le cône de sommet S et de base le disque de diamètre [A’B’]
est une ……….. du cône de sommet S et de base le disque de diamètre [AB].
De même, le grand cône est un ……… du petit cône.
Le coefficient de réduction est 𝑘 = ………
10
S
A' A O'
O
THEOREME A UTILISER LORSQU’ON VEUT CALCULER UN VOLUME D’UNE REDUCTION…
Si on coupe une pyramide, ou un cône par un plan parallèle à la base, on obtient une réduction de la pyramide ou du cône, et la section obtenue est une réduction de la base.
EXEMPLE :
On a représenté un cône et une section parallèle à la base.
SO = 72 cm et SO’ = 36 cm. Le rayon [O’A’] de la section mesure 24 cm.
1. Calcule le rayon OA de la base du cône.
2. Calcule le volume V1 du grand cône, puis le volume V2 du petit cône.
