RAPPELS DE
THERMODYNAMIQUE
PAR
Jean-Pierre DEVAUX Catherine DEVAUX
Professeur de Turbomachines Professeur de Turbomachines
© 2017, Jean-Pierre et Catherine DEVAUX Edition au 01/09/2017
Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction, par tous procédés, y compris la photographie et le microfilm
réservés pour tous pays.
PLAN GENERAL DU CHAPITRE
AVANT-PROPOS ET NOTATIONS
1. EQUATION D’ETAT DES GAZ PARFAITS
2. PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE 3. SECOND PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE 4. THERMODYNAMIQUE MONODIMENSIONNELLE 5. ANALYSE DES PERTES INTERNES
6. THEOREME DES QUANTITES DE MOUVEMENT
7. THERMODYNAMIQUE DES MELANGES DE GAZ REELS 8. MODELISATION DE LA COMBUSTION
ANNEXE :
1. BIBLIOGRAPHIE
AVANT-PROPOS
Le but de ce rappel n'est pas de rentrer dans le détail des lois de la thermodynamique, de la chimie ou de la mécanique rappelées ici, mais de fournir les outils et principes de base des modèles qui seront utilisés dans l’ensemble du cours.
Les démonstrations sont donc volontairement limitées : pour en avoir les détails, des renvois à des documents de référence sont fournis.
NOTATIONS
Dans tout le cours, les notations suivantes seront adoptées pour les grandeurs thermodynamiques.
La plupart des unités sont des unités du système international (système SI). L'aéronautique se distingue toutefois par l'emploi de certaines unités anglo-saxonnes, l'équivalence entre les unités SI et les unités anglo-saxonnes les plus couramment utilisées étant fournie en annexe 1 du Mémento.
Le degré de précision associé à chacune de ces grandeurs thermodynamiques est récapitulé en annexe 2 du Mémento.
m : masse d'air (kg) Da : débit d'air (kg/s)
D : débit de gaz, somme du débit d’air et du débit de carburant (kg/s) Dc : débit de carburant, produit de la richesse par le débit d’air (kg/s) Dr : débit réduit
Drs : débit réduit statique Drc : débit corrigé (kg/s)
P : pression totale, d’arrêt ou d’impact (Pa) Ps : pression statique (Pa)
T : température totale, d’arrêt ou d’impact (K) Ts : température statique (K)
V : vitesse (m/s) M : nombre de Mach
: masse volumique (kg/m3)
: volume (m3)
H : enthalpie massique (J/kg) Hr : enthalpie massique réduite (K) S : entropie massique (J/(kg . K)) Dyn : dynalpie (N)
U : énergie interne (J) E : énergie totale (J) Q : quantité de chaleur (J)
: travail (J) W : puissance (W)
: rendement
Cp : capacité calorifique massique à pression constante (J/(kg . K)) Cv : capacité calorifique massique à volume constant (J/(kg . K)) R : constante universelle des gaz parfaits (J/(kg . K))
: rapport Cp/Cv (adimensionnel)
: richesse ou viciation de l'air : débit de carburant rapporté au débit d'air t : temps (s)
A : section (m²)
1 - EQUATION D’ETAT DES GAZ PARFAITS
C’est la relation qui lie la pression statique (Ps), le volume () et la température statique (Ts) d’un gaz, R étant la constante universelle des gaz parfaits. Pour l’unité de masse, c’est-à-dire m = 1 kg, la masse molaire de l’air étant égale à 28,967 g/mol (voir chapitre 8), l’équation d’état des gaz parfaits s’écrit sous la forme :
Ps Ps
R Ts (1)
avec : R = 287,04 J/(kg . K) = 8,3145 J/(mol . K) 2 cal/(mol . K)
Bien que cette relation ne soit valable que pour les gaz parfaits, nous l’appliquerons tout au long de ce cours au gaz réels tels que l’air.
Nous appellerons condition normale de température et de pression, le point défini par : Ps = 101325 Pa et : Ts = 273,15 K
Cette condition est la condition de référence en thermodynamique et en chimie. L'aéronautique, pour des raisons historiques, lui préfère la condition moyenne de température et de pression en climat tempéré, dite condition standard ou condition ISA (International Standard Atmosphere) :
Ps = 101325 Pa et : Ts = 288,15 K
2 - PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE
2.1 Enoncé du premier principe
C’est le principe de l’énergie. Il énonce l'équivalence de la chaleur Q et du travail , et précise que la variation d'énergie d'un système lors d’une transformation ne dépend pas de la nature de cette transformation, mais des états initial et final associés.
On peut grâce à ce principe, définir une fonction d'état E, énergie totale, qui décrit le niveau énergétique du système thermodynamique étudié. Ce premier principe ne s'applique qu'à un système où la masse m est conservée.
Le premier principe transformé en équation donne : dE = Q (2) expression dans laquelle dE est une différentielle totale exacte (dE en tant que fonction d’état ne dépend pas du chemin suivi pour aller de l’état initial 1 à l’état final 2), alors que Q et ne le sont pas en général.
D’où : E - E = Q2 1 12 12
Q12 et 12 étant l’ensemble des quantités de chaleur et de travail échangées entre le système et l’extérieur pour passer de l’état 1 à l’état 2. Elles dépendent du chemin parcouru.
L'énergie totale E est la somme de l'énergie interne U des particules de gaz (agitation moléculaire) et de l'énergie cinétique résultant du mouvement d'ensemble du système, soit :
E = U + 1
2 m V2 (3)
d’où : dE=d U+mVdV (4)
Pour une transformation (cycle) fermée et réversible, puisque dE = 0, on a :
Q=0 (4b)
2.2 Application du premier principe
Regardons l'application du premier principe au cas de la compression et de la détente adiabatique.
Pour ce faire, il faut considérer en premier lieu un piston mobile à parois adiabatiques (voir figure 1) dont le mouvement est lent et réversible. Compte tenu du fait que l’échange de chaleur Q est nul, l'expression du travail
est la suivante, où Ps est la pression interne du gaz :
Ps L dx = - Ps d (5) D'où l'expression finale du travail :
= - Ps d
1
2
(6)L Ps
dx Ps
état 1 état 2
Figure 1
Pour une turbomachine, il faut considérer un flux d'air et donc intégrer le passage d'un débit (voir figures 2 et 3). Le raisonnement doit donc se faire par étapes :
. phase aA : aspiration de la masse m de gaz occupant le volume 1 sous la pression Ps1, les forces extérieures exerçant un travail (Ps1 . 1),
. phase AB : compression de Ps1 à Ps2 dans laquelle le fluide reçoit le travail -
Ps d
1
2
. phase Bb : refoulement de la masse m pour occuper le volume 2 sous la pression Ps2, les forces extérieures exerçant un travail résistant - (Ps2 . 2).
1
2
m m
t
Ps1 Ps1 m Ps2
Ps2
Ps
Ps2
2
A B
Ps1
1 a
b
DIAGRAMME DE CLAPEYRON
t
Figure 2 Figure 3
t étant le travail fourni par l’arbre d’entraînement, d’où :
(Ps1 ) (Ps2 ) Ps d
1
t
2 (7)
t qui est le travail avec transvasement, est donc défini par : t
12 dPset pour une masse unité (m = 1 kg), on aura : t dPs
= 1 2
(8)Le terme ( - t ) est quant à lui défini comme le travail de transvasement.
La notion de travail avec transvasement t est ce qui convient le mieux pour exprimer que le fluide est transféré d'un lieu 1 à un lieu 2 avec un apport de travail.
La notion de travail reste liée soit au volume, soit à la masse, grandeurs toutes deux délicates à manier en présence d'un flux d'air. En dérivant par rapport au temps, on obtient d'un coté de l'équation une puissance, de l'autre coté un débit.
L'équation précédente peut alors s'écrire comme suit :
W D dPs
t tt
1 2(9)
où Wt est la puissance avec transvasement et D m
t .
2.3 Capacités calorifiques massiques : évolutions à volume ou pression constante Evolution à volume constant : définition de la capacité calorifique massique Cv
Pour une évolution à volume constant (1 = 2), le travail est nul ( = 0) et les équations précédentes permettent d’écrire :
Qv = U2 - U1 Qv étant la chaleur d'évolution à volume constant.
On définit la capacité calorifique massique à volume constant Cv pour U correspondant à l’unité de masse par :
Cv ste
Qv
Ts Ts ste
c c
U
(10)
Evolution à pression statique constante : définition de la capacité calorifique massique Cp Pour une évolution à pression statique constante (Ps = Ps), la variation d’énergie interne s’écrit sous la forme :
U - U = Qp + = Qp - [Ps . ( -
d’où : Qp = [U + (Ps . - [U + (Ps .
Qp étant la chaleur d'évolution à pression statique constante.
On définit la capacité calorifique massique à pression statique constante Cp comme suit :
Cp ste
Qp
Ts
Ps c
(11)
L'air étant un gaz complexe non parfait, Cp dépend de la température statique Ts et de la viciation de l’air (voir annexe 3 du Mémento).
Propriétés des chaleurs spécifiques Cp et Cv
La relation de Mayer s’applique pour les gaz parfaits et les gaz "semi parfaits" comme l'air :
Cp Cv R (12)
et en posant : Cp
Cv on obtient : Cp R
1 et : Cv R
1 (13)
La fonction dépend comme le Cp de la température statique Ts. Cette fonction étant couramment utilisée dans les calculs de thermodynamique, l’annexe 4 du Mémento présente son évolution en fonction de la température, qu’elle soit statique en gaz réel ou totale si l’on veut dans un premier temps simplifier les calculs, et de la viciation de l’air .
2.4 Définition de l’énergie interne U, de l'enthalpie H et de la température totale T Evolution à volume constant : définition de l’énergie interne U
Pour une évolution à volume constant, le paragraphe précédent a montré que : Qv = U2 - U1
d’où : dQv = dU = Cv . dTs
et donc l’énergie interne U : UCv Ts pour un gaz parfait,
(14)
et : U
0TsCv dTs pour un gaz réel.Evolution à pression statique constante : définition de l’enthalpie massique statique H(Ts, ) Pour une évolution à pression statique constante, le paragraphe précédent a montré que :
Qp = [U + (Ps . - [U + (Ps .
On constate alors que la quantité de chaleur reçue Qp peut s'exprimer à partir d'une fonction d'état que l’on appellera enthalpie massique statique H(Ts,). Nous ne nous intéresserons dans tout le cours qu'à des enthalpies massiques. La fonction considérée sera donc définie par :
H Ts( , ) U(Ps) (15) En prenant en compte la loi des gaz parfaits (1), la définition de U et la relation de Mayer, on a :
Ps
U
R Ts
Cv Ts
R Ts
Cp Ts U) , Ts (
H
D’où : H Ts( , ) Cp Ts pour un gaz parfait,
(16)
et : H Ts( , )
0TsCp dTs pour un gaz réel.L’enthalpie massique H étant couramment utilisée dans les calculs de thermodynamique, l’annexe 5 du Mémento présente son évolution en fonction de la température statique Ts et de la viciation de l’air , au travers de l’enthalpie massique réduite Hr, enthalpie rapportée à la constante des gaz parfaits R.
Evolution à pression statique constante : définition de l’enthalpie massique totale H(T,) Pour les systèmes animés d’une vitesse V, il faut intégrer l'énergie cinétique. L'enthalpie massique totale est alors définie à partir de l’enthalpie massique statique H(Ts,) de la manière suivante :
H T, H Ts V
( ) ( , )
2
2 (17)
L’enthalpie massique totale H(T,) se calcule de la même manière que l’enthalpie massique statique H(Ts,), la température de calcul étant alors la température totale T (voir annexe 5 du Mémento).
2.5 Application du premier principe aux écoulements permanents
L'application du premier principe à un écoulement permanent échangeant du travail et de la chaleur avec l’extérieur donne :
E E U V
U V
2 1 2 22 Q
1 12 12
12
2 2
En passant au débit l’équation précédente et l’équation (7), on a :
Q
D Q
W 2 DU V 2 U V D
2 1 1 2
2 2
et : WT W
Ps2 2
Ps11
Det en utilisant l’équation (17), on a :
2 Ps V
U ,
T
H 2
d’où : D
H
T2,2
H
T1,1
DQ
Wt (18)avec : . Q t Q m
D = puissance de quantité de chaleur.
Appliquons maintenant cette relation aux turbomachines :
- pour les compresseurs et les turbines adiabatiques : Q = 0. Dés lors, l'équation (18) se résume à :
D H T 2,2 H T1,1 Wt
Autrement dit, dans un compresseur ou une turbine, il n'y a que des échanges de travaux entre le fluide et le système extérieur et, dans une turbine, Wt est négatif.
- pour les échangeurs thermiques ou les chambres de combustion, il n'y a aucun travail
échangé et la variation d'enthalpie se résume à la variation de puissance de chaleur, d’où :
H T , H T,
D QD 2 2 1 1
- pour les tuyères ou les manches d’entrée d’air où il n'y a ni échange de chaleur, ni échange de travail, la variation d'enthalpie est nulle, d’où :
H T2,2 H T1,1
3 - SECOND PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE
"Nous distinguons dans l’univers différentes formes d’énergie : potentielle, cinétique, thermique, massique, etc. On peut les associer aux forces correspondantes : il y a l’énergie nucléaire, l’énergie gravitationnelle et l’énergie électromagnétique. Les énergies peuvent changer de forme. Une centrale thermique transforme de l’énergie chimique (le pétrole) en énergie électrique (courants électriques). Un radiateur change cette énergie électromagnétique en chaleur. La somme des quantités d’énergies reste constante. Le premier principe de la thermodynamique en assure la compatibilité.
Ces énergies n’ont pas toutes la même qualité. L’énergie électrique est de meilleure qualité que l’énergie thermique. On peut transformer entièrement une quantité d’énergie électrique en chaleur : c’est le cas du chauffage électrique. On ne peut pas changer toute l’énergie thermique en énergie électrique ; une partie de l’énergie repart en chaleur. Ces modalités de transformation des énergies sont dictées par le second principe de la thermodynamique.
Au palmarès de la qualité, la première place revient à l’énergie gravitationnelle. Projetée dans une turbine, l’eau d’un barrage transforme son énergie gravitationnelle en électricité. Plus tard, on en fera du mouvement dans un moteur électrique, ou de la chaleur dans un radiateur. Tout au long de ces transformations, l’énergie se dégrade, ou, en d’autres termes, son entropie augmente. " [3]
3.1 Fonction entropie S
Appliquons le premier principe à une transformation réversible sur un piston, transformation réalisée à volume constant. On obtient l'équation suivante à partir des équations (2) et (5) :
Q + = dU = Cv . dTs = (Cp - R) . dTs avec : = -Ps . d = 0 à volume constant.
On introduit la fonction d'état S(Ts,), appelée entropie, définie par :
QTsdS(Ts,) et donc :
S Ts S Ts Q
( 2, 2) ( 1, )1 Ts
1
2
S T
Ts2
Ts1
Q
S1 S2
iso-Ps
Pour une transformation réversible, la valeur Q
Ts ne dépend que de l'état initial 1 et de l'état final 2.
Comme dTs Ts
dPs
Ps à volume constant, l’équation Q = (Cp - R) . dTs s’écrit :
Q Ts
Cp dTs
Ts R dPs
Ps
12 1
2 1
2
En intégrant, on obtient : Q Ts
Cp dTs
Ts R Ln Ps
Ps
1 212 1
2
Dans le cas d'un gaz parfait, cette fonction s'écrit : S Ts Ln Ts Ps
Cp
( , ) R
(19) Dans le cas d'un gaz réel, cette fonction s'écrit : S Ts Cp dTs
Ts Ln Ps
Ts R
( , ) ( )
03.2 Deuxième principe de la thermodynamique
Le deuxième principe exprime l'irréversibilité des processus thermodynamiques dans un système fermé. Il indique que dans un système, il existe une fonction d'état appelée entropie (S) qui vérifie systématiquement :
S Ts S Ts Q
( 2, 2) ( 1, )1 Ts
1
2
(20)et on aura : Ts dS Ts ( , ) Q (21)
où est l’énergie dissipée par les irréversibilités : elle est toujours de signe positif.
Dans le cas des gaz et des fluides, est principalement liée aux pertes d'énergie générées par la viscosité du gaz ou du fluide.
La première conséquence du deuxième principe de la thermodynamique est que l'entropie d'un système isolé ne peut que croître : elle reste constante en l'absence d'irréversibilités.
3.3 Application du deuxième principe de la thermodynamique
En reprenant les équations (2), (3) et (8) du premier principe appliquées à une transformation gazeuse réversible se déroulant à vitesse négligeable et en dérivant l’équation (15), on obtient :
dH Ts( , ) dU d Ps ( ) Qd Ps( )
Q Ps d Ps d dPs Q dPs
( ) ( ) ( )
d’où : dH Ts( , ) Qt (22)
Or dans une transformation réversible : Q = Ts . dS(Ts,)
d’où : dH Ts Ts dS Ts dPs
( , ) [ ( , )]
(23)
Nous obtenons donc la relation :
d’où :
Q Ts dS Ts dPs
t [ ( , )] (24)
Appliquons maintenant le deuxième principe à l’équation (24) :
Q Ts dS Ts Ts dS Ts dPs
t t
[ ( , )] [ ( , )]
d’où :
t
dPs
et donc : dPs ( t ) (25)
Nous constatons alors que :
- l'apport de travail t se traduit nécessairement par une augmentation de la pression : nous verrons que c'est là le rôle des compresseurs. Par opposition, "prendre" du travail se traduit par une perte de pression, notamment dans les turbines,
- les irréversibilités se traduisent par une chute de pression : ce phénomène est caractérisé par les pertes de charge dans les composants qui s’effectuent sans échange de travail.
3.4 Diagramme entropique
Pour visualiser un cycle thermodynamique, deux types de représentation peuvent être choisies : - une représentation volume/pression (diagramme de Clapeyron) qui permet une
visualisation du travail échangé. Cependant, cette représentation est mal adaptée aux
turbomachines pour lesquelles la notion de volume a un sens limité compte tenu des flux d'air qui circulent,
- une représentation enthalpie/entropie (diagramme de Mollier) qui permet de visualiser d'une part le niveau d'énergie, d'autre part les irréversibilités : c'est ce type de schéma qui sera retenu pour les turbomachines. Dans la pratique, l'enthalpie est remplacée par la température, cette dernière étant strictement équivalente, compte tenu des relations mentionnées ci-dessus.
Sur ce diagramme (voir figure 4), plusieurs types de courbe se distinguent :
- les isothermes, courbes à température constante définies par : T = T0
- les isentropes, courbes à entropie constante définies par : S = S0
- les isobares, courbes à pression totale constante définies par : P = P0
et dans le diagramme isentropique :
T T e
S S
Cp
0
0
T
S iso-T
iso-P
iso-S
Figure 4 L’application au cycle d’un moteur comprenant un compresseur (P0 à P3 d’où T0 à T3), une chambre de combustion (T3 à T4) et une turbine (P4 à P5 d’où T4 à T5), est la suivante lorsque le cycle ne comporte aucune perte (voir figure 5a) :
S T
T
0T
4T
5iso-P
0S
3= S
0, P
4= P
3et S
5= S
4iso-P
3iso-P
5T
3S
0S
4
C
TT
Chambre= T
4- T
3Figure 5a
Lorsque le cycle comporte des pertes (voir figure 5b), il y a augmentation de l’entropie entre chaque plan :
S T
T
0T
4T
5cycle sans perte :
S
3= S
0 etS
5= S
4 cycle avec pertes :S
3'> S
0 etS
5'> S
4'> S
4iso-P
3T
3S
3S
3'S
4S
4'S
5'T
3’P
3’T
5’iso-P
5iso-P
0P
5’Figure 5b
4 - THERMODYNAMIQUE MONODIMENSIONNELLE
Comme on l'a vu au paragraphe 2.4, il existe deux types de grandeurs :
- les grandeurs statiques (Ts, Ps) qui ne prennent en compte que l'énergie interne du fluide, - les grandeurs totales ou d'arrêt ou d’impact ou isentropiques (T, P) qui intègrent l'énergie
cinétique en plus de l’énergie interne du fluide.
Le passage de l'une à l'autre se fait par une transformation isentropique puisqu'il n'y a ni échange de travail, ni échange de chaleur.
C'est pourquoi les valeurs dites totales ou d’arrêt ou d’impact, sont également appelées grandeurs isentropiques.
4.1 Températures statique et totale Cas des gaz réels
Comme nous l’avons vu avec l’équation (17) :
H T, H Ts V
Cp dTs V
Cp dT)
Ts T
( ) ( , ) 2
0 ( )
( 2
2 2 0
Notons alors que d’après la premier principe de la thermodynamique, si le système ne reçoit ni chaleur, ni travail, alors l'enthalpie totale est conservée. On en déduit que H(T,) reste constante.
En résumé, dans une transformation où ni travail, ni chaleur ne sont échangés, alors la température totale est conservée, puisque H(T,) ne dépend que de la température et de la viciation.
Cette fonction étant couramment utilisée dans les calculs de thermodynamique, l’annexe 5 du Mémento présente l’évolution de cette fonction pour différentes valeurs de température et de richesse.
Cas des gaz parfaits
Dans le cas des gaz parfaits, l’équation (17) s’écrit sous la forme :
H T, H Ts V
Cp Ts V
Cp T ( ) ( , ) 2 ( ) 2
2 2
d’où la formulation de la température totale T définie par : T Ts V
Cp
2
2
et en utilisant l'équation (13) et la définition du Mach : V M R Ts (26) on arrive à la relation suivante, fondamentale pour un gaz parfait :
T
Ts M
1 1
2
2
(27) Cette fonction étant couramment utilisée dans les calculs de thermodynamique, l’annexe 8 du Mémento présentent l’évolution de cette fonction pour différentes valeurs de Mach et de .
4.2 Pressions statique et totale Cas des gaz réels
Pour calculer la pression totale associée à une température totale, il faut considérer la transformation isentropique entre l'état "statique" et l'état "total". Comme cette transformation est isentropique, on aura : S(T,) = S(Ts,), ce que l'on peut encore écrire comme suit :
Cp dT
T Ln P Cp dTs
Ts Ln Ps
T R Ts
R
0 ( )
0 ( )D'où la formule permettant de calculer la pression totale à partir de la statique : P
Ps
dH T R T
Ts T
10 ( , )
Cette formule sera utilisée plus simplement sous la forme suivante :
P Ps
T Ts
10 ( , )( , ) (28)
avec : ( , ) ( , )
T dH T
R T
T
0 Il convient de noter que dans une transformation où ni travail, ni chaleur ne sont échangés, il n'y a pas forcément conservation de la pression totale. En effet, comme nous l’avons vu au paragraphe 3, le second principe de la thermodynamique introduit des pertes. La pression totale reste constante si et seulement si le processus est isentropique. Ce sujet sera développé dans le paragraphe 5.
Les tables donnant les différentes valeurs de T, en fonction de la température et de la viciation de l’air sont données dans l'annexe 6 du Mémento.
Cas des gaz parfaits
En reprenant les équations listées ci-dessus, on en arrive à la formule simplifiée suivante pour ce qui concerne la pression (voir annexe 8 du Mémento) :
1 2 1
M +
Ts 1
= T Ps
P
(29)
4.3 Débit réduit Dr
Partant de la loi des gaz parfaits (1) et de l’équation du Mach (26), le débit peut s’écrire sous la forme suivante lorsque et V sont connus ou Ps, Ts et M sont connus :
D A V Ps A M
R Ts
(30)
Or, en réécrivant le débit sous la forme D T Ps A
, cette grandeur ne dépend que du Mach et de .
C’est le débit réduit statique :
Drs M R
T Ts M
R M
1 1
2
2 (31)
En étendant cette notion aux grandeurs totales et en supposant que reste sensiblement constant entre Ts et T, nous arrivons à l'équation suivante :
Dr D T
P A
Ps
P M Ts
R T
Ts M T)
R M
( ) (
² ( )
1 1
2
1
2 1
(32)
La grandeur définie par D T P A
est appelée débit réduit Dr et ne dépend aussi que du Mach et de .
Ces deux fonctions étant couramment utilisées dans les calculs de thermodynamique, l’annexe 7 du Mémento présente leur évolution pour différentes valeurs de Mach et de .
L’évolution du débit réduit Dr présentée dans cette annexe, fait ressortir deux propriétés qui seront particulièrement utiles dans le calcul des cycles :
- Dr passe par un maximum pour un Mach égal à 1. La valeur du maximum ne dépend alors que de ,
- en théorie, Dr dépend donc de En pratique, comme le montre la figure en annexe 7 du Mémento, il y a quasi indépendance pour les Mach subsoniques et faiblement supersoniques, ce qui permettra de l'utiliser dans le chapitre 2 relatif au "Calcul du cycle d’adaptation" pour les calculs de cols soniques (turbine, tuyère).
5 - ANALYSE DES PERTES INTERNES
Nous avons vu que le deuxième principe de la thermodynamique introduisait de manière complexe la notion de pertes : il s'agit de transformer ce principe en une modélisation simplifiée applicable aux processus thermodynamiques des turbomachines. Nous en profiterons pour :
- examiner l'influence des échanges de chaleur et de travail dans ces processus, - examiner l'influence des pertes internes sur la pression totale,
- définir les notions de rendements des processus de compression et de détente.
5.1 Variation de la pression totale
En reprenant les équations issues des deux principes de la thermodynamique, on arrive à l'équation suivante :
dH Ts Ts dS Ts dPs
Ts dS Ts R Ts dPs ( , ) [ ( , )] [ ( , )] Ps
avec : Ts dS Ts ( , ) (Q)
En utilisant les relations entre grandeurs totale et statique, et sachant que dS(T,) = dS(Ts,), on arrive à la relation suivante :
dH T, T dS T, R T dP
P Q
( ) [ ( )]
d'où la relation : dP
P R T
Q
R Ts T R Ts
1 1
que l'on peut transformer en : dP
P R T
Q
R T M
R Ts
( 1)
2
2 (33)
A partir de ces équations, on peut faire les constats suivants :
- l'apport de travail accroît la pression totale : c'est le rôle du compresseur comme on l'a vu au paragraphe 3.3 (équation (25)). Dans le cas d'une turbine, la fourniture de travail se traduit par une perte de pression totale,
- l'apport de chaleur Q se traduit par une baisse de la pression totale. C'est un phénomène que nous verrons dans les chambres de combustion où l'allumage de la chambre se traduit par une augmentation immédiate des pertes de charge,
- les pertes internes résultant de l'expression du deuxième principe se traduisent systématiquement par des pertes de charge sur la pression totale. Ces pertes se rajoutent aux pertes ou gains énoncés précédemment.
D'une manière générale, les variations de pression totale se combinent. Il faut donc essayer de les modéliser simplement pour faciliter le calcul.
5.2 Compression et détente réelles
Considérons une compression réelle adiabatique qui fait passer l'air d'un état 1 à un état 2. Dans le diagramme entropique, cette compression est matérialisée par le chemin A-B (voir figure 6).
Le calcul du travail des forces de viscosité est le suivant :
A Ts dS Ts B ( , )
Pour aller de A à B, plusieurs chemins sont possibles :
1. A à A' : compression isentropique (S constante),
puis,
A' à B : augmentation de la tempé- rature sur une isobare,
2. A à B : compression réelle.
S
T
Ts
Ts2is
b a
c
A'
B
Ts1 C
2
Ps2
Ps1
A
Q
Q’
Q
P= Q + Q’
Ps2idéaleFigure 6 Le point C est le point sur l'isobare finale Ps2 qui possède la même température Ts1 : il correspond à un état final du système après échange de chaleur avec l'extérieur.
Si l’on considère le cycle ABCA parcouru par la machine réelle et si on lui applique le premier principe, on aura :
AB + QAB + BC + QBC + CA + QCA = 0 On aura par ailleurs :
- QAB Ts dS AIRE aABb
A
B ( ) ( sur la figure 6) - BC = 0 (travail avec transvasement isobare),- QBC Ts dS AIRE bBCc
B
C ( ) ( + QP sur la figure 6)- CA + QCA = 0, car la transformation est isotherme donc : dH(T,) = 0 On a donc finalement : AB = AIRE (bBCc) - AIRE (aABb) = AIRE (aABCc) = p
Ce travail est appelé travail polytropique p. C'est le travail reçu par la machine parfaite évoluant entre A et B et recevant la quantité de chaleur représentée par l'aire (aABb) qui est la quantité de chaleur équivalente aux pertes mises en jeu dans la transformation réelle. La figure 6 montre clairement que ce travail polytropique est supérieur au travail isentropique correspondant à l’aire (aA’Cc).
Si l'on considère maintenant le travail réel, on a :
C Ts dS AIRE cCBbB ( )
ce qui permet d'écrire : = p +
Dans le cas d'une compression, le travail polytropique est donc inférieur au travail réel.
Pour une détente (voir figure 7), le raisonnement est identique ce qui conduit à :
= AIRE (aABb)
p = AIRE (cCABb)
= AIRE (cCAa) et donc :
is = + AIRE (aA'Bb)
p = +
S T
Ts Ts2
b a A'
A
Ts B
1
Ps1
Ps2 C
C'
c c'
2is 2
Figure 7 Dans le cas d'une détente, le travail polytropique est donc supérieur au travail réel, contrairement au cas de la compression. L'ensemble (, is, ) permet seul de réaliser un bilan énergétique correct.
5.3 Définition des rendements isentropique et polytropique
Compte tenu de l'analyse précédente, il apparaît que le travail réel peut être comparé à deux types de travaux : le travail polytropique et le travail isentropique. En conséquence, deux types de rendement peuvent être définis :
- l'un qui compare le travail réel au travail isentropique que nous appellerons rendement isentropique,
- l'autre qui compare le travail polytropique au travail réel et que nous appellerons rendement polytropique.
Comparaison entre les rendements statique et total
Pour le moment, nous n'avons pas fait intervenir de différence entre les grandeurs statique et totale pour ce qui concerne les rendements.
Le rendement traduit une perte lors d'une transformation d'énergie et non lors des apports d'énergie.
Les transformations d'énergie se repèrent sur les grandeurs statiques qui sont les seules significatives de l'état réel du gaz. En toute rigueur, il serait donc plus correct de travailler systématiquement pour les calculs pression-température avec les valeurs statiques.
Cependant à l'intérieur d'une turbomachine, les échanges d'énergie (apports ou extractions de travail ou de chaleur) font intervenir les enthalpies et les températures totales par l'intermédiaire du premier principe.
Il faut donc avoir une idée de ce qui distingue les rendements dans les deux cas. En supposant le rendement suffisamment constant dans la plage de température considérée et en adoptant les mêmes formules de définition (remplacement des grandeurs statiques H(Ts,), Ts et Ps par les grandeurs totales équivalentes), on arrive, en développant les diverses relations données ci-après dans les paragraphes 5.3 et 5.4, à la relation suivante :
12 1 1
2 2 2 2
10 Cpol
1 10 2 Cpol
Cpol
1 M 1
1 M 1
log s
T 1 log T
s (34)
On constate qu'il n'y a égalité entre les deux rendements que si le deux Mach d’entrée et de sortie du compresseur considéré sont strictement égaux.
En pratique, nous n'utiliserons que les rendements en valeur totale, seuls accessibles rapidement dans les calculs de cycle, l’accès aux grandeurs statiques nécessitant la connaissance de la géométrie de la turbomachine, ce qui nous le verrons n'est pas immédiat dans les calculs de cycle.
Rendement isentropique
Pour une compression, nous le définirons comme le rapport de l'énergie nécessaire à l'atteinte de la pression par une transformation isentropique à l'énergie réellement utilisée, soit en gaz réels :
sCis
=
) , Ts ( H ) , Ts ( H
) , Ts ( H ) , Ts ( H
1 1 2
2
1 1 2
is
2
1 Cis 1 2
2
1 1 2
is 2
) , T ( H ) , T ( H
) , T ( H ) , T (
H
(35)
Pour une détente dans une turbine, compte tenu des résultats du paragraphe précédent, cette comparaison doit se faire en sens inverse, d'où la définition en gaz réels :
sTis
=
) , Ts ( H ) , Ts ( H
) , Ts ( H ) , Ts ( H
1 1 2
is 2
1 1 2
2
Tis
1 1 2
is 2
1 1 2
2
) , T ( H ) , T ( H
) , T ( H ) , T (
H
(36)
Dans la pratique, les rendements isentropiques sont très utilisés en raison de la simplicité de leur définition. Ils sont rapidement calculables puisqu'en première approximation, si l'on considère que les Cp sont très faiblement variables (hypothèse gaz parfaits), on aura :
1 2
1 is Cis T2 T
T T
et :
1 is 2
1 Tis T2 T T T
(37) et (38)
Par contre, le rendement isentropique présente l'inconvénient de ne pas reposer sur un bilan énergétique correct. En effet, si l'on prend le cas d'une compression :
) cCBb ( AIRE
) a ' cCA ( sCis is AIRE
Or la différence [AIRE (cCBb) - AIRE (cCA'a)] représente la somme [ + AIRE (AA'B)]. Il y a donc bien un manque énergétique figuré par cette aire AIRE (AA'B) : ce défaut s’accroît avec les forts rapports de pression (ou les forts taux de détente dans le cas des turbines).
Rendement polytropique
Le rendement polytropique sera défini sur des transformations élémentaires ou globales comme définies ci-après :
- pour une compression :
sCpol p (39)
- pour une détente :
Tpol p
s
(40)
Le calcul de la relation (Ps-Ts) est plus délicat à traiter qu'avec le rendement isentropique. En effet : - pour une compression :
Ts dTs s 1
Ts dTs R s Cp Ps
dPs Cpol Cpol
(41)
- pour une détente :
Ts dTs 1 s
1 Ts
dTs R Cp s
1 Ps
dPs
Tpol Tpol
(42)
ce qui nécessite comme on le verra plus loin des calculs complexes par intégration, plus difficiles d’accès sur les calculateurs temps réel.
L'expression des pertes internes est :
- pour une compression : (1sCpol)CpdTs (43)
- pour une détente : 1 Cp dTs
s 1
Tpol
(44)
5.4 Calcul des compressions et des détentes réelles Cas de la compression réelle
Pour un rendement isentropique, les formules suivantes sont utilisées pour calculer la température et la pression à l’issue de la compression (rendement en valeur statique) :
s H(Ts , )
(1 s ) H(Ts , )
) , Ts (
H 2is 2 Cis 2 2 Cis 1 1 d'où Ts2is (45)
d’où : (Ts , ) (Ts , )
1
2 10 2is 2 1 1
Ps
Ps
(46)
Compte tenu de la remarque faite au début du paragraphe 5.3 (comparaison entre les rendements en valeur statique et totale), à savoir que seul le rendement en valeur totale sera considéré dans ce cours, les deux équations précédentes s’écrivent alors sous la forme suivante :
H(T , )
(1 ) H(T , )
) , T (
H 2is 2 Cis 2 2 Cis 1 1 d'où T2is (47)
d’où : (T , ) (T , )
1
2 10 2is 2 1 1
P
P
(48)
Pour un rendement polytropique (rendement en valeur statique), la pression est directement calculée par intégration de l'équation (41) :
2
1
Ts
Ts 1 Cpol
10 2 R Ts
) , Ts ( s dH
Ps log Ps
d’où :
(Ts2, 2) (Ts1, 1) sCpol
1 2 10 Ps
Ps
(49)
De même, le rendement en valeur totale étant considéré, l’équation précédente s’écrit sous la forme suivante :
(T2, 2) (T1, 1) Cpol
1 2 10 P
P
(50)
Cas de la détente réelle
Pour un rendement isentropique, les formules suivantes sont utilisées pour calculer la température et la pression à l’issue de la détente (rendement en valeur statique) :
H(Ts , )
s 1 1 ) , Ts ( s H ) 1 , Ts (
H 1 1
2 Tis Tis 2
2 is
2 d'où Ts2is (51)
la pression statique Ps2 étant déduite de la relation (46).
Le rendement en valeur totale étant considéré, l’équation précédente s’écrit sous la forme suivante :
1 H(T , )
1 ) , T ( 1 H )
, T (
H 1 1
2 Tis Tis 2
2 is
2 d'où T2is (52)
la pression totale P2 étant déduite de la relation (48).
Pour un rendement polytropique (rendement en valeur statique), la pression est directement calculée par intégration de l'équation (42) :
2
1
Ts
Tpol Ts 1
10 2 R Ts
) , Ts ( dH s
1 Ps
log Ps d’où :
Tpol
1 1 2
2
s
) , Ts ( ) , Ts (
1 2 10 Ps
Ps (53)
soit pour un rendement en valeur totale :
Tpol
1 1 2
2, ) (T , ) T
(
1 2 10 P
P (54)
Formules simplifiées en gaz parfaits
En considérant que Cp et sont faiblement variables, les formules simplifiées suivantes peuvent être utilisées, les rendements étant considérés en valeur totale :
- pour une compression avec rendement isentropique :
1 2
1 1
1 1 2
Cis T T
P T
T P C
C
d’où : 1
1 1 Cis 2
1
2 C
C
T T 1 T
P
P
(55)
- pour une compression avec rendement polytropique :
) 1 ( 1 2 1
2 C
Cpol C
T T P
P
(56)
- pour une détente avec rendement isentropique :
1 2
1 1
1 1 2
Tis T T
P T T P 1
T T
d’où : 1
1 1 2 Tis 1
2 T
T
T T T 1 1
P
P
(57)
- pour une détente avec rendement polytropique :
Tpol T
T
) 1 ( 1 2 1 2
T T P
P
(58)
5.5 Comparaison des différents rendements
Comparaison entre rendements isentropique et polytropique Supposons que Ts
Ts
Ts Ts
1 Ts
2 1
1
soit suffisamment faible.
Alors en reprenant les formules simplifiées (55) et (56), les rendements étant ici considérés en valeur statique, on obtient pour une compression :
Cpol C
C s
1 1
Cis 1
1 2
Ts 1 Ts Ts
s Ts Ps 1
Ps
et en utilisant un développement limité au second ordre :
1 1 Cpol 2
Cpol
Cis Ts
Ts Ts 2
s 1 1
s
s (59)
et par un raisonnement équivalent, on trouve pour les turbines :
Tpol 2 1 1
Tpol Tpol
Tis Ts
Ts Ts s
2 s 1 1
s 1 s
1 (60)
On constate les points suivants : - si Ts
Ts1 est très faible, les deux rendements sont équivalents,
- lorsque Ts augmente le rendement isentropique est inférieur au rendement polytropique pour une compression et supérieur pour une détente.
6 - THEOREME DES QUANTITES DE MOUVEMENT
En appliquant le théorème des quantités de mouvement à un écoulement permanent (voir figure 8), la somme des efforts exercés par l'extérieur sur une surface de contrôle fermée est égale au flux de quantité de mouvement sortant de .
La quantité de mouvement sortant de l'élément de surface dA est égale à (V D ) avec :
D (V n dA )
d'où le flux de quantité de mouvement sortant de :
V V n dA( )
d
n
V
Figure 8 Soit F l'effort exercé sur dA par le flux intérieur sur l'extérieur.
F comprend les forces de pression
F
P et les forces de viscositéF
V, avec : FP Ps n dA La somme des efforts exercés par l’extérieur sur est égal à
F dA
. Le théorème des quantités de mouvement s’écrit donc :
F dA
V V n dA
( )
d’où :
F dA
V V n dA
( ) 0
D'où finalement en introduisant la fonction dynalpie Dyn, les forces de viscosité étant nulles:
Dyn dA F V V n dA Ps n V V n dA
( ( ))
( ) ( ( ))
(61)
nous arrivons au principe suivant, fort utile pour calculer la poussée : le flux de dynalpie sortant par une surface de contrôle fermée est nul.
En aérodynamique monodimensionnelle, la dynalpie sera définie par les relations suivantes :
Dyn A Ps( V2) Ps A (1 M2) (D V ) ( Ps A ) (62)
7 - THERMODYNAMIQUE DES MELANGES DE GAZ REELS
Les mélanges gazeux que nous aurons à considérer sont de différentes natures, par exemple :
- mélange de deux gaz non viciés dans le cas, par exemple, d’un prélèvement d’air réalisé dans le compresseur haute pression (HP) et réintroduit dans le flux d’air secondaire (by- pass),
- mélange de deux gaz, l'un vicié et l'autre non, en sortie de la chambre de combustion. Les gaz viciés issus de la combustion se mélangent à l’air pur prélevé dans le compresseur et réintroduit au niveau de la turbine après avoir refroidi les aubes de turbine.
Les calculs de mélange (gaz 1 et 2 donnant un nouveau gaz T) ne sont valables que lorsqu’ils sont réalisés à iso-section (A) et à iso-débit (D), soit :
- iso-section : AT = A1 + A2 - iso-débit d‘air : DaT = Da1 + Da2
- iso-débit de carburant : DcT = Dc1 + Dc2
- iso-débit de gaz : DT = D1 + D2
7.1 Enthalpie totale d'un mélange gazeux : calcul de la température totale du mélange Le mélange de deux gaz 1 et 2 donne un nouveau gaz T dont l'enthalpie totale est définie à partir de l'application du premier principe de la thermodynamique :
- enthalpie totale du gaz 1 : D1 . H(T1, 1) - enthalpie totale du gaz 2 : D2 . H(T2, 2)
- enthalpie totale du mélange T : DT . H(TT, T) = (D1 + D2) . H(TT, T) avec :
T
2, , 2
1
T 1 D
)) H(T (D + )) H(T
= (D )
H(T 1 2 (63)
Cette équation permet le calcul de la température totale TT d'un mélange gazeux en gaz réels.
Pour information, en gaz parfaits, l’équation devient :
T T
2 2 2 1 1 1
T D Cp
) T Cp (D + ) T Cp
= (D
T
(64)
7.2 Dynalpie d'un mélange gazeux : calcul de la pression totale du mélange
Considérons un mélange gazeux qui se passe de telle manière que les forces de pression sur la surface extérieure au flux d'air soient toujours perpendiculaires au flux d'air.
On démontre qu'alors :
2 1
T =Dyn +Dyn
Dyn (65)
Nous verrons plus loin que cette équation permet le calcul des pressions statiques et totales du mélange gazeux.
7.3 Condition de Kutta
Cette condition impose d’avoir, à la confluence de deux flux, égalité des pressions statiques Ps de part et d’autre de la tôle de confluence, soit :
2 1 =Ps
Ps (66)
Nota : la valeur de la pression statique du mélange PsT peut être proche de la valeur de la pression statique amont (Ps1 = Ps2) mais n’est généralement pas égale à cette valeur sauf cas très particulier.
7.4 Entropie d'un mélange gazeux
Il n'y a pas de formule simple pour calculer l'entropie d'un mélange de gaz et contrairement à l’enthalpie et à la dynalpie d’un mélange gazeux, il n'y a pas de conservation de l'entropie au cours d'un mélange gazeux.
Nous verrons que cette propriété est fondamentale pour expliquer les irréversibilités de combustion.
