Découverte de géogébra 1/4 Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
Préparation à l ’ épreuve pratique
Géogébra est un logiciel de construction géométrique dynamique.
Ce type de logiciel permet de tracer des figures géométriques. Il permet également d’effectuer des calculs algébriques (calculs de longueurs, d’angles…). On peut aussi représenter les courbes représentatives de
fonctions. On peut donc utiliser ce logiciel pour émettre des conjectures sur la réponse à donner à une question.
Conjecture qu’il faudra démontrer par la suite.
PARTIE A
1- Explorez toutes les icônes et tous les onglets pour vous familiariser avec le logiciel.
2- Droites remarquables dans un triangle.
Pour placer un point on peut soit choisir le bouton Nouveau point dans la barre d’icônes, puis de cliquer dans la feuille de dessin. Un point est créé et affiché avec son nom dans la feuille de dessin et son nom et ses coordonnées s’affichent dans la fenêtre algèbre à gauche. Un clic droit sur le nom du point (dans la fenêtre graphique ou la fenêtre algèbre) permet d’accéder aux propriétés du point. Vous changerez le nom, la couleur et la taille de votre point et vous l’effacerez.
3- Création d’un triangle :
a. Evidemment, nous savons qu’un triangle est défini par le choix de ses sommets. Vous devez donc créer 3 points que vous nommerez A, B et C.
b. Cliquez sur le bouton polygone dans la barre d’icônes et cliquez successivement sur le point A, le point B, le point C et enfin le point A. Dans la fenêtre algèbre, on voit apparaître P qui désigne le polygone défini, la valeur qui lui est associée représente l’aire du polygone.
c. Changez le nom du polygone. Appelez-le : triangle.
4- Point de concours des médianes :
• Dans un triangle ABC, la médiane issue de A est la droite passant par A et coupant [BC] en son milieu. Tracer les médianes du triangle A BC. (Les droites seront tracées en bleu et vous les renommerez en medianeA, medianeB et medianeC). Quel résultat rencontré au collège retrouvez-vous ?
• Ce point de concours des médianes est le centre de gravité du triangle. Pour définir ce point, il faut se placer dans la barre de saisie en bas et taper G=intersection[medianeA,medianeB] (le mot intersection[] s’affichera dès la saisie des premières lettres, il n’y aura donc plus qu’à compléter).
• Choisissez la même couleur que celle choisie pour les médianes.
5- Représenter le point de concours O des médiatrices, le point de concours Q des bissectrices et le point de concours D des hauteurs en choisissant les mêmes noms et couleurs que ceux indiqués sur le dessin :
Découverte de géogébra 2/4 6- On souhaite émettre une conjecture sur les points de concours. Pour plus de lisibilité, on va cacher les
droites tracées.
• Faites un clic droit sur une des droites et choisissez propriétés. En maintenant la touche Ctrl appuyée, sélectionnez toutes les droites tracées. Décochez la case Afficher l’objet. Les droites ne s’affichent plus (attention, il ne faut pas choisir effacer : dans ce cas, on effacerait l’objet et tout ce qui lui est lié, donc les points des concours).
7- Conjecture : Lorsqu’on regarde bien les points représentés, il semble que les points D, G et O soient alignés. Pour vous assurer que votre dessin n’est pas un cas particulier, vous pouvez faire bouger vos points dans le plan. Choisir le bouton déplacer puis cliquer sur un point que vous pouvez déplacer. Pour affiner votre conjecture, vous pouvez tracer la droite (DG) et remarquer que le point O appartient bien à cette droite.
Remarque : cette droite d’appelle la droite d’Euler
8- Faire varier les sommets du triangle ABC, pour que le point Q soit aligné avec les autres points. Emettre une conjecture quant à la nature du triangle ABC. Lire dans la fenêtre algèbre les longueurs des
segments [BC] et [AC]. Votre conjecture semble t-elle se confirmer ?
Découverte de géogébra 3/4 9- Faites varier les sommets de ABC pour que tous les points D, O, G et Q soient confondus. Quelle est la
nature du triangle ABC ?
10-On sait que le point O, point de concours des médiatrices est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Pour le représenter tapez dans la barre de saisie cer=cercle[O,A]
11-Le point de concours des bissectrices est le centre du cercle inscrit. Pour le tracer, on a besoin du rayon de ce triangle. Tracez la perpendiculaire … à [AB] passant par Q et nommer H le point d’intersection de cette droite avec le côté [AB] en tapant H=intersection[c,…]. Tracez alors le cercle inscrit dans le triangle.
12-On va maintenant créer un vecteur. Tapez v=vecteur[D,O]. Puis tapez T’=translation[triangle,v] pour signifier que vous souhaitez représenter l’image de ABC par la translation de vecteur Åv=ÄDO. Vous pouvez vérifier dans la fenêtre algèbre que les aires des deux triangles sont égales.
13-Essayer de représenter l’image de ABC par la rotation dans le sens positif de centre D et d’angle 60°, puis l’image de ABC par l’homothétie de centre J et de rapport -3.
Remarque : Pour chacune des ces constructions, on pouvait utiliser plus rapidement les icônes.
Découverte de géogébra 4/4 Partie B : Travail en autonomie
O et O′ sont deux points distincts et d est une droite donnée. M décrit la droite d. Cer1 et Cer2 sont deux cercles de centres O et O′passant par M. On appelle N le second point d’intersection de ces deux cercles.
Quel est le lieu des points N lorsque M décrit d ? Que peut-on conjecturer ? Démontrer.
Aide : Pour placer M taper M=point[a]
Pour afficher le lieu décrit par N, clic droit sur le point puis, cochez trace activée.
Démonstration :
La conjecture laisse supposer que N décrit une droite δ lorsque M décrit d.
On s’aperçoit que la droite d et δ sont sécantes et que leur point d’intersection est aligné avec les points O et O′. La conjecture serait donc : Lorsque M décrit d, N décrit la droite δ symétrique de d par rapport à la droite (O O′).
Pour démontrer cette conjecture, il faut donc montrer que (OO′) est la médiatrice de [M N] pour tout point M sur la droite d.
Or, M et N sont les deux points d’intersection des cercles Cer1 et C er2 de centres respectifs O et O′ donc MO=ON et MO′=N O′ donc O et O′ appartiennent à la médiatrice du segment [MN] donc N est l’image de M par la symétrie orthogonale d’axe (O O′).
Or, l’image d’une droite par une symétrie orthogonale est une droite donc N décrit bien la droite δ image de d par la symétrie d’axe (O O′).
