Corrigé DM5
1.a. L’ensemble de définition de la fonction chestR qui est centré en 0.
De plus cch(−x) = e−x+ex
2 ⇒ch(−x) =ch(x) Ces deux propriétes fon dechune fonction paire.
1.b
x→lim+∞ex= +∞
x→lim+∞e−x= 0 )
⇒ lim
x→+∞ch(x) = +∞ d’après le théorème de la limite d’une somme 1.c. chest dérivable surRcomme somme de telles fonctions.
Sa dérivée est(ch(x))0= ex−e−x
2 remarquons que la dérivée dechestsh Ainsi,(ch(x))0≥0⇔ex−e−x
2 ≥0⇔e2x−1 = 0
Or sur[0; +∞[e2x≥1donce2x−1 = 0⇒(ch(x))0≥0et chest croissante sur[0; +∞[ 2.a. L’ensemble de définition de la fonction chestR qui est centré en 0.
De plus csh(−x) = e−x−ex
2 ⇒sh(−x) =−sh(x) Ces deux propriétes fon deshune fonction impaire.
2.b
x→lim+∞ex= +∞
x→lim+∞e−x= 0 )
⇒ lim
x→+∞sh(x) = +∞ d’après le théorème de la limite d’une somme 2.c. shest dérivable surRcomme somme de telles fonctions.
Sa dérivée est(sh(x))0 =ex+e−x
2 remarquons que la dérivée de shestch
Ainsi,(sh(x))0 ≥0puisqueex ete−xsont tous deux positifs. Ainsishest croissante sur[0; +∞[ 3.a. ∀x∈R, ch(x)−sh(x) =e−x>0;La courbe(C)est donc au dessus de la courbe(S). 3.b. lim
x→+∞(ch(x)−sh(x)) = lim
x→+∞e−x= 0.Les deux courbes sont asymptotes l’une de l’autre au voisinage de+∞. 3.c.
2 1
0 -1
-2
3.75
2.5
1.25 0
-1.25
-2.5
x y
x y
ch en rouge et épais, sh en fin et bleu 4. ∀(a, b)∈R2, ch(a)ch(b) +sh(a)sh(b) =
µea+e−a 2
¶ µeb+e−b 2
¶ +
µea−e−a 2
¶ µeb−e−b 2
¶
=1 4
¡eaeb+eae−b+e−aeb+e−ae−b+eaeb−eae−b−e−aeb+e−ae−b¢
=1 4
¡2eaeb+ 2e−ae−b¢
=1 2
¡ea+b+e−(a+b)¢
Donc ch(a+b) =ch(a)ch(b) +sh(a)sh(b) On montre de même que sh(a)ch(b) +ch(a)sh(b) =sh(a+b)
En prenanta=b,on obtientch(2a) =ch2(a) +sh2(a).et sh(2a) = 2ch(a)sh(a).
On a aussi, pour tout réela, ch2(a) =
µea+e−a 2
¶2
doncch2(a) =e2a+e−2a+ 2 4 sh2(a) =
µea−e−a 2
¶2
doncsh2(a) =e2a+e−2a−2 4
Donc en faisant la différence membre à membre, ch2(a)−sh2(a) = 1
Il est bon de faire alors un parallèle avec les formules de trigo que vous connaissez sans doute !!!
cos(a+b) = cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b) sin(a+b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) cos(2a) = cos2(a)−sin2(a)
sin(2a) = 2 sin(a) cos(a) etcos2(a) + sin2(a) = 1.
Il y a un réel air de famille entre ces séries de formules qui justifient pleinement le terme de trigonométrie hyperbolique.
