La Méthode B

La Méthode B

Objectifs

Une méthode rigoureuse de développement logiciel : Spécication formelle

Conception explicite par ranement Implémentation simpliée en couches Vérication et validation

Prérequis :

Cahier des charges Description des besoins

1

Contexte et motivations Modélisation :

On démarre de spécications générales informelles Petit-à-petit le modèle est rané

On arrive à un modèle mathématique Spécication formelle :

Écriture de ce qui est attendu dans un langage formel Permet de raisonner rigoureusement sur les propriétés

attendues

Modèle d'un programme :

Modèle usuel : une fonction qui transforme la mémoire de la machine.

Permet de prouver qu'un programme exécute bien les tâches demandées.

Ranement : décomposition d'un problème en sous-problèmes plus simples.

Réutilisation : résolution d'un problème en utilisant des bibliothèques génériques bien établies

Correction d'un programme Certication

Test

4

Méthode B

Jean-Raymond Abrial (années 80)

Méthode qui intervient tôt dans le développement du logiciel Notation de machine abstraite, ranement, implémentation Théorie des ensembles

Logique du premier ordre Langage de substitutions

5

Applications

Cette technologie est utilisée au milieu industriel pour la modélisation de logiciels critiques avec besoins du zéro-défaut.

Coût du développement (Ariane)

Attaques malveillantes (commerce, santé) Vies humaines (transport, médecine)

Système freinage RER A

(1998) Ligne de métro 14. Le logiciel critique embarqué a été modélisé, prouvé et généré à partir de spécications B.

(2005) Ligne de métro 1.

Depuis : métros et navettes aéroports dans le monde entier.

Outils

B-tool (Anglaterre), voir

http://www.b-core.com/btool.html Atelier B, voir http://www.atelierb.eu/

J.R. Abrial : The B-Book. Cambridge University Press, 1996.

Atelier B : http ://www.atelierb.societe.com Actualités de B, voir http://vasco.imag.fr/B/

Projet LL supportant la méthode B https://gna.org/projects/brillant/

Le formalisme

Expressions arithmétiques Ensembles de base Formules

Relations Fonctions Substitutions Séquences

8

Les expressions arithmétiques Opérateurs+,−,×, /,mod. Exemple :

8×(n+ 11)

9

Les ensembles de base

{}ou∅ L'ens. vide

N AT L'ens. des entiers naturels IN T L'ens. des entiers relatifs ST RIN G L'ens. des chaînes de caractères BOOL L'ens. des booléens

{e} L'ens. réduit à un élément e

{e1, ..., en} L'ens. composé des éléments e1,...,en Exemple :{1,2,3} et{{},{1,2}}.

Opérations sur les ensembles

E1∪E2 union E1∩E2 intersection E1−E2 diérence

Les ensembles par compréhension

Appartenance à un ensemble :z∈S.

L'ens. de tous les objets qui vérient la formuleP est {z|P} ou {z∈S |P}.

L'ens. des entiers entre n1 et n2 (inclus) avec n1 et n2 des expressions représentants des entiers positifs :(n1..n2).

card(E) est le cardinal (nombre d'éléments) d'un ensemble E ni.

P(E) est l'ens. de sous-ens. de E.

12

Formules de base

e1 = e2

n1 > n2

n1 < n2

e1 ̸= e2

n1 ≥ n2

n1 ≤ n2

13

Formules ensemblistes

e∈E L'expression e est un objet de l'ensemble E.

e̸∈E L'expression e n'est pas un objet de l'ensemble E.

E1 ⊆E2 E1 est un sous-ensemble de E2.

E1 ̸⊆E2 E1 n'est pas un sous-ensemble de E2.

Formules composées not(F) négation F1∧F2 conjonction F1∨F2 disjonction F1 ⇒F2 implication F1 ⇔F2 équivalence

∃var.F quantication existentielle

∀var.F quantication universelle

Quantication multiple :∀ (x, y).(x=y⇒y=x)

Les formules bien typées

∀(a, b).(a, b)∈P(E)×P(E)⇒ {x|x ∈E∧ x∈a∧ x∈b} ⊆E ade type P(E)

b de typeP(E) x de type E x∈abien typé x∈bbien typé

{x |x∈E∧ x∈a∧ x∈b}de type P(E) {x |x∈E∧ x∈a∧ x∈b} ⊆E bien typé

16

Substitution élémentaire

[var:=E]P Exemple :[n:= 3]n > m est égal à3> m.

17

Variables liées

∃x.F

∀x.F

{x |P}

Une variable peut etre libre et liée en même temps :

x >0 ∧ ∀ x.x= 0

Substitution multiple

C'est une substitutionsimultanée

[x1, . . . , xn:=e1, . . . , en]P ou

x1:=e1 || . . .|| xn:=en ;P

Exercice :Donner un exemple pour montrer que la substitution séquentielle et la substitution simultanée ne sont pas les mêmes.

Exercice :Exprimer la substitution simultanée en utilisant la substitution séquentielle.

Relations

E1 ↔E2 Relations entre éléments de E1 et de E2

R1;R2 Composition des relationsR1 et R2

id(E) la relation identité sur l'ensemble E R⁻¹ relation inverse de R

R^⋆ clôture réexive-transitive de R

ER la restriction de la relation R au domaine E RE la restriction de la relation R à l'image E dom(R) : domaine deR

ran(R) : image de R

20

Fonctions

Les fonctions sont des relations fonctionnelles : si(x, y)∈R et (x, z)∈R, alorsy =z.

Les fonctions partielles deA enB :A↛B Les fonctions totales deA enB :A→B Les fonctions injectives de Aen B:A↣B

21

Séquences

Les séquences sont des suites ordonnées d'objets d'un ensemble E.

Une manière de les modéliser mathématiquement est de les voir comme des fonctions de N dans E dont le domaine est soit l'ensemble vide (dans le cas de la séquence vide) soit l'ensemble 1..n pour n un entier strictement positif.

Exemple

Modélisation de l'ensemble des entiers naturels de Peano.

1. 0∈N.

N n'est pas vide.

2. ∀ n.(n∈N ⇒succ(n)∈N).

3. ∀ n.(0̸=succ(n)).

N possède un premier élément.

4. ∀ (n, m).(succ(n) =succ(m)⇒n=m).

5. [E ∈P(N)∧0∈E∧∀n.(n∈E ⇒succ(n)∈E)]⇒E =N.

Exercice

Étant donné un ensemble personnes, on cherche à modéliser : Lesensembles femmes, hommes

Lesrelations epoux, epouse, mere, pere, parent, enfant, grand-parent, ancetre, frere, soeur, frere-soeur, enfant 1. Chaque personne est un homme ou une femme.

hommes ⊆ personnes femmes ⊆ personnes personnes ⊆ hommes ∪femmes

2. Nulle personne n'est à la fois homme et femme.

hommes ∩femmes =∅

24

3. Seules les femmes ont des époux qui sont des hommes.

epoux ∈ femmes ↔hommes 4. Chaque femme a au plus un époux.

epoux ∈ femmes ↛hommes

(i.e.(f, h1)∈epoux∧ (f, h2)∈epoux⇒ h1 =h2).

25

5. Les hommes ne peuvent être mariés qu'à au plus une femme.

epoux ∈ femmes ↣ hommes

(i.e.(f1, h)∈epoux ∧ (f2, h)∈epoux ⇒f1 =f2).

ou

epouse = epoux⁻¹

epouse ∈ hommes ↛femmes 6. Une mère est une femme mariée.

mere ∈ personnes↛dom(epoux) 7. Le père est l'époux de la mère.

pere = mere ; epoux 8. Modéliser la notion de parent.

parent = mere ∪pere

9. Modéliser la notion d' enfant.

enfant = parent⁻¹

10. Modéliser la notion de grand-parent.

grand-parent = parent ; parent 11. Modéliser la notion d'ancetre.

ancetre = parent ; parent^∗ 12. Modéliser la notion de frere.

frere = (mere ; mere⁻¹) hommes− id(hommes) 13. Modéliser la notion de soeur.

soeur = (mere ; mere⁻¹) femmes− id(femmes) 14. Modéliser la notion de frere-soeur.

frere-soeur = frere∪ soeur

15. Démontrer mere = pere ; epoux⁻¹. pere ; epoux⁻¹

(mere ; epoux ) ; epoux⁻¹= mere ; (epoux ; epoux⁻¹)=

mere ; id(dom(epoux)) = mere

28