Conditions d'impédance pour un problème de couches minces par analyse multi-échelle.

Conditions d'impédance pour un problème de couches minces par analyse multi-échelle.

M.Gazeau

gazeau@cmap.polytechnique.fr

1 Introduction

De nombreux problèmes issus de la physique font intervenir des domaines à couches minces.

C'est le cas notamment en optique où des dispositifs optiques à couches minces sont con- struits an de manipuler la lumière en jouant sur les propriétés de réfraction et de réexion des matériaux. La modélisation numérique d'un tel problème peut s'avérer dicile à met- tre en oeuvre car il faut tenir compte de la faible épaisseur de la couche mince. Il faut donc considérer une discrétisation susamment ne an d'obtenir une bonne approximation numérique du problème.

L'idée de ce mini-projet est de remplacer le problème initial (déni sur un domaine à couche mince) par un problème approché sur un domaine xe i.e sans couche mince.

Dans un premier temps, on eectuera une analyse mathématique du problème initial. On construira ensuite par une analyse multi-échelle un problème proche du problème initial.

Enn on implémentera à l'aide de Freefem++ les deux problèmes dans le cas d'un domaine régulier puis non régulier au voisinage de la couche mince.

2 Conditions aux limites approchées pour le laplacien dans un domaine régulier

On suppose queΩ_int est un domaine régulier simplement connexe (i.e sans trou) deR² et on noteΓ son bord. On note−→n = (n1, n2)^tla normale unitaire sortante à Γ. On introduit un petit paramètreǫtel que0< ǫ6ǫ₀ ≪1,ǫ₀ étant xé. On suppose que la couche mince autour du domaineΩ_int d'épaisseur constanteǫest décrite par

Ω^ǫ_ext ={x+s−→n(x)|x∈Γ, s∈(0, ǫ)}.

On appelleΩ^ǫ= Ω_int∪Γ∪Ω^ǫ_ext le domaine complet etΓ^ǫ_ext son bord. La gure ci dessous illustre un tel domaine

Ω_int Γ^ǫ_ext

Ω^ǫ_ext

Γ

ǫ≪1 Figure 1

On s'intéresse maintenant au problème de transmission surΩ^ǫ



















α∆u^ǫ_int =f_int dansΩ_int

∆u^ǫ_ext =f_ext dansΩ^ǫ_ext α∂nu^ǫ_int =∂nu^ǫ_ext+g surΓ

u^ǫ_int =u^ǫ_ext surΓ u^ǫ_ext = 0 surΓ^ǫ_ext

(2.1)

oùαest une constante strictement positive. On suppose quef_int∈L²(Ω_int)etg∈L²(Γ). On suppose également que f_ext est la restriction à Ω^ǫ_ext d'une fonction de L²(Ω^ǫ_ext⁰ ). De plus∂ndesigne la dérivée normale extérieure àΩ_int et la dérivée normale intérieure àΩ^ǫ_ext. On note −→τ le vecteur unitaire tangent à Γ tel que (−→τ ,−→n) forme une base orthonormale.

Ennk.km,Ω_int,m∈Ndésigne la norme hilbertienne surH^m(Ω_int). On dénit les normes surH^m(Ω^ǫ_ext) etH^m(Γ)de façon similaire. De plus par dénition H⁰ =L².

On cherche à approcher le problème de transmission précédent surΩ^ǫ par un problème du Laplacien avec condition de Robin surΩ_int i.e

α∆v^ǫ =f_int dansΩ_int

CL_ǫ(v^ǫ, ∂_nv^ǫ) = 0 surΓ. (2.2) 1. Montrer l'assertion suivante : v∈H₀¹⇔ v_int∈H¹(Ω_int),v_ext ∈H¹(Ω^ǫ_ext), v_ext|Γǫ

ext = 0 et [v]_Γ = 0 où [v]_Γ = v_int|Γ−v_ext|Γ est le saut de v à l'interface Γ (au sens de la trace).

2. Ecrire le problème (2.1) sous sa forme variationnelle et montrer que, sous les hy- pothèses précédentes, il existe une unique solution u^ǫ ∈ H₀¹(Ω^ǫ) et une constante C >0 indépendante deǫtel que

ku^ǫk1,Ω^ǫ 6C

kf_intk0,Ω_int+kf_extk0,Ω^ǫ_ext+kgk0,Γ

. 3. En supposant que la solution du problème variationnel est tel queu^ǫ_|Ω

int ∈C² Ω_int etu^ǫ_|Ω^ǫ

ext ∈C² Ω^ǫ_ext

en déduire que le problème (2.1) admet une unique solution.

An de travailler sur un domaine xe, on veut faire apparaitre le paramètre ǫ dans le système d'équation (2.1). On suppose que la courbe Γ est susamment régulière et on notel_Γ sa longueur. La courbe Γ peut être paramétrée par son abscisse curviligne t. Le domaineΩ^ǫ_ext peut alors être paramétré par les variables(t, s)∈[0, l_Γ)×(0, ǫ):

Ω^ǫ_ext =

y ∈R², y(t, s) =x(t) +s−→n(x(t)), t∈[0, l_Γ), s∈(0, ǫ) . 4. En utilisant les formules suivantes

∂_t−→τ =−c(x(t))−→n et ∂_t−→n =c(x(t))−→τ

où c(x(t))est la courbure de Γau point d'abscisse curviligne t, montrer que

∂1

∂₂

!

=

n²

1+sc(x(t)) n₁

−n¹

1+sc(x(t)) n₂

! ∂t

∂_s

!

où ∂₁ et∂₂ sont les dérivées par rapport ày₁ ety₂. En déduire que le laplacien peut être écrit sous la forme

∆_ext= 1

1 +sc(x(t))∂t

1

1 +sc(x(t))∂t

+ c(x(t))

1 +sc(x(t))∂s+∂_s².

5. On introduit la variable dilatée S =s/ǫ. Par un développement de Taylor, montrer que l'on obtient l'expression suivante pour le laplacien sur le domaine [0, lΓ)×(0,1)

∆_ext = 1

ǫ² ∂_S²−

N

X

l=1

ǫ^lA_l+ǫ^N+1T_ǫ^N

!

où les opérateurs(A_l)comportent au plus une dérivée selonSetT_ǫ^N est un opérateur uniformément borné enǫ. Donner une expression pour A₁.

6. On suppose que f_ext est une fonction régulière et on note u^ǫ_ext(t, s) =U_ext^ǫ (t, S). En déduire que le système (2.1) dans les nouvelles coordonnées est donné par





















 1 ǫ²

∂_S²U_ext^ǫ −PN

l=1ǫ^lA_lU_ext^ǫ

=F_ext^ǫ dans[0, l_Γ)×(0,1) 1

ǫ∂_SU_ext^ǫ =α∂_nu^ǫ_int−g sur[0, l_Γ)× {0} U_ext^ǫ = 0 sur[0, l_Γ)× {1} α∆u^ǫ_int =f_int dansΩ_int

u^ǫ_int =U_ext^ǫ surΓ

(2.3)

avec pour tout N ∈N

F_ext^ǫ =

N

X

l=0

ǫ^lF_ext^l (t)S^l+O ǫ^N+1 .

La présence de puissance entière dans le système d'équations (2.3) nous amène à supposer que les solutionsu^ǫ_int etU_ext^ǫ s'écrivent

u^ǫ_int =X

n>0

ǫⁿuⁿ_int et U_ext^ǫ =X

n>0

ǫⁿU_extⁿ . (2.4)

7. En insérant le développement asymptotique (2.4) dans le système (2.3) et en identi- ant les puissances de ǫ, montrer que l'on obtient

(a) Pour les termes d'ordre0: u⁰_intest solution d'un problème de Dirichlet homogène sur Ω_int avecf_int comme force extérieure etU_ext⁰ = 0.

(b) Pour les termes d'ordre 1: u¹_int est solution d'un problème de Laplace avec condition de Dirichlet non homogène U_ext¹ donnée par

U_ext¹ = (S−1)

α∂_nu⁰_int|Γ−g .

(c) Pour les termes d'ordre 2: u²_int est solution d'un problème de Laplace avec condition de Dirichlet non homogène U_ext² donnée par

U_ext² =−c(x(t))

α∂_nu⁰_int|Γ−gS²−1

2 +F_ext⁰ (t)S²−1

2 + (S−1)α∂_nu¹_int|Γ. 8. Quelle est la régularité nécessaire sur les donnéesu⁰_int, g etf_int pour que les calculs

précédents aient un sens.

On dénit la solution tronquée à l'ordrek∈N

u^ǫ_[k],ext =

k

X

l=0

ǫ^lu^l_ext et u^ǫ_[k],int=

k

X

l=0

ǫ^lu^l_int

On introduit les erreurs r_k,ext^ǫ et r_k,int^ǫ comme le reste de la diérence entre la solution exacte et le développement asymptotique tronqué à l'ordre krespectivement dans Ω_int et Ω^ǫ_ext c'est à dire

r^ǫ_k,ext =u^ǫ_ext−u^ǫ_[k],ext et r^ǫ_k,int =u^ǫ_int−u^ǫ_[k],int.

On admettra que la solution u^ǫ du système (2.1) admet un développement asymptotique jusqu'à l'ordre4 et qu'on a la majoration suivante

r_k,^ǫ_int

1,Ω_int+√ ǫ

r^ǫ_k,ext

1,Ω^ǫ_ext6C_kǫ^k+1 pourk= 0,1,2. (2.5) 9. Pourk= 0,1,2, trouver une approximation v^ǫ_[k] deu^ǫ_[k],int qui soit solution d'un sys-

tème de la forme (2.2) dont on déterminera les conditions d'impédanceCL_ǫ

v_[k]^ǫ , ∂_nv_[k]^ǫ sur Γ. Montrer que u^ǫ_[0],int =v_[0]^ǫ et qu'il existe deux constantes positives C₁ et C₂, indépendantes de ǫ, tel que

u^ǫ_[1],int−v_[1]^ǫ

1,Ω_int 6C₁ǫ^3/2

u^ǫ_[2],int−v_[2]^ǫ

1,Ω_int 6C₂ǫ^5/2.

En déduire qu'il existe une constante positiveC indépendante deǫ tel que

u^ǫ_int−v_[k]^ǫ

1,Ω_int 6C







ǫ pour k= 0 ǫ^3/2 pour k= 1 ǫ^5/2 pour k= 2.

10. On suppose quev_[1]^ǫ etv_[2]^ǫ admettent un développement asymptotique de type (2.4).

Montrer que le résultat précédent peut être amélioré par les estimations suivantes

u^ǫ_int−v^ǫ_[k]

1,Ω_int 6C







ǫ pourk= 0 ǫ² pourk= 1 ǫ³ pourk= 2.

Conclure.

3 Simulations numériques

On considère dans cette section le problème de transmission (2.1) sur diérents domaines à couche mince avec les données suivantes : g= 0, f_ext= 0 etf_int =−x²₂. On choisit ǫ= 2^−j,(j= 1,· · ·,10). Pour la génération des maillages, on pourra utiliser la documentation de FreeFem++ accessible sur www.freefem.org, à l'adresse suivante

http://www.freefem.org/++/ftp/freefem++doc.pdf

Dans un premier exemple on s'intéresse au domaine suivant Ω^ǫ=

x∈R²|1<kxk∞<2 +ǫ tel que x >0 etx1 <2 avec pour domaine intérieur

Ω_int=

x∈R²|1<kxk_∞<2 tel que x >0

11. Résoudre numériquement le problème (2.1) à l'aide de Freefem++ et en utilisant les éléments nis P₁.

12. Faire de même avec les approximations v^ǫ_[k] pourk= 0,1,2.

13. Tracer, en fonction de ǫ, les normesL²(Ω_int) et H¹(Ω_int) de la diérence u^ǫ_int−v^ǫ_[k]

pourk= 0,1,2. Conclure en comparant les résultats numériques avec les estimations obtenues à la question 10.

14. Eectuer les mêmes simulations sur le domaine suivant Ω^ǫ=

x∈R²|1<kxk2 <2 +ǫ tel que x >0 avec pour domaine intérieur

Ω_int=

x∈R²|1<kxk2<2 tel que x >0 .

15. Obtient-on les mêmes résultats? Si non, d'où vient le problème et comment pourrait- on y remédier. Conclure.

On considère cette fois que le domaine n'est pas régulier au voisinage de la couche mince et qu'il présente un coin. Dans cette section on considèrera que le domaineΩ_int est de la forme polygonale : ses sommets ont respectivement pour coordonnées(0,0),(1,0),(1,¹₂), (¹₂,¹₂),(¹₂,1)et pour nir(0,1). Le domaine total Ω^ǫ est donné par les sommets suivants : (0,0),(1,0),(1,¹₂ +ǫ),(¹₂ +ǫ,¹₂ +ǫ),(¹₂ +ǫ,1)et(0,1). On note Γ_N la partie du bordΓ autour de laquelle il n'y a pas de couche mince. On considère cette fois le problème























α∆u^ǫ_int =f_int dansΩ_int

∆u^ǫ_ext =f_ext dansΩ^ǫ_ext α∂_nu^ǫ_int =∂_nu^ǫ_ext+g surΓ

u^ǫ_int =u^ǫ_ext surΓ u^ǫ_ext = 0 surΓ^ǫ_ext

∂_nu^ǫ_ext = 0 surΓ_N

(3.1)

16. Reprendre les questions précédentes 11, 12 et 13 pour le problème ci dessus en util- isant diérents pas de discrétisations et la donnée

f_int(x, y) =

1 six61/2 0 sinon

17. Comment peut-on améliorer les résultats au voisinage du coin entrant. Réalisez une expérience numérique. Comparer avec les résultats précédents.

18. Est-il judicieux d'utiliser le résultat théorique obtenu dans la section 2 pour des domaines présentant des irrégularités? La nature du problème est-il similaire à celui mis en évidence à la question 15. Expliquer à quels endroits dans la preuve on a fait une hypothèse qui n'est plus valide dans le cas d'un domaine non régulier.