Chapitre 3: Intégrale Généralisée SMA&SMI:S2

Chapitre 3: Intégrale Généralisée SMA&SMI:S2

Par: Elmostafa BENDIB

Département de Mathématiques et Informatique Faculté poly-disciplinaire de Safi

Université Cadi Ayyad

Table des matières

1 Intégrales Généralisées 2

2 Exemples de référence 3

3 Intégrales plusieurs fois imoropres 5

3.1 Intégrales doublement imoropres . . . 5

3.2 Intégrales plusieurs fois impropres . . . 5

4 Intégrale faussement impropre : prolongement par continuité 6 5 Prporiétés des intégrales généralisées convergentes 6 5.1 linéarité des intégrales généralisées convergentes . . . 7

5.2 Relation de Chasles . . . 7

6 Calcul pratique des intégrale généralisées 7 6.1 Utilisation d’une primitive . . . 7

6.2 Changement de variable . . . 7

6.3 Intégration par parties . . . 8

6.4 Critère de Cauchy . . . 8

7 Critères de convergence pour les fonctions positives 8 7.1 Critère de majoration et de comparaison . . . 8

7.2 Critère d’équivalence . . . 9

7.3 Critère de négligeabilité . . . 10

8 Intégrale absolument convergente 12

9 Exercices 13

1 INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES

Dans les chapitres précédents, on a défini et étudié la notion d’intégrale de Riemann d’une fonction bornée définie sur un intervalle fermé et borné deR. Dans ce chapitre, on cherche à étendre la notion d’intégrale aux fonctionsnon nécessairement bornées et/ou définies, sauf peut-être en un nombre fini de points, sur des intervallesnon fermés ou non bornésde la forme[a, b[,[a,+∞[, ]a, b],]− ∞, b],]a, b[,]− ∞,+∞[.

1 Intégrales Généralisées

Définition 1. SoitIun intervalle quelconque deR. Une applicationf:I −→Rsera ditelocalement intégrable (bien entendu au sens de Riemann) sur I si la restriction def à chaque segment [α, β]

contenudansI est Riemann intégrable ; ceci revient à dire que f est Riemann intégrable sur tout segment [α, β]inclusdans I.

Exemples – Toute fonction continue surI est localement intégrable surI.

– Toute fonction monotone surI est localement intégrable sur I.

Exercices Donner des exemples de fonctions bornées et des exemples de fonctions non bornées sur des intervalles du types[a, b[et[a,+∞[.

Définition 2. Soit f une fonction localement intégrable sur un intervalle de la forme [a, b[de R( où−∞< a < b6+∞).On dit que l’intégrale de f sur[a, b[estconvergentesi la fonction

F :x7−→

Z x a

f(t)dt (a6x < b)

a unelimite finie lorsque x tend vers b; cette limite, lim

x→b

Z x a

f(t)dt, lorsqu’elle existe est appelée intégrale généralisée ou impropredef sur[a, b[. Si cette limiten’existe pas ou infinie, on dit que l’intégrale def sur [a, b[estdivergente.

De même, si f une est une fonction localement intégrable sur un intervalle de la forme ]a, b]de R( où −∞6a < b <+∞) l’intégrale généralisée ou impropre de f sur]a, b]est la limite au point a, si elle existe, de la fonction

F :x7−→

Z b x

f(t)dt (a < x6b).

Dans les deux cas l’intégrale généralisé def sur[a, b[ou]a, b]est noté Z b

a

f(t)dt.

Définition 3. On dit que deux intégrales généralisées sont de mêmenature si elles sont soit toutes les deux convergentes, soit toutes les deux divergentes.

Exemple1 Etudier la convergence de Z +∞

0

e^−tdt.

Réponse : La fonction x 7−→ e^−x est continue, donc localement intégrable sur [0,+∞[; et pour toutx>0 on a :

Z x 0

e^−tdt= [−e^−t]^x₀ = 1−e^−x;

et lim

x→+∞

Z x 0

e^−tdt= lim

x→+∞1−e^−x= 1. L’intégrale dex7−→e^−x sur[0,+∞[est donc conver- gente, et on a

Z +∞

0

e^−tdt= 1.

2 EXEMPLES DE RÉFÉRENCE

Exemple2 La fonctionx7−→e^−x est continue, donc localement intégrable sur]−∞,0]; et pour tout x60on a :

Z 0 x

e^−tdt= [−e^−t]⁰_x=−1 +e^−x;

et lim

x→+∞

Z 0 x

e^−tdt= lim

x→+∞e^−x−1 = lim

X→+∞e^X−1 = +∞. L’intégrale dex7−→e^xsur]−∞,0], Z 0

−∞

e^−tdt, est donc divergente, et on a Z 0

−∞

e^−tdt= +∞.

Exemple3 • L’applicationt7−→ 1

1 +t² est continue sur Rdonc localement intégrable sur[0,+∞[; et pour toutx∈[0,+∞[on a

Z x 0

1

1 +t²dt= [arctant]^x₀ = arctanx et lim

x→+∞

Z x 0

1

1 +t²dt= lim

x→+∞arctanx= π 2. L’intégrale

Z +∞

0

1

1 +t²dt est donc convergente, et on a Z +∞

0

1

1 +t²dt= π 2

• de même l’intégrale Z 0

−∞

1

1 +t²dt est convergente, et on a Z 0

−∞

1

1 +t²dt= lim

x→−∞

Z 0 x

1

1 +t²dt=− lim

x→−∞arctanx= π 2. Exemple4 Etudier la convergence de

Z +∞

1

√dt t et

Z 1 0

√dt t. Réponse : • Pourx>1 on a

Z x 1

√dt

t = [2√

t]^x₁ = 2√

x−2 −→

x−→+∞+∞, et Z +∞

1

√dt

t diverge.

• Pour >0, Z 1

√dt

t = [2√

t]¹ = 2−2√

−→

→0

>0

2 et Z 1

0

√dt

t converge et on a Z 1

0

√dt t = 2.

Exemple5 Z x

0

sin(t)dt =−[cos(t)]^x₀ =−cos(x) + 1 n’a pas de limite lorsque x→ +∞ : l’intégrale Z +∞

0

sin(t)dt est donc divergente. Il en est de même de l’intégrale Z +∞

0

cos(t)dt.

Exemple 6 : Donner la nature et la valeur éventuelle de l’intégrale généralisée Z 1

0

ln (t)dt.

Réponse L’application t 7−→ ln (t) est continue sur ]0,1] donc localement intégrable sur ]0,1]; et pour tout]0,1]on a

Z 1 x

ln (t)dt= [tln (t)−t]¹_x =−1−xln (x)+x; et lim

x→0 x>0

(−1 +xln (x)−x) =

−1 donc Z 1

0

ln (t)dt converge et vaut−1.

2 Exemples de référence

Les exemples qui suivent sont très importants car ils permettront, par comparaison, d’établir des règles de convergence pour les intégrales généralisées. Dans cette sectionα désigne un nombre réel.

Proposition 1. (Exemples de référence ) Soit α∈R

2 EXEMPLES DE RÉFÉRENCE

1.

Z +∞

1

1

x^αdxconverge si et seulement si α >1.

2.

Z 1 0

1

x^αdxconverge si et seulement si α <1.

Démonstration. 1) Convergence de Z +∞

1

1

x^αdx : La fonction x 7−→ 1

x^α est continue, donc loca- lement intégrable sur[1,+∞[.

Siα6= 1, on a pour tout x>1 Z x

1

1

t^α dt= 1

1−α x^1−α−1 et lim

x→+∞

1

1−α x^1−α−1

= 1

α−1 siα >1;

x→+∞lim 1

1−α x^1−α−1

= +∞ siα <1.

Donc Z +∞

1

1

x^αdxconverge siα >1etdiverge siα <1 Siα= 1, l’intégrale

Z x 1

1

t dt= lnx tend vers+∞ quandx tend vers+∞ et

Z +∞

1

1

tdt diverge.

2) Nature de Z 1

0

1

x^αdx : La fonctionx7−→ 1

x^α est continue, donc localement intégrable sur]0,1]. Siα6= 1, Pour tout ε∈]0,1]

Z 1 ε

1

x^αdx= 1 (1−α)x^α−1

1

ε = 1

1−α

1− 1 ε^α−1

et

x−→0lim

x>ε

1 1−α

1− 1 ε^α−1

= 1

1−α siα <1;

x−→0lim

x>ε

1 1−α

1− 1 ε^α−1

= +∞si α >1 . Donc

Z 1 ε

1

x^αdxconverge siα <1 etdivergesi α >1 Siα= 1, l’intégrale

Z ₁

x

1

t dt=−lnt tend vers+∞ quandεtend vers 0et

Z 1 0

1

tdt diverge.

Notons qu’il n’existe aucune valeur de α telle que l’intégrale Z +∞

0

1

x^αdxsoit convergente.

Passons maintenant au cas d’une fonction définie sur un intervalleouvert.

3 INTÉGRALES PLUSIEURS FOIS IMOROPRES

3 Intégrales plusieurs fois imoropres

3.1 Intégrales doublement imoropres

Définition 4. Soit f une fonction localement intégrable sur un intervalle ouvert ]a, b[ (−∞6a <

b6+∞) et soitcun point quelconque de ]a, b[. On dit que l’intégrale def sur]a, b[est convergente si chacune des intégrales

Z c a

f(t)dt et Z b

c

f(t)dt est convergentes. Dans ce cas, on appelle intégrale généralisée def sur]a, b[le réel noté

Z b a

f(t)dt qui est défini par Z b

a

f(t)dt= Z c

a

f(t)dt+ Z b

c

f(t)dt

Notons que l’existence et la valeur de Z b

a

f(t)dt ne dépendent pas du choix dec.

Exemple 1 Etudier la convergence de Z +∞

−∞

1 1 +t²dt.

Les intégrales Z +∞

0

1

1 +t²dtet Z ₀

−∞

1

1 +t²dtsont convergentes. Donc l’intégrale Z +∞

−∞

1 1 +t²dt est convergente, et on a

Z +∞

−∞

1 1 +t²dt=

Z 0

−∞

1 1 +t²dt+

Z +∞

0

1

1 +t²dt= π 2 +π

2 =π.

Remarque On doit insister sur la nécessité de la convergence desdeuxintégrales.

Exemple 2 Etudions la convergence de Z +∞

−∞

e^−tdt.

L’intégrale Z +∞

0

e^−tdtconverge MAIS l’intégrale Z 0

−∞

e^−tdtdiverge donc l’intégrale Z +∞

−∞

e^−tdt diverge.

Exemple 3 Etudions la convergence de Z +∞

−∞

sin(t)dt.

L’intégrale Z +∞

0

sin(t)dt diverge donc Z +∞

−∞

sin(t)dt diverge.

3.2 Intégrales plusieurs fois impropres

Définition 5. Soient a0 < a1 < ... < an et f une fonction localement intégrable sur ]ai, ai+1[pour chaque i ∈ {0, ..., n−1}. On dit que

Z an

a0

f(t)dt est convergente si pour chaque i∈ {0, ..., n−1}, Z ai+1

ai

f(t)dt est convergente et dans ce cas on pose Z an

a0

f(t)dt=

n−1

X

i=0

Z ai+1

ai

f(t)dt

Exercice Z 10

0

e^t

t(t−1)(t−2)dt converge si et seulement si les3intégrales suivantes sont conver- gentes :

Z 1 0

e^t

t(t−1)(t−2)dt, Z 2

1

e^t

t(t−1)(t−2)dt, et Z 10

2

e^t

t(t−1)(t−2)dt Exemple : f(x) = 1

x² six <−1 :f(x) = 1

√−x six∈[−1,0[etf(x) =e^−x six>0.

Calculer Z +∞

−∞

f(t)dt

5 PRPORIÉTÉS DES INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES CONVERGENTES

Réponse f est continue sur chacun des intervalles ]−∞,0[ et [0,+∞[ donc Z +∞

−∞

f(t)dt est im- propre en−∞,en 0⁻ et en +∞

En−∞: Z −1

x

f(t)dt= Z −1

x

1 t²dt=

−1 t

−1 x

= 1 + 1

x →

x→∞= 1 donc Z −1

−∞

f(t)dt converge et Z −1

−∞

f(t)dt= 1.

On pourrait aussi voire la convergence par Riemann ( ici α= 2>1) En0⁻:

Z _x

−1

f(t)dt= Z _x

−1

√1

−tdt=

−2√

−tx

−1 =−2√

x+ 2 →

x→0 x<0

2donc Z ₀

−1

f(t)dtconverge et

Z 0

−1

f(t)dt= 2 . en +∞:

Z x 0

f(t)dt= Z x

0

e^−tdt=

−e^−tx

0 =−e^−x+ 1 →

x→∞1donc Z +∞

0

f(t)dtconverge et Z +∞

0

f(t)dt= 1

Donc Z +∞

−∞

f(t)dt converge et vaut Z −1

−∞

f(t)dt+ Z 0

−1

f(t)dt+ Z +∞

0

f(t)dt= 4

Dans la suite, pour simplifier l’exposé, nous nous bornerons à étudier la convergence au point b 6 +∞) d’une intégrale de la forme

Z b a

f(t)dt,

oùf est une fonction localement intégrable sur l’intervalle semi-ouvert[a, b[.

4 Intégrale faussement impropre : prolongement par continuité

Proposition 2. Soitf une fonction numérique localement intégrables sur un intervalle[a, b[bornée telle quef est prolongeable par continuité en b, c’est à dire que f admet une limite finie à gauche deb, alors l’integrale généralisée

Z b a

f(t)dt converge.

Démonstration. f est prolongeable par continuité enb, soit fece prolongement sur l’intervalle fermé borné[a, b], pourx∈[a, b[,

Z x a

f(t)dt= Z x

a

f(t)dt.e Or la fonctionx7−→

Z x a

fe(t)dtest continue sur [a, b]donc admet une limite finie quandx tend vers b⁻ ce qui prouve que

Z b a

f(t)dt converge.

Exemple : Montrer que l’intégrale génralisée Z 1

0

sin(x)

x dt est convergente.

Réponse :

5 Prporiétés des intégrales généralisées convergentes

Les propriétés calculatoires de linéarité et de positivité présentées pour les intégrales sur [a, b]

restent vraies pour une intégration sur un intervalleI quelconque et se démontrent par des procédés analogues.

5.1 linéarité des intégrales généralisées convergentes6 CALCUL PRATIQUE DES INTÉGRALE GÉNÉRALISÉES

5.1 linéarité des intégrales généralisées convergentes

Soientf etg deux fonctions numériques localement intégrables surI = [a, b[. Pour tout(λ, µ)∈ R², si les intégrales généralisées

Z b a

f(x)dx et Z b

a

g(x)dx convergent, alors Z b

a

(λf(x) +µg(x))dx converge et on

Z b a

(λf(x) +µg(x))dx=λ Z b

a

f(x)dx+µ Z b

a

g(x)dx,

AttentionL’intégrale généralisée Z b

a

(λf(x) +µg(x))dx pourrait être convergente sans que les ap- plicationsf etg aient des intégrales généralisées convergentes sur[a, b[. L’égalité

Z +∞

1

1

t(t+ 1)dt= Z +∞

1

1 tdt−

Z +∞

1

1

t+ 1dt n’a pas de sens.

L’ensemble constitué des fonctions numérique localement intégrable sur [a, b[ dont l’intégrale sur [a, b[ converge est un R−e.v et l’application f 7−→

Z b a

f(x)dxest une forme linéaire définie sur cet espace.

5.2 Relation de Chasles

Soit f une fonction numérique localement intégrable sur [a, b[ et c ∈ [a, b[ Alors les intégrales Z b

a

f(x)dxet Z b

c

f(x)dx sont de même nature. De plus en cas de convergence on a : Z b

a

f(x)dx= Z c

a

f(x)dx+ Z b

c

f(x)dx

Démonstration. Il suffit d’écrire la relation de Chasles pour les intégrales simples entre a etxet de passer à la limite quandx→b⁻

On a bien sûr le même théorème sur tout les autres types d’intervalles.

6 Calcul pratique des intégrale généralisées

6.1 Utilisation d’une primitive

Sif est une fonction continue sur un intervale ouvert ]a, b[et si elle admet une primitive F sur cet intervalle, la convergence de l’intégrale

Z b a

f(x) dxéquivaut à l’existence des deux limites finies

x→blim

x<b

F(x) et_x→alim

x>a

F(x); et, si ces deux limites existent, on Z b

a

f(x) dx= lim

x→b x<b

F(x)−_x→alim

x>a

F(x).

6.2 Changement de variable

Théorème 1. Soit ϕ une bijection de classe C¹ de l’intervalle ouvert ]a, b[ sur l’intervalle ouvert ]α, β[; et soit f une fonction numérique continue sur ]α, β[. Pour que l’intégrale de f sur ]α, β[soit convergente, il faut et il suffit que l’intégrale de(f ◦ϕ)ϕ⁰ sur]a, b[soit convergente ; et on a alors :

Z β α

f(x) dx= Z b

a

f(ϕ(t))ϕ⁰(t) dt.

6.3 Intégration par parties7 CRITÈRES DE CONVERGENCE POUR LES FONCTIONS POSITIVES

6.3 Intégration par parties

Théorème 2. Soient u et v deux fonctions de classe C¹ sur [a, b[(a < b6 +∞). Si lim

x→b

<

u(x)v(x)

existe dansR alors les intégrales Z b

a

u(t)v⁰(t)dt et Z b

a

u⁰(t)v(t)dt sont de même nature, et en cas de convergence on a :

Z b a

u(t)v⁰(t)dt= lim

x→bu(x)v(x)−u(a)v(a)− Z b

a

u⁰(t)v(t)dt

Exercice : Montrer que Z +∞

π 2

sint t dt et

Z +∞

π 2

cost

t² dt sont de même nature.

Solution : La fonctiont7−→ sint

t est continue sur hπ

2,+∞h

. Posons u(t) = 1

t v⁰(t) = sint

u⁰(t) =−1

t² v(t) =−cost

Nous avons lim

x→+∞u(x)v(x) = lim

x→+∞

cosx

x = 0. Donc Z +∞

π 2

sint t dt et

Z +∞

π 2

cost

t² dt sont de même nature.

Nous verrons que ces deux integrales sont convergentes.

6.4 Critère de Cauchy

Proposition 3. (Condition de Cauchy) Soit f : [a, b[→ R une fonction localement intégrable sur un intervalle semi-ouvert[a, b[(i.e Riemann-intégrable sur tout segment [a, x],a < x < b). Pour que l’intégrale impropre

Z b a

f(x)dx soit convergente, il faut et il suffit qu’ à chaque ε >0 donné, on puisse faire correspondre un nombre c ∈ [a, b[ tel que les inégalités c < u < v < b entrainent

Z v u

f(t)dt 6ε.

Dans cette partie nous donnons les principaux critères de comparaison adoptès pour l’étude de la nature d’une intégrale généralisée. Pour la suite nous considérons que le cas des fonctions positives.

Pour les intégrales des fonctions négatives, il suffit de considérer la fonction−f; qui nous amène au cas des intègrales des fonctions positives.

7 Critères de convergence pour les fonctions positives

7.1 Critère de majoration et de comparaison

Proposition 4. Soit f une fonction numérique positive et localement intégrable sur [a, b[. Alors l’intégrale

Z b a

f(t)dtconverge si et seulement si la fonction x7−→

Z x a

f(t)dtest majorée. De plus on a pour toutx∈[a, b[,

Z x a

f(t)dt6 Z b

a

f(t)dt.

Autrement dit Z b

a

f(t)dt converge si et seulement s’il existe une constante réelle M >0 tel que

∀x∈[a, b[

Z _x

a

f(t)dt6M.

7.2 Critère d’équivalence7 CRITÈRES DE CONVERGENCE POUR LES FONCTIONS POSITIVES

Avant de faire la preuve, rappelons tout d’abord le résultat important suivant :

SiF est une fonction croissante de I = [a, b[dans Ret si F est majorée, alors la fonction F admet une limite finie en b.(Théoréme de la limite monotone).

Preuve. SoitF(x) = Z _x

a

f(t)dt pourx∈[a, b[.

Six < y F(y)−F(x) = Z _y

a

f(t)dt− Z _x

a

f(t)dt= Z _y

x

f(t)dt>0 donc F est croissante.

• Si Z b

a

f(t)dtconverge, alors lim

x→bF(x)existe dansRet on a lim

x→bF(x) = sup

x∈[a,b[

F(x). Or lim

x→bF(x) = Z b

a

f(t)dt. DoncF(x) est majoré (i.e∃M >0 tel que ∀x∈[a, b[: Z x

a

f(t)dt6M).

• SiF(x)est majorée alors lim

x→bF(x) est finie c’est à dire Z b

a

f(t)dtconverge.

Corollaire 1. (important) Soient f et g deux fonctions numériques positives et localement inté- grables sur[a, b[vérifiantf(t)6g(t) pour tout t∈[a, b[. Alors,

i) Si Z b

a

g(t)dtconverge, alors Z b

a

f(t)dt converge et dans ce cas on a : Z b

a

f(t)dt6 Z b

a

g(t)dt.

i) Si Z b

a

f(t)dt diverge, alors Z b

a

g(t)dt diverge.

Preuve. Pour x ∈ [a, b[ on pose F(x) = Z x

a

f(t)dt et G(x) = Z x

a

g(t)dt on a par la propriété de croissance appliquée àf 6g pourx∈[a, b[,

F(x)6G(x).

1 Si Z b

a

g(t)dtconverge alorsG(x)est majoré et Z x

a

g(t)dt6 Z b

a

g(t)dt, alors la fonctionFcroissante sur[a, b[est majoré d’où

Z b a

f(t)dt converge.

2 Si Z b

a

f(t)dt diverge, par les propriétés de positivité et de croissance on a lim

x→b x<b

F(x) = +∞ alors

x→blim

x<b

G(x) = +∞ par conséquent Z b

a

g(t)dt est divergente.

ExerciceDéterminer la nature de l’intégrale Z +∞

0

1 e^x+ 1dx On a : ∀x∈[0,+∞[,06 1

e^x+ 1 6 1 e^x. Or

Z _t

0

1 e^xdx=

Z _t

0

e^−xdx= [−e^−x]^t₀=−e^−t+1 →

t→+∞1. Donc Z +∞

0

1

e^xdxconverge et Z +∞

0

1 e^x+ 1dx converge.

7.2 Critère d’équivalence

Définition 6. Deux fonctions f et g définies à gauche de b ∈ R, sauf peut être en b (resp. au voisinage de+∞) sont équivalentes à gauche deb(resp. au voisinage de+∞) s’il existe une fonction définie à gauche debsauf peut être enb(resp. au voisinage de+∞) telle quef(x) =g(x)(1 +(x)) avec lim

x→b−(x) = 0(resp. lim

x→+∞(x) = 0).

7.3 Critère de négligeabilité7 CRITÈRES DE CONVERGENCE POUR LES FONCTIONS POSITIVES

Théorème 3. Soienta∈Retb tel quea < b6+∞.f etg deux fonctions positives, continue sur [a, b[. Si f et g sont équivalentes à gauche deb (resp. au voisinage de b = +∞) alors

Z b a

f(t)dt et Z b

a

g(t)dt sont de même nature.

Démonstration. Comme f(x) ∼

x−→bg(x), il existea⁰∈[a, b[tel que pour toutx∈[a⁰, b[on a 1 2g(t)6 f(t)62g(t). Le caractère locale de la convergence d’une intégrale, le caractère de comparaison et la linéarité fournissent le résultat.

Exemple1 On va déterminer la convergence de Z 1

0

sin(√ t) t dt.

Solution La fonctiont7−→ sin(√ t)

t est continue, donc localement intégrable sur]0,1].Par ailleurs, elle est positive et on va montrer la convergence en utilisant le critère d’équivalence.

sin(√ t)

t ∼

0

√1 t.Or

Z 1 0

√1

tdt converge (Intégrale de Riemann). Ceci prouve que Z 1

0

sin(√ t) t dt converge.

Exemple2 Etudier la convergence des intégrales Z 1

0

e^x−1 x^3/2 dxet

Z +∞

1

√ x

x⁵+ 1dx.

Solution • Convergence de Z ₁

0

e^x−1 x^3/2 dx.

La fonctionx7−→ e^x−1

x^3/2 est est continue et positive sur]0,1]et e^x−1

x^3/2 ∼

0

x

x^3/2 = 1 x^1/2. Or

Z 1 0

1

x^1/2dxconverge donc Z 1

0

e^x−1

x^3/2 dxconverge.

• Convergence de Z +∞

1

√ x

x⁵+ 1dx. La fonction x 7−→ x

√

x⁵+ 1 est est continue et positive sur[1,+∞[et

√ x

x⁵+ 1 = x

x^5/2 q

1 +_x¹5

= 1

x^3/2 q

1 +_x¹5

∼0

1 x^3/2

Or Z +∞

1

dx

x^3/2 converge donc Z +∞

1

√ x

x⁵+ 1dxconverge.

Exemple3 Etudier la convergence de Z 1

0

dt sint Solution La fonction t7−→ 1

sint est continue et positive sur ]0,1],et

On a 1

sint ∼

0

1 t Or

Z 1 0

1

tdt diverge, donc Z 1

0

dt

sintdt diverge.

7.3 Critère de négligeabilité

Théorème 4. Soienta∈Retb tel quea < b6+∞.f etg deux fonctions positives, continue sur [a, b[.

7.3 Critère de négligeabilité7 CRITÈRES DE CONVERGENCE POUR LES FONCTIONS POSITIVES

1. Si lim

x→b−

f(x)

g(x) = 0 et si Z _b

a

g(t)dt converge, alors Z _b

a

f(t)dt converge.

2. Si lim

x→b−

f(x)

g(x) = +∞ et si Z b

a

g(t)dt diverge, alors Z b

a

f(t)dt diverge.

En prenant pour fonction de comparaisonsgla fonctionx7−→ 1

x^α, on obtient les régles suivantes : Corollaire 2. Soitf une fonction positive et continue sur[a,+∞[avec a >0, on a :

1. Si f(x) ∼

+∞

k

x^α (k6= 0) alors Z +∞

a

f(x)dxconverge si et seulement si α >1.

2. S’il existeα >1tel que lim

x→+∞x^αf(x) = 0 alors l’intégrale généralisée Z +∞

a

f(x)dxconverge.

3. S’il existeα61tel que lim

x→+∞x^αf(x) = +∞ alors Z +∞

a

f(x)dxdiverge.

Exercice Etudier la nature des intégrales Z +∞

0

e^−t2dt, Z +∞

1

lnt t dt,

Z +∞

1

lnt t² dt.

Solution ∗ Etude de Z +∞

0

e^−t2dtLa fonctiont7−→e^−t2 est continue positive sur[0,+∞[. De plus

t→+∞lim t²e^−t2 = 0.

Or l’intégrale de Riemann Z +∞

1

1

t²dt converge (α = 2 > 1), l’intégrales Z +∞

1

e^−t2dt converge également.

La fonction t 7−→ e^−t2 est continue sur l’intervalle fermé borné [0,1], donc l’intégrale Z 1

0

e^−t2dt est convergente.

Par conséquent Z +∞

0

e^−t2dt converge.

∗ Etude de Z +∞

1

lnt

t dt La fonctiont7−→ ln(t)

t est continue positive sur [1,+∞[. De plus

t→+∞lim tlnt

t = lim

t→+∞lnt= +∞.

Or l’intégrale de Riemann Z +∞

1

1

t²dt est divergente (α = 1 6 1) alors Z +∞

1

logt t dt diverge.

∗ Etude de Z +∞

1

lnt t² dt.

Indication : lim

t→+∞t^3/2lnt

t² = lim

t→+∞

lnt

t^1/2 = 0 donc Z +∞

1

logt

t² dt converge.

Corollaire 3. Soitf une fonction positive et continue sur[a, b[,aetb∈R,a < b, on a : 1. Si f(x)∼

b

A

(b−x)^α (A∈R^∗) alors Z b

a

f(x)dxet Z b

a

1

(b−x)^αdxsont de même nature, donc Z b

a

f(x)dxconverge si et seulement si α <1.

8 INTÉGRALE ABSOLUMENT CONVERGENTE

2. S’il existeα <1tel que lim

x→b−(b−x)^αf(x) = 0 alors Z _b

a

f(x)dxconverge.

3. S’il existeα >1tel que lim

x→b−(b−x)^αf(x) = +∞etα >1alors Z b

a

f(x)dxdiverge.

Exercice

Donner la nature de Z 2

1

√ 1

x⁴−1dx.

Sur ]1,2] la fonction f : x 7−→ 1

√x⁴−1 est positive et continue et pour tout x ∈ ]1,2] on

a f(x) = 1

p(x−1)(x+ 1)(x²+ 1) = 1 (x−1)¹²p

(x+ 1)(x²+ 1)

donc lim

x→1(x −1)¹²f(x) = 1 2 et f(x)∼

1

1 2

1 (x−1)¹². Or

Z 2 1

1

(x−1)¹²dx converge donc Z 2

1

√ 1

x⁴−1dxconverge

Remarque 7.1. Si f 6 0 et continue sur [a, b[ alors −f > 0 sur [a, b[ et on a : Z _b

a

f(t)dt et Z b

a

(−f)(t)dt sont de même nature.

8 Intégrale absolument convergente

Définition 7. Soitf une fonction continue sur[a, b[oùa < b6+∞. L’intégrale Z b

a

f(x)dxest dite absolument convergente si

Z b a

|f(t)|dt converge.

Exemple L’intégrales Z +∞

1

cost

t² dt est absolument convergente.

La fonctiont7−→ cost

t² est continue donc localement intégrable sur l’intervalle[1,+∞[et pour toutt∈[1,+∞[nous avons

cost t²

6 1

t² et Z +∞

1

dt

t²dt converge (Rieman iciα= 2>1). Donc par le critère de majoration et comparaison l’intégrale

Z +∞

1

cost t²

dt est convergente. Donc Z +∞

1

cost

t² dt est absolument convergente.

Théorème 5. Une intégrale absolument convergente est convergente. De plus

Z b a

f(t)dt 6

Z b a

|f(t)|dt.

Preuve. Pour toutt∈[a, b[on a :−|f(t)|6f(t)6|f(t)|donc06f(t)+|f(t)|62|f(t)|

Z _b

a

|f(t)|dt

converge donc Z b

a

2|f(t)|dt converge et par suite Z b

a

(f(t) +|f(t)|)dt converge.

En écrivant f(t) = (f(t) +|f(t)|) − |f(t)| pour tout x ∈ [a, b[ et par linéarité des intégrales concergentes

Z b a

f(t)dt converge et on a :

9 EXERCICES

Z b a

f(t)dt = lim

x→b

Z x a

f(t)dt= lim

x→b

Z x a

(f(t) +|f(t)|)dt−lim

x→b

Z x a

|f(t)|dt

= Z _b

a

(f(t) +|f(t)|)dt− Z _b

a

|f(t)|dt

Exemple 1 L’intégrale Z +∞

1

cost

t² dt est convergente puisqu’elle est absolument convergente.

Exemple 2 L’intégrale généralisée Z +∞

1

2 sint−3 cost

t² dt est convergente.

Réponse ∀t∈[1,+∞[on a| 2 sint−3 cost

t² |6 5

t² or

Z +∞

1

1

t²dtconverge donc Z +∞

1

5

t²dt converge d’où Z +∞

1

| 2 sint−3 cost

t² |dt converge.

D’où Z +∞

1

2 sint−3 cost

t² dt converge.

Remarque : Il existe des intégrales généralisées convergente mais non absolument convergentes.

Par exemple l’intégrale généralisée Z +∞

1

sint

t dtconverge mais ne converge pas absolument.

Définition 8 (Intégrale semi-convergente).

Une intégrale généralisée est dite semi-convergente si elle est convergente sans être absolument convergente.

Exemple L’intégrale généralisée Z +∞

1

sint

t dtest semi-convergente.

9 Exercices

9 EXERCICES

Travaux dirigés

Exercice 1. Donner la nature de chacune des intégrales généralisées suivantes : I1 =

Z 1 0

sin(t)

t dt; I2 = Z 1

0

ln(t)

1−tdt; I3 = Z +∞

0

sin(t)

e^t−1dt; I4 = Z +∞

0

t+ 3−ln(t) t²+ 1 dt;

I₅ = Z 1

0

e^−t

t dt; I₆ = Z +∞

1

e^−t−e^−2t

t dt.

Exercice 2.Donner la nature et la valeur éventuelle de chacune des intégrales généralisées suivantes : J1=

Z 1 0

ln(x)dt; J2 = Z +∞

0

arctan(t)

1 +t² dt; J3= Z +∞

0

tⁿe^−tdt; J4= Z +∞

0

1 (1 +t²)√

tdt;

J5= Z +∞

0

ln(1 + 1

t²)dt; J6= Z +∞

0

ln(t) 1 +t² dt.

Exercice 3. SoientI = Z ^π

2

0

ln(sinx)dxetJ = Z ^π

2

0

ln(cosx)dx

1. Montrer la convergence des intégralesI etJ puis vérifier queI =J.

2. Montrer que2I = Z ^π

2

0

ln

sin(2x) 2

dx.

3. Endéduire queI =J =−πln(2) 2 .

Exercice 4. 1. Soitα >0. Montrer que l’intégrale Z +∞

1

sin(t)

t^α+1 dt converge.

Endéduire que l’intégrale Z +∞

1

cos(t)

t^α dt converge.(on pourra faire une intégration par partie.) 2. Montrer que l’intégrale

Z +∞

1

cos²(t)

t dt diverge.(linéariser ) Endéduire que l’intégrale

Z +∞

1

sin(t) t

dt diverge.

3. Vérifier quecos(t)

√t ∼

+∞

cos(t)

√t

1 +cos(t)

√t

Mais Z +∞

1

cos(t)

√t dtet Z +∞

1

cos(t)

√t

1 +cos(t)

√t

dt ne sont pas de même nature.

Exercice 5. SoitI = Z +∞

0

e^−x−e^−2x

x dx

1. Montrer queI est convergente.

2. Pourε >0, établir en posantx= 2t, la relation Z +∞

ε

e^−x−e^−2x

x dx=

Z _2ε

ε

e^−x x dx.

3. En déduire le calcul deI.

4. En déduire le calcul de Z 1

0

x−1

ln(x) dx. (on pourra poser x=e^−t) Exercice 6. (Fonction Gamma d’Euler)

1. Pour quelles valeurs de p∈Rla fonction p7−→Γ(p) = Z +∞

0

t^p−1e^−tdt est elle définie ? 2. A l’aide d’une intégration par partie, montrer que pour toutp >0,

Γ(p+ 1) =pΓ(p).

Endéduire queΓ(n+ 1) =n!pour tout n∈N.