Université de Picardie Jules Verne 2017-2018 M1 EEAII ViRob Robotique Industrielle
Fabio Morbidi Page 1/2
TD 3: Modèle cinématique et dynamique
Exercice 1 : Propriétés du produit vectoriel
Soient a, b, c, d ∈3, M ∈3 ×3et soit S(a) la matrice antisymétrique associée au vecteur a = [a1 , a2 , a3]T, à savoir:
Vérifier les propriétés suivantes du produit vectoriel "×":
• a × a = 0
• (αa) × b = a × (αb) = α(a × b), α∈ [multiplication par un scalaire]
• a × b = -b × a = -S(b)a [anticommutativité]
• a × (b + c) = (a × b) + (a × c) [distributivité]
• a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0 [identité de Jacobi]
• a × b + c × d = (a - c) × (b - d) + a × d + c × b [somme de produits vectoriels]
• S(a)S(b) = baT - 〈a, b〉I3
• a × (b × c) = 〈a, c〉b - 〈a, b〉c
• S(a × b) = S(a)S(b) - S(b)S(a) = baT - abT
• S((Ma) × (Mb)) = MS(a × b)MT
• (Ma) × (Mb) = det(M)(M-1)T (a × b) où M est inversible
Il est à noter que le produit vectoriel n'est pas associatif, mais qu'il satisfait l'identité de Jacobi.
Exercice 2 : Calcul du jacobien géométrique
Calculer le jacobien géométrique J∈6 ⋅×n des robots suivants:
• Manipulateur SCARA à 4 DDL
• Manipulateur cylindrique
• Poignet de type rotule
• Manipulateur planaire RRP
• Manipulateur anthropomorphe avec poignet de type rotule
• Manipulateur DLR
Exercice 3 : Étude dessingularités cinématiques
Vérifier que les valeurs des variables articulaires suivantes correspondent à des singulari- tés cinématiques pour les trois robots ci-dessous (conseil: étudier le rang du jacobien géométrique J):
• θ2 ∈ {0, π}, pour lemanipulateur SCARA à 4 DDL
• θ5 = 0 (à savoir, les axes z3 et z5 sont alignés), pour le poignet de type rotule
• θ3 ∈ {0, π} et {θ2, θ3 : a2 cosθ2 +a3 cos(θ2 + θ3) = 0}, pour lemanipulateur anthropomorphe
Dessiner chaque robot dans les configurations singulières.
Université de Picardie Jules Verne 2017-2018 M1 EEAII ViRob Robotique Industrielle
Fabio Morbidi Page 2/2
Exercice 4 : Modèle cinématique inverse
La vitesse linéaire de l'effecteur d'un manipulateur anthropomorphe est:
• Déterminer le vecteur des vitesses articulaires du manipulateur si θ1 = π/4, θ2 = π/4 et θ3 = π/6. Expliquer si nous sommes face à un cas régulier, redondant ou singulier
• Écrire une fonction Matlab qui prend en entrée les valeurs de θ1,θ2, θ3et la vitesse linéaire de l'effecteur, et qui retourne le vecteur des vitesses articulaires du robot
Exercice 5 : Modèle dynamique a) Système masse-ressort
Considérez une masse m accrochée à l'estrémité d'un ressort de longueur à vide ℓ et de constante de raideur k (voir la Fig. 1). Notons y la coordonnée verticale de la masse mesurée par rapport au sommet du ressort. Supposons que le mouvement de la masse soit uniquement dans la direction verticale. En sachant que l'énergie cinétique et potentielle du système sont, respectivement:
où = 9.81 m/s2 est l'accélération de la pesanteur:
• Déterminer le modèle dynamique du système en l'absence de frottements et de forces externes, en utilisant la formulation de Lagrange
• Quelle-est la solution générale de l'équation du mouvement ? b) Pendule élastique
Considérez le même ressort du point a), mais cette fois-ci supposez que la masse puisse aussi osciller latéralement. Introduisons les coordonnées polaires (r,θ) où r est la longueur du ressort etθ est l'angle du pendule élastique par rapport à la verticale. En sachant que le lagrangien du système est:
• Écrire les équations du mouvement du système en l'absence de forces généralisées
• Déterminer les points d'équilibre du système (à savoir, les configurations où toutes les dérivées par rapport au temps sont nulles). Quel point d'équilibre est stable/instable ?
Figure 1: Système masse-ressort.
˙
pe = [10, 5, 1]T cm/s
