C ( K ) etpropriétésdemoyennesassociées Solutiond’unproblèmesurlesitérésd’unopérateurpositifsur C F G C

(1)

A NNALES DE L ’ ^INSTITUT F ^OURIER

G ^USTAVE C ^HOQUET C IPRIAN F OIAS

Solution d’un problème sur les itérés d’un opérateur positif sur C(K) et propriétés de moyennes associées

Annales de l’institut Fourier, tome 25, n^o3-4 (1975), p. 109-129

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(2)

Ann. Inst. Fourier, Grenoble 25, 3 et 4 (1975), 109-129.

SOLUTION D^UN PROBLÈME SUR LES ITÉRÉS D'UN OPÉRATEUR POSITIF SUR e(K) ET PROPRIÉTÉS DE MOYENNES ASSOCIÉES

par Gustave CHOQUET et Cyprian FOIAS

Dédié à Monsieur M. Brelot à V occasion de son 70e anniversaire.

Histoire du problème.

En 1955, à l'occasion de ses recherches avec Jacques Deny sur la théorie du potentiel, Choquet rencontra le problème suivant : Soit T un opérateur linéaire positif de ^(K) dans lui-même (où K est un espace compact) tel que pour tout x de K, lira (T"!)^) == 0$ est-ce que la suite des T"! converge uniformément vers O?

Si cela est exact, il est immédiat que la convergence de [IT*! vers 0 est de type exponentiel, ce qui entraîne que, pour tout /"e^K), ^ T ^ e ^ K ) , donc que S T" est un

0 0

bon « noyau élémentaire » de la théorie du potentiel. Ce sera le cas par exemple si T est un opérateur positif de ^(K)

00

tel que, pour tout x e K, ^ (T"!)^) < oo, car alors

0

lim CPl)^) == 0.

Choquet montra, par un raisonnement basé sur une récur- rence trans finie, que la réponse à son problème est positive lorsque T est un opérateur « presque-multiplicatif », c'est- à-dire tel que, pour tout fe ^(K), on ait :

T f ^ a . ^ o c p ) , où a e ^ + ( K ) et 9 e <^(K, K).

(3)

110 GUSTAVE CHOÇUET ET CYPBIAN FOIAS

Notons que si Tl = a > 0 sur K, un tel noyau n'est autre qu'un opérateur positif sur ^(K) vérifiant l'identité fonctionnelle :

Tf.Tg = Tl.T(/g) pour tous f, g e <^(K).

Choquet remarqua, dans ce cas particulier, que la conclusion reste valable lorsque la condition : « Vx e K, lim (T"l)(o;) = 0 » est remplacée par la condition plus faible : « Vrr e K, 3n, (T"!)^) < 1 ». Enfin, en suivant la suggestion de J. Neveu d'utiliser un théorème de Frobenius relatif aux matrices positives, il démontra son énoncé général sous cette condition affaiblie, lorsque K est un ensemble fini.

En Juin 1972, dans une conférence à l'Institut de Mathé- matiques de Bucarest consacrée à divers problèmes d'Analyse fonctionnelle, Choquet rappela son problème. Cyprian Foias aperçut alors plusieurs applications, à la théorie ergodique, du résultat de Choquet sur les opérateurs presque-multiplicatifs, puis donna une démonstration complète de la conjecture géné- rale, d'abord sous l'hypothèse initiale, puis sous l'hypothèse affaiblie.

Peu de temps après, Choquet, désireux d'obtenir une démons- tration plus élémentaire, utilisa, d'après une technique de Mokobodzki, la suite des fonctions g^ == inf (Tl, T2!, . . ., T"l), et obtint effectivement une démonstration élémentaire et simple. Enfin, en s'aidant d'un opérateur auxiliaire T + si, où e est petit, Mokobodzki simplifia encore un peu cette démonstration.

Le présent travail contient d'abord ces deux dernières démonstrations, puis la démonstration d'un énoncé de même type, mais avec des hypothèses opposées : Si Va; e K, 3n tel que (T"!)^) > 1, la suite des T1! tend uniformément vers 4" oo. Suivent des interprétations de ces théorèmes dans des cas particuliers.

On en fait enfin plusieurs applications à l'étude des moyennes

/ft-l \ / J-

( S T Y j / n et des racines (TY) n ; on donne en particulier

\ 0 //^

sieurs critères de convergence uniforme de ces suites, et on pose quelques problèmes.

(4)

P R O B L È M E SUR LES ITÉRÉS D ' U N OPÉRATEUR POSITIF SUR (°(K:) 111

Les deux théorèmes de base.

Soient K un espace topologique compact, et ^(K) l'espace vectoriel des fonctions réelles continues sur K, muni de la norme uniforme. On désigne par T un opérateur linéaire positif de ^(K) dans lui-même, et par Pô, P^ les propriétés suivantes éventuelles de T :

PO : Pour tout x de K, il existe un entier n > 0 tel que {Ti^x) < 1.

P^ : Pour tout x de K, il existe un entier n > 0 tel que (T-l)^) > 1.

PO se traduit aussi par inf^T"! : n > 0} < 1, et P^ par sup {T1! : n > 0} > 1.

Par exemple, si pour tout x, la suite des T^l converge simplement vers une fonction f à valeurs dans [0, oo], et si f < 1 partout, Pô est vérifiée; par contre, si f > 1 partout, P^ est vérifiée.

Lorsque T est presque-multiplicatif, avec {Tf){x)=^x).f^{x))

pour tout x, où a e ^"(K) et çp e ^(K, K), on a : (T^1!)^) = a(^)a(^) . . . a(^), où ^ == ^(x).

Donc, dire que lim (T71!)^) = 0 (resp. + oo), signifie que le produit infini des a^") converge vers 0 (resp. -|- °°)- THÉORÈME 1. — Lorsque l'opérateur positif T a la propriété PO, la suite des Tl converge uniformément vers 0.

1^ preuve. — Posons ^ = inf (Tl, T2!, . . ., T"!); d'après la propriété Pô et la compacité de K, il existe un entier r tel que gr ^ 6, où 6 est un nombre < 1.

1) Comme gr ^ T1! pour 0 ^ i ^ r, on a aussi Tg, ^ T1!

pour 1 ^ i ^ r, d'où Tg, < inf (Tl, . . ., Tl) -== g,; autre- ment dit, Tgy. ^ gr', il en résulte que la suite des T*gr est décroissante.

(5)

112 GUSTAVE CHOÇUET ET CYPRIAN FOIAS

2) De la relation g, ^ 6 il résulte T1^ < QTi pour tout i, d'où d'après la décroissance des premiers membres :

T-g, ^ 6 inf T1! = 6g,

i<r

II en résulte T^gp ^ 6^, donc la suite décroissante des T^g^ tend uniformément vers 0.

3) II existe évidemment un nombre a ^ 1 tel que Tl ^ a.l d'où aussi, pour i ^ r, Tl ^ a-T1!, donc T-l ^ a-g,, d'où aussi T^i < a^Tg,. Comme d'après (2) la suite des T^gp tend uniformément vers 0, il en est de même de la suite des T^.

2e preuve. — Comme dans la preuve ci-dessus, notons r un entier tel que g == inf (Tl, . . ., Tl) < 1.

Il existe évidemment un nombre a e ]0, 1[ assez petit pour que, en posant T = T + a!? on al! :

g - i n f ( t l , ...,1-1) < 1.

Comme g ^ T1! pour 0 ^ i ^ r, on a aussi îg ^ T1! pour 1 < i^ r, d'où tg ^ inf (tl, . . . . T-l) = g; autre- ment dit, Tg ^ g, soit encore :

Tg + ag ^ g ou Tg ^ (1 - a)g

On en tire T"g ^ (1 — a)"g pour tout n ^ 1, d'où puisque g ^ a-, T"l ^ (1 — a^a^g, suite qui converge uniformément vers 0.

THÉORÈME 2. — Lorsque Fopérateur positif T a la propriété P^, fa 5u^e (ies T"! converge uniformément ^ers -{- oo.

Preuve. — Pour abréger, nous donnerons ici une seule preuve.

D'après la propriété P^ et la compacité de K, il existe un entier r tel que : g == sup (Tl, T2!, . . ., FI) > 1.

Il existe évidemment un nombre a e ]0, 1[, assez petit, pour que, en posant T = (1 ~ a)T (donc T est positif), on ait aussi :

g = s u p ( t l , ...,t-l) > i.

Comme g > T'i pour 0 a$ i < r, on a aussi Tg ^ T'1

(6)

P R O B L È M E SUR LES ITÉRÉS D'UN O P É R A T E U R POSITIF SUR (°(K) 113

pour 1 ^ i ^ r, d'où tg ^ sup (tl, . . ., Tl) == g; autre- ment dit, Tg > g ; soit encore :

Tg ^ (1 — a)-^, d'où T'g > (1 — a)-^ pour tout n ^ 1, d'où T"! ^ (1 — ^""gllgil"1? suite qui converge uniformément vers + °°? puisque (1 — a)"1 > 1 et g > 1.

Conséquences des théorèmes 1 et 2.

Commençons par deux corollaires directs.

COROLLAIRE 3. — Soit T un opérateur positif sur ^(K) et soit p son rayon spectral lim JT'1!17'1; alors

P o ^ ( p < 1) et P,-^(p > 1) (l9 implication inverse étant fausse).

COROLLAIRE 4. — 77 n^est pas possible^ pour un opérateur positif T que^ pour tout x e K, i7 existe des entiers p, g > 0 (e^ g^ (T^)^) < 1 et T^Çx) > 1.

Remarque 5. — 1) La fonction 1 joue dans les énoncés des théorèmes 1 et 2 un rôle qui peut paraître arbitraire; de fait, on peut la remplacer par n'importe quelle fonction fixe f > 0 de ^"(K); les énoncés Pô et P^ correspondants sont alors respectivement :

Pour tout x de K, il existe un entier n > 0 tel que (TY)(^) <f[x) (resp. > ) .

Les théorèmes 1 et 2 et par suite les corollaires 3 et 4 relatifs à cet f s'obtiennent, soit en modifiant un peu les démons- trations ci-dessus, soit plus simplement en remarquant qu'on passe des énoncés relatifs a i , à ceux relatifs à /*, en rem- plaçant T par A^TA, où A est l'automorphisme de ^(K) défini par A(g) == /g.

Par contre, la condition f > 0 ne peut pas être remplacée par la condition plus faible f > 0, même lorsque T est presque-multiplicatif, et même lorsque la suite des T"/*

(7)

converge simplement vers 0 : On le vérifiera sur l'exemple suivant : K = [0, l], T est l'opérateur défini par

(Tg)(o;) = g(^),

et / est n'importe quelle fonction continue telle que

AO) = f(i) = o.

2) Le théorème 1 s'étend à tout opérateur linéaire positif sur le cône ^^(K) des fonctions positives bornées s.c.s.

sur K; et le théorème 2 s'étend à tout opérateur positif sur le cône ^^"(K) des fonctions positives bornées s.c.i. sur K.

Les démonstrations restent les mêmes.

Voici maintenant une application, fort utile pour la suite, des théorèmes 1 et 2. Posons pour cela :

j,

g, == (T"l) n ; y = lim inf g,; F = lim sup g^

n>oo n>oo

Remarquons, pour éclairer l'énoncé qui suit, que si a et A désignent le minimum et le maximum de Tl, on a évidem- ment : a" ^ T"! < A", d'où a < g^ ^ A, d'où aussi

a ^ y ^ F ^ A.

Remarquons enfin que pour toute f e ^(K) avec f > 0, si m, M désignent son minimum et son maximum, on a : mT*! < TY < MT»1 ou (1 + e,)g, ^ (T^ ^ (1 + <)gn.

où les £„, e^ tendent vers 0 avec 1/n. En particulier, la j_

suite des (TY) n a mêmes lim. inf. et sup. que (gj.

COROLLAIRE 6. — Soit T un opérateur positif sur ^(K), et soit f e ^ K ) , f > 0. Alors:

lim fmax (TY)^ == sup (y) == sup (F).

n>oo L K. J K K

On a une égalité analogue en remplaçant max et sup par min et inf.

(8)

P R O B L È M E SUR LES ITÉRÉS D ' U N OPÉRATEUR POSITIF SUR (°(K) 115

1.

Preuve. — La remarque ci-dessus relative à (TY) " montre qu'on peut se borner au cas /*==!. Notons alors : k^ === max g^;

À === sup y ; (A == lim sup A*^ ; on a : K K. n->00

X < sup F ^ [A; X ^ lim inf k^ ^ pi.

K. n>oo

Pour tout s > 0, posons Tg == (X + e)""1'!'; alors:

lim inf (T^)^ ^ À/(X + s) < 1,

n>°o

donc inf (T^l) = 0.

A

En vertu du théorème 1, on a : lim||T?l|l - 0 ;

n>oo

en particulier pour n assez grand on aura : maxT^l < 1,

K

donc (JL ^ X + e pour tout s > 0, d'où (JL ^ X, ce qui achève la preuve.

La seconde partie de l'énoncé se démontre de même en appliquant le théorème 2.

COROLLAIRE 7. — Soit T un opérateur positif sur ^(K), j_

et soit fe^{K), avec f > 0. Alors si (TY) n converge sim- plement vers une constante^ la convergence est uniforme.

Preuve. — Soit X la constante de l'énoncé. Alors d'après le corollaire 6, on a :

lim fmax (TY)^] = À = lim [min (TY^I

n>oo L K -• n>3o L ^ J

d'où la conclusion.

Remarque 8. — 1) Dans cet énoncé on ne peut pas supposer seulement que f > 0. En effet, prenons K == [0, 1] et notons T l'opérateur défini par Tf{x) == af(x2) ; alors

(TY)^) = af^W

(9)

116 GUSTAVE CHOÇUET ET C Y P R I A N FOIAS

(on suppose a > 0). Donc si f(0) = f(l) = 0, avec f déri- j_

vable en 0, la suite des (T")n converge simplement vers la j_ j_

constante 0, mais puisque [[(TY)" ||=== a\\f\\n, la conver- gence n'est uniforme que si f == 0.

2) On peut modifier un peu cet exemple pour montrer que j_

même si (TY) n converge simplement vers une constante

> 0, il peut ne pas y avoir convergence uniforme lorsque f a des zéros : il suffit de conserver le même T et de prendre pour f une fonction positive quelconque ayant des zéros, mais telle que f(0) == f{l) = 1.

Remarque 9. — Les théorèmes 1 et 2 précisent le compor- tement des T^l et ^nf lorsque l'on sait que T vérifie Pô ou P^; mais c'est un problème bien différent que de savoir si une T donnée vérifie Pô ou P^,; toutefois, on peut répondre de façon assez complète à cette question dans certains cas particuliers.

Prenons par exemple K = le tore R/Z de dimension 1 ; soit 9 la rotation x -> x + 9, où 9 est un nombre irra- tionnel, et soit a un élément de ^(K) avec a > 0. Dési- gnons par T l'opérateur presque-multiplicatif défini par

Ty=a.(/*o<p).

On a ici (T1!)^) = a(^)a(a; + 6 ) . . . ^{x + (n — 1)9).

Posons (3(o;) = Loga(^); de a > 0 résulte que (3 e ^(K).

Posons k = f p ( ^ ) dt, l'intégrale étant relative à la mesure de Haar de K. (n-i>

Si l'on pose T^) = Log (T'l)(^) = S P ( ^ + ^ ) , une pro-

0

priété classique de l'intégrale de Riemann montre que la suite des fonctions r^/n converge uniformément vers la fonction constante /c.

Or, les théorèmes 1 et 2 montrent que, si Pô (resp. P^) est vérifié, rjn est, à partir d'un certain n, inférieure à une constante < 0 (resp. supérieure à une constante > 0) ; et la réciproque est évidente ; autrement dit :

Le critère pour que Pô (resp. P^) soit vérifié est que k < 0 (resp. k > 0).

Reste à préciser le comportement de la suite des T"l

(10)

PROBLÈME SUR LES ITÉRÉS D'UN OPÉRATEUR POSITIF SUR (°(K) 117

(ou encore des rj lorsque k = 0. Les théorèmes 1 et 2 permettent d'affirmer ceci :

Lorsque k == 0, chacun des ensembles

{x: Vn, T^) < 0} et {x: Vn, T^) > 0}

es( mm vide.

Pour poursuivre l'étude du cas k === 0, il est commode d'utiliser le développement de |3 en série de Fourier Sa^e217^;

un calcul élémentaire montre que si la série des . . . n6-1

l ^ n l - Sin-y

est convergente, la suite des T^ est bornée. Pour un (3 donné, qui ne soit pas un polynôme trigonométrique, l'ensemble des 9 tels que la suite des T^ ne soit pas bornée, ni supérieurement, ni inférieurement est un Gg et comme il contient des rationnels partout denses (remarque de Kahane), c'est un résiduel de [0, 1]. Il serait intéressant de savoir si la suite des T^ peut être bornée intérieurement sans l'être supérieurement; la seule chose facile à montrer est qu'il existe tout un résiduel de fonctions P dont chacune admet un résiduel de valeurs de 6 pour lesquelles la suite des T^

contient une sous-suite qui converge uniformément vers 0.

Signalons, pour terminer cette remarque, que ses deux énoncés s'étendent à tout opérateur T presque multiplicatif sur un compact quelconque sur lequel n'existe qu'une seule mesure de probabilité [L invariante par 9 ; les deux énoncés sont alors valables en prenant k == (Ji((3).

Étude des moyennes S^

pour un opérateur T quelconque.

Les théorèmes 1 et 2 constituent pour cette étude un outil commode. Pour toute f e ^(K) et pour tout entier n > 0, nous poserons :

S { = ( f + T / - + •••T}-i)/n

L'énoncé suivant est un cas particulier d'un théorème ergodique abstrait bien connu :

(11)

118 GUSTAVE C H O Q U E T ET C Y P R I A N FOIAS

THÉORÈME 10. — Si la famille des opérateurs T" est équi- continue (ce qui équivaut à dire que la famille des fonctions T'1! est équi-bornée)^ et si la suite des S{ converge simplement vers une fonction continue, la convergence est uniforme.

De plus Vensemble des f ayant cette propriété est l9espace vectoriel Ker (I — T) © Im (I — T).

Si l'on abandonne l'hypothèse d'équicontinuité des T", la conclusion peut être différente :

Exemple 11. — On prend K == [0, l], et T est l'opérateur presque multiplicatif défini par (T/*)(^) == 2/*(rc2). Lorsque f(Q) = ^(1) == 0, avec f dérivable en 0, la suite des S{

converge simplement vers 0, mais non uniformément si

f=^°-

Dans cet exemple, ni f ni la limite des S{ ne sont > 0;

pour voir plus clairement la raison de la non-uniforme convergence, nous avons besoin d'une sorte de réciproque du théo- rème 10 :

Pour /'e^^K), notons df la fonction lim int S{.

n>ao

LEMME 12. — Si l'on note m, M les bornes inférieure et supérieure de cj- [où fe^iK)) on a pour tout p > 0 : mr!pi. ^ M [donc si m, M G ]0, oo [, la suite des T^ est équi- continue).

Preuve. — Pour tout x e K et tout entier p > 0, soit [L^p la mesure S^TP définie par pi^p(g) == T^g

De l'identité élémentaire :

^'( ^T )-^tp^'+•••.-• [n-^}

on déduit d'après le théorème de Lebesgue-Fatou : (T/a;) = lim inf [A,,p(S{) > ^,p(o/),

n->oo

d^où M > ^ll^pll pour tout Xy ou encore m^pi. ^ M.

On en déduit, d'après le théorème ergodique 10 :

THÉORÈME 13. — Pour un opérateur T quelconque^ et /'e^'^K), si la suite des S{ converge simplement vers une

(12)

P R O B L È M E SUR LES ITÉRÉS D^UN OPÉRATEUR POSITIF SUR 6(K) 119

fonction continue > 0, ^a suite des T71 e5( équicontinue, et la convergence des S{ est uniforme.

Prenons maintenant f = 1, pour simplifier. Nous remar- quons que si inf {Si : n > 0> < 1, on a aussi

inf {T1!: n > 0} < 1;

donc, d'après le théorème 1, la suite (T1!) converge unifor- mément vers 0, donc aussi la suite (Si). De même, d'après le théorème 2, si sup {Si} > 1, la suite (Si) converge uni- formément vers -)- oo.

Si donc on cherche un exemple d'opérateur T ^ 0 tel que (Si) converge de façon non uniforme vers une fonction continue CT, il faudra que :

a) la suite des T" ne soit pas équicontinue,

b) a prenne la valeur 0, des valeurs non nulles arbitrai- rement petites et des valeurs ^ 1,

—i

c) que a (0) soit T-stable : conséquence de l'inégalité :

^(x) ^ ^x,pW,

d) qu'il n'existe aucun voisinage fermé de cr (0) qui soit T-stable et sur lequel a < 1.

On pourrait commencer à chercher cet exemple parmi les opérateurs presque-multiplicatifs. Ils sont particulièrement commodes ici; en effet, si T est défini par un couple (a, 9) on vérifie l'identité a{x) = a(rc)<7(<p(;r)); donc si a > 0, le

—i

complémentaire de a (0) est stable par 9, de même que

—i

a (0). Et enfin, pour tout x dans ce complémentaire on a (en posant x"- == 9"^)) :

Si(^) = [1 + a(o;) + ... + a(^) . . . a^-2)]/^

- <^) [? ^l)")/^ - ^)S^)

L. o J/

ou plus simplement : Si = crSi^.

14. Cas particulier des opérateurs T de la forme f -> f o (p. _ Nous en avons étudié un exemple dans la remarque 9. Il s'agit d'un cas particulièrement simple du cas où les T"!

valent 1 pour tout n'y aussi peut-on ici se poser des pro-

(13)

blêmes plus précis tels que la recherche des fonctions f pour lesquelles il y a convergence de la suite (S{), où

S { - ( /l+ ^ < P + • • • +^<Pft-l)/.

Indiquons seulement dans ce sens quelques énoncés élé- mentaires : Désignons par M^ l'ensemble des mesures (JL de probabilité sur K invariantes par y, i.e. telles que

9([i) == (x.

— Si M^ contient un seul élément (A, la suite des S{

converge uniformément vers la constante (JL(/*).

— Pour tout élément extrémal (JL de M^, la suite des S{ converge pi-presque partout vers ^(/>).

Enfin voici un énoncé commode déduit des théorèmes 1 et 2, et concernant ces sommes S{ particulières :

COROLLAIRE 15. — Pour toute <p e ^(K, K) et toute fe ^(K), on a: lim ("max S{\ == sup /lim sup S{\ = sup /lim inf S{\.

n>oo \ K / K \ n>oo / K. \ n>ao /

On a une égalité analogue qu^on obtient en remplaçant max, sup et inf, par min, inf et sup.

Preuve. — On applique le corollaire 6 à l'opérateur presque- multiplicatif T défini par :

(Tg)(a;)==exp/'(^)[go<p(a;)]

pour tous g e ^(K) et x e K, en remarquant que S{ == Log TPl.

Etude de la suite des (T"!)'i-1.

Ces fonctions sont l'analogue multiplicatif des moyennes Si et S{ étudiées ci-dessus. Nous en avons commencé l'étude avec les corollaires 5 et 6; ceux-ci mettent en évidence une

1.

raison de l'intérêt des (T71!)n : c'est que lorsque les T"!

convergent vers 0 ou + oo, on peut obtenir un rensei- gnement supplémentaire sur la rapidité de convergence en étudiant leurs racines n-ièmes.

(14)

P R O B L E M E SUR LES ITÉRÉS D'UN OPÉRATEUR POSITIF SUR (°(K) 121

Nous allons voir que le corollaire 7 peut se généraliser dans plusieurs directions.

Pour x G K, (JL^ désignera encore la mesure 8^T, et plus généralement (A^p == S^T^ et nous utiliserons les notations ën^ Sf Y? ^? introduites pour le corollaire 6.

LEMME 16. — 1) Pour tout a e K, on a:

y(a) ^ (sup essentiel de y? relatif à (JiJ.

2) Pour <ou( /c ^ 0, les ensembles {x : ^(x) < k} et {x : y^) ^ ^} ^0^ T-stables, i.e. portent p,^ rf^ qu^ils contiennent x.

Preuve. — 1) Posons A* == (sup (la-essentiel de y) ; il suffit de considérer le cas où k > 0.

Pour tout s > 0, il existe une partie P de K, (J^-mesu- râblé avec pia(P) ^ 0, et un entier N, tels que n ^ N entraîne: g^ ^ (k — e) sur P, d'où

(T^l)(a) == (..(g;) ^ {k- s)^(P).

II en résulte que lim inf g^ ^ (^ — e) pour tout s > 0, d'où Y(^) > ^.

2) Cette seconde propriété découle immédiatement de (1).

COROLLAIRE 17. — Pour toute f > 0 universellement intégrable, on a T(/Y) ^ ïT(/).

Preuve. — Dans cet énoncé Te est défini par (Tc){x) = ^(c).

Alors, pour tout a e K, si k == (sup ^••ess^ntlel de ï)?

on a bien :

(T/r)(a) = ^(/-y) < /c(x,(^) = k{Tf){a) < Y(a)(T/-)(a) PROPOSITION 18. — Soit a £ K, ^ posons k == (sup (JL^^^^' tiel de y)- *S'1 Xk =1 {x : ï^) ^ ^} e^ fermée on a

k == y(a) == F(a).

Preuve. — Si ^ == 0, c'est trivialement vrai; on suppose donc pia 5e 0. Comme X^ est fermé, et T-stable d'après

(15)

le lemme 16, on peut lui appliquer le corollaire 6. Donc pour tout s > 0, et pour tout n assez grand, on a : g^ ^ (k + e) sur Xfc, qui porte ^; on a donc:

TH-^O) = ^(g;) ^ (À. + e)^J, d'où y(a) ^ F(a) ^ (k + e).

Comme e est arbitraire et qu'on sait déjà que k < y(a), on a bien :

y(a) ^ F(a) ^ k ^ Y(^), d'où l'égalité.

COROLLAIRE 19. — Supposons y s.c.i.; alors:

1) On a y = F == g, c'est-à-dire que la suite (gj converge.

2) Pour tout aeK et tout entier p > 0, ( m a :

g(a) == (sup ^ g 5W fc support de ^ p) == (sup ^ g sur la réunion des supports des ^ a , p ) '

3) La suite (gj est uniformément convergente supérieurement {en ce sens que pour tout s > 0, on a g^ ^ g + e pour tout n assez grand).

Preuve. — Le (1) résulte de la proposition 18; le (2) pour p == 1 résulte du lemme 16.1 et du fait que g est s.c.i.;

pour p quelconque, il résulte de ce que, si l'on remplace T par T^ g est remplacé par g1'; démontrons le (3) :

Soit Xp == {x: g(x) ^ ps}, où p est un entier positif quelconque. Comme Xp est T-stable, il existe (corollaire 6) un entier np tel que {n ^ np) entraîne g^ ^ (p + l)e sur Xp.

Or g étant bornée, K est réunion d'un nombre fini d'ensembles Xp; posons N = sup {n?}; pour tout n ^ N, on a sur chaque (Xp^\Xp) :

g^ (p + 2)s ^ g + 2e

Comme cette inégalité est vraie en tout point de K, (3) est démontré.

COROLLAIRE 20. — 1) Si y est s.c.i., on a ^Ça) = sup y pour tout point a pour lequel K = {réunion des supports des [L^p) ; si y est continue, il suffit que K soit la fermeture de cette réunion.

(16)

P R O B L È M E SUR LES ITÉRÉS D'UN O P É R A T E U R POSITIF SUR (°(K-) 123

2) Si ceci a lieu pour tout a, y est une constante et la suite (gj converge uniformément.

C'est immédiat à partir du corollaire 19.

COROLLAIRE 21. — Si K est un ensemble fini, on a y = F;

et de plus y = constante lorsque pour tout a e K, la réunion des supports des pi^p est K tout entier.

Exemple 22. — Voici un exemple, simple mais instructif, dans lequel y es^ s.c.i. sans être continue: K == [0, 1];

^ == x8^ + 2(1 — X)SQ pour tout x e [0, 1]. Pour l'opérateur T associé à ces (JL^., y vaut 2 sur [0, 1[, avec y(l) = 1.

Étudions maintenant quand l'inégalité T(y/*) ^ ïT(/*) peut être remplacée par une égalité.

PROPOSITION 23. — Soit 9 une fonction numérique bornée universellement mesurable sur K; les énoncés suivants sont équivalents :

1) Pour toute / ' G ^ + ( K ) , on a T(ç/1) = çT(/1).

2) Pour (ouï scalaire k, Vensemble X === {x : cp(.r) == /c}

est T-stable (i.e. i7 por(e ^ pour (ouf ^ e X).

Preuve. — (1) signifie que pour tout a e K on a :

^a(/y) ^ 9(^WiO,

autrement dit 9 . ^ = 9 ( 0 ) ^ ? c'est-à-dire que ^-presque partout on a 9 = 9(0), autrement dit que ^ est portée par

{x: 9(0;) = 9(ûQL ce qui équivaut à (2).

PROPOSITION 24. — 5i y est continue et si T(y/*) == yT(/*) pour toute fe^^K), les g^ convergent uniformément vers y.

Preuve. — Pour tous scalaires /c^, k^ le fermé X == {x: A-i ^ y(rc) ^ A-a}

est T-stable d'après la proposition 23.

Donc d'après le corollaire 6, pour tout s > 0 et pour tout n assez grand, on a sur X : (/c^ — e) ^ g^ ^ (A-a + s). La

(17)

124 GUSTAVE CHOQUET ET CYPRIAN FOIAS

convergence uniforme cherchée en résulte aussitôt. On pourrait penser qu'inversement la convergence uniforme des g^ vers y entraîne T(y/*) == ïT(/1) identiquement; nous allons voir qu'il n'en est rien en prenant K fini (d'où ^ = F d'après le corollaire 21).

Exemple 25. — K = {0, 1} et [L^= 2§i + §o, Yo = 80.

On vérifie que :

(T^l) = 2^ - 1 et (T1!)^) == 1.

Donc y(l) = 2 et y(0) == 1; donc l'ensemble {1}= {x:^x)=2}

n'est pas T-stable.

A ce stade, nous pouvons poser le problème général auquel nous apporterons quelques réponses partielles.

î_

PROBLÈME 26. — Si la fonction y = lim inf (T71!) n associée à un opérateur positif T sur K est continue (ce qui entraîne

i^

Y = r == g), est-ce que les gn = (T^l) n convergent unifor- mément vers y?

Voici une réponse positive complète dans un cas particulier : THÉORÈME 27. — Pour tout opérateur presque-multiplicatif T, si y est continue, les g^ convergent uniformément vers y*

Preuve. — De façon plus générale, T étant défini par un couple (a, 9), on vérifie que, pour tout x tel que a(:r) ^ 0 on a :

ï(^) - ï(9(^)) et F{x) = r(q)(^))

Donc pour tout scalaire k ^ 0, les ensembles { y == k}

et { F === k} sont T-stables. _^

Donc si y est continue, tout ensemble X = vd^i? ^2]) est un fermé T-stable; il en résulte, d'après le corollaire 6, que pour tout s > 0, on a sur X, pour tout n assez grand : (min de y sur X) — s ^ g^ ^ (max de y sur X) + s. D'où la convergence uniforme annoncée.

Lorsque Tl > 0, ce qui équivaut à a > 0, le théorème

(18)

PROBLÈME SUR LES ITÉRÉS D'UN OPÉRATEUR POSITIF SUR (°(K) 125

ergodique 10 fournit une autre démonstration. Il suffit de l'appliquer à Log g^ == SJ?, où (î = Loga.

Nous allons maintenant aborder le cas général.

LEMME 28. — On ne fait aucune hypothèse sur T ni sur y- On se donne une partition de K en deux compacts Ko, K^;

on pose ko = sup {y(^) : x e Ko}, A*i = inf {y(^) '' x e K^}

et on suppose que kç < /Ci.

Alor^ si Von note T l'opérateur sur ^(K^) défini par T(f) = T(/i), ou f\= f sur Ki, ^ fi == 0 sur Ko, OM a

aussi k^ == inf {y(^) : rc e K^}.

2?n particulier, pour tout s > 0, on a gn ^ gn ^ (^i — £) sur KI, pour (ou( n assez grand.

Preuve. — Notons (î la fonction sur K qui vaut 0 sur Ko et 1 sur KI, et posons a = (1 — (3); les fonctions a et P sont continues.

Comme d'après le lemme 16, Ko est T-stable (ce qui entraîne aT^a == aT"!), le corollaire 6 montre que pour tout e > 0, il existe un scalaire Ag > 1 tel que :

(1) ocT"! ^ Aç(/Co + s^a pour tout n.

Soit a le sup de Ta sur K^ ; on a donc :

Tl == Tp + Ta == Tp + (3Ta + aTa ^ Tp + a? + aTl.

Compte tenu de la relation suivante, déduite de (1) : (2) TÇaT^l) < aA,(/Co + e)^ + aT^l,

on obtient donc par récurrence :

(3) T"! ^ T^ + aA^T

71

-

1

? + (A-o + sQT

71

-

2

?

+ ... + (^o + s)'-1?] +0^1.

On déduit de (3), en identifiant T71! à T^ :

(^ ft T-l „ r, Tl T^i 1

(

4

)

P

( ^ ^ ^

B

4

1

+ ( ^ ^ + • • • + ^ ^ ^

Je dis que, pour tout s tel que A-o + £ < ^i» on a 'M/(/Co + e)" > 1

(19)

126 GUSTAVE CHOÇUET ET C Y P R I A N FOIAS

pour tout n assez grand; sinon d'après le théorème 2 appliqué à KI et T, il existerait un a e K^, tel que

(TMKa)/^ + e)- ^ 1 pour tout n ; la relation (4) donnerait donc :

(z^^V ^ (ⁿ +¹)^^d?où ^(â) ^ (ô + ^) < î,

\KQ -f- £/

ce qui est impossible puisque a e Ki.

On a donc bien sur X^, pour tout n assez grand (sous l'hypothèse ko + e < A*i) :

PT1! ^ T^l ^ (fro + s)".

En particulier, ceci donne bien :

(A-o + s) ^ Y ^ ï? d'où /Ci == inf y == inf y sur Ki.

THÉORÈME 29. — Soit T un opérateur positif sur K tel que y soit continue. Si y(K) e5( totalement discontinu (par exemple si K est dénombrable), y e5( limite uniforme des g^

Preuve. — II existe des scalaires k f y(K) partout denses dans R, et pour un tel A-, le lemme 28 s'applique aux fermés { y ^ A*}, { y ^ /c}; donc y est limite uniforme intérieurement des g^ ; le corollaire 19.3 achève de démontrer la convergence uniforme cherchée.

Voici maintenant deux autres critères assez différents.

DÉFINITION 30. — Soit (f^) une suite de fonctions numé- riques sur un espace topologique E, et soit f une autre fonc- tion numérique. On dira que (^) majore f en un point a de E si, pour tout s > 0, il existe un entier N et un voisinage V de a tels que VM ^ N et x e V, on ait

Ux) ^ {f{a) - e).

En particulier si f = lira /*„, f est alors s.c.i. au point a.

Il est clair aussi que toute suite croissante de fonctions continues majore sa limite en tout point.

Dire que (/'J majore et minore f au point a équivaut à dire que f est continue en a et que la suite (/*J converge

(20)

PROBLEME SUR LES ITÉRÉS D'UN OPÉRATEUR POSITIF SUR Q{îi) 127

uniformément vers f au point a. En particulier si E est compact ou métrique complet, toute suite convergente de fonctions continues majore et minore sa. limite en tout point d'un résiduel de E (donc partout dense).

LEMME 31. — Supposons y s.c.i.; soit R le résiduel des points de K en lesquels (gj majore y, et soit a e K. Si y(a) -= sup {y(^) : x e R n {support de ^.a.)}, on a aussi ae R.

Preuve. — C'est évident si y(a) == 0; supposons donc y(a) 7^ 0. Pour tout s > 0, il existe & G R n (support de {ij tel que y(&) > ^{a) — £- II existe donc un ouvert <o conte- nant b et un entier N tels que, pour tout n ^ N, on ait

^ ^ ï(^) — £ sur (o.

Comme a? -> (la; est continue, il existe k > 0 et un voisi- nage V de a tels que, pour tout x e V, on ait ^a;(û)) > /c.

Or (T^l)^) = ^(g;) ^ /c(y(a) - e)-, d'où

gn.i^) ^ ( T ( a ) - s ) ( / c / ( Y ( a ) - s ) ) ^ î .

Comme le coefficient de (ï(^) — s) tend vers 1 quand n -» oo, on a bien a e R.

COROLLAIRE 32. — 5i y e^f s.c.i., ^ou( point a tel que y(a) == sup {y(^) : ^ e {support de \).^)} est un point de R.

En effet, comme R est partout dense, la condition du lemme 31 est alors réalisée.

THÉORÈME 33. — Si y est s.c.i. et si pour tout x e K, le support de \Ly; est la fermeture de son intérieur, en tout point

de K la suite (g^) « majore » y.

Si de plus y es^ continue^ la suite est uniformément conver- gente.

C'est une conséquence des corollaires 32 et 19.

DÉFINITION 34. — Une famille ((JL;) de mesures positives sur un compact K est dite uniformément continue par rapport à une mesure [L ^ 0 si pour tout s > 0, il existe un scalaire kg > 0 tel que toute ^ s9 écrive :

^i == Si + ^ où £;, ^ ^ 0 et Ils^l < s, ^ ^ /Cg.^i.

(21)

Nous pouvons alors donner notre dernier critère :

THÉORÈME 35. — Si y es^ s.c.i., et si la famille des p.^.

est uniformément continue par rapport à une mesure [A, la suite (gj domine y en ^ou^ point.

Si de plus y est continue, elle converge uniformément vers y.

Preuve. — Donnons-nous a e K et s > 0. Il existe alors un ouvert œ de K, un scalaire k > 0, et un voisinage V de a tels que,

ï ^ ^{a) — £ sup cl>? V^x^) ^ ^ pour tout x e V.

D'autre part, d'après l'uniforme continuité des ^ par rapport à {JL, il existe k' tel que, pour tout x e K :

(1) ^ == £.c + v^ avec ||eJ < /c/4 et v^ ^ /C'(A.

Enfin, comme y == lim g^, il existe X compact <= o, et un entier N tels que :

(2) pi(co - X) < k^

et, pour tout n > N : |y — gn\ < e sur X, d'où g^ > y(a) — 2e.

On tire de (1) et (2) :

^(œ - X) < [|£j + /cW/c') ^ /c/2, d'où ^(X) ^ /c/2.

On a donc, pour tout x e V :

(T^l)Or) = ^(gï) > -I- (Y(a) ^ 2s),

ï

d'où gn+z{x) ^ (/(^^^(a) — 2e), ce qui démontre la majo- ration annoncée.

L'application à y continue est immédiate.

36. Extension à un cadre plus général. — On peut espérer pouvoir étendre certains résultats de ce travail à un cadre plus général. Sans penser tout de suite à remplacer ^(K) par une algèbre ordonnée où les points de K seraient remplacés par les caractères positifs de l'algèbre, on pourrait commencer par remplacer ^(K) par un sous-espace vectoriel

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P R O B L È M E SUR LES ITÉRÉS D ' U N O P É R A T E U R POSITIF SUR (°(K) 129

de ^(K) contenant les constantes, ou par l'espace vectoriel A(X) des fonctions affines continues sur un convexe compact, avec l'hypothèse que, pour tout point extrémal x de X, il existe n > 0 tel que (T*!^) < 1. Mokobodzki a vérifié les théorèmes 1 et 2 pour la première de ces extensions, et pour la seconde lorsque <^(X) est fermé.

Manuscrit reçu le 11 janvier 1975.

Cyprian FOIAS, Gustave CHOQUET, Institut de Mathématiques Université de Paris VI

Calea Grivitei 21 Mathématiques Bucarest 12, Roumanie. 4, place Jussieu

75005 Paris, France.